数学试卷
注意事项：
1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效·
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求)
A.{xx≤0或x≥5}
B.{x|x<0或x≥5}
C.{x|x≥5}
D.{x|02.已知向量a=(1,2),b=(入，-1)，c=(2,-5),若(a+6)1c,则=
A.-5
B.3.
2
c
5-2
D
3已知ee(侵，sina=,则em
33
A、
B.33
7
C.、
D.13
14
14
14
4.已知某学校参加高中数学联赛的10人的成绩（单位：分）为：164,277,166,167，
173,178,249,255,268,282,则这组数据的第75百分位数是
A.252
B.255
C.261.5
D.268
已知椭圆2.1和椭圆，十1有相同的离心率，则m
3 m
0
9
B.
C.
一或4
4
4
D.或4
41
6.正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是2，则该棱台的外接球半径为
A.3
B.5
C.35
D.6
数学·第1页（共4页)
7.下列命题为真命题的是
A.已知a,b,c∈R,若a>b,则aWc>bc
B.3a,b∈R,a2+b2+1<2a+b-1
C.Ya∈N,a2+1都不是4的倍数
D.若-3≤2a+b≤4，-1≤a-b≤2，则4n-b的取值范围是-
2311
3’3
8.甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，
先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.分别以A,A2和A
表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的
事件，则P(A2|B)=
A.5
2
C.7
17
0.63
I
二、
多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.若函数x)=Asin(ux+p)(A>0,w>0,0≤p≤m)图象的一个最高点为牙，同，且
相邻两条对称轴间的距离为T,将(x)的图象向左平移，个单位长度得到g(x),则
A.A=3
B.o=2
C.f(x)为偶函数
D.g()≥的解集为[牙+2m,2n(ke2z
10.下列说法正确的是
A.线性相关系数π越小，两个变量的线性相关性越弱
B.在线性回归模型中，决定系数R越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C.X2独立性检验方法不适用于普查数据
D.已知随机变量专~N(0,σ2)，若P(≥-2)=0.8，则P(>2)=0.2
11.b∈R,下列曲线与直线y=x+b不只有一个交点的有
A.y=2x
B.y=√x
C.y=e*-1
D.y=ln(3x+1)
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）》
12.已知函数x)满足+习x)=2x-2,且1)=3，则2)
13.已知3+i是关于x的方程ax2+x+b=0(a,b∈R)的一个根，则a+b=
14.正弦函数y=sinx在-7，引上的反函数，叫做反正弦函数，记作arci,表示一个正
弦值为x的角，该角的取值范图在-7，罗引区间内，则2 2arcsin+i-arein(2x+1）
口■二
数学·第2页（共4页）数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C D D B C B
【解析】
1 A x 1 1 ．由题意得集合 {x | 0 x 5}，所以 R A {x | x≤0或x≥5}，故选 A．
x 5
2 ．
∵向量 a (1，2) ， b ( ， 1) ， c (2， 5) ，∴ a b (1 ，1) ，∵ (a b) c ，
(a
3
∴ b) c 0 ，即得 2( 1) 5 0，解得 ，故选 C．
2
3．∵ π π π π π ， ， sin
1
，所以
2 cos
4 3
，则 cos cos cos sin sin
7 7 6 6 6
4 3 3 1 1 11 ，故选 C．
7 2 7 2 14
4 ． 将 数 据 从 小 到 大 排 序 得 164，166，167，173，178，249，255，268，277，282 ， 因 为
10 75% 7.5 ，所以第 75 百分位数是 268，故选 D．
5 x
2 y2 1 x2 y2
．∵椭圆 1的离心率为 ，椭圆 1(m 0) ，当焦点在 x 轴上时离心率为12 9 2 3 m
3 m 1 9 m 3 1
，解得m ；当焦点在 y 轴上时离心率为 ，解得m 4，故选 D．
3 2 4 m 2
6．因为正六棱台的上、下底面边长分别为 3和 4，侧棱长是 2 ，可求得高为1，设该棱台的
外接球球心到下底面的距离为 x(x 0) ，①当球心在棱台外时，则 (x 1)2 9 x2 16，解
得 x 3，棱台的外接球半径为 32 16 5 ；②当球心在棱台内时，则 (1 x)2 9 x2 16 ，
解得 x 3(舍) ，故选 B．
7．对于 A，当 c 0 时，不成立，故 A 不正确；对于 B，若 a2 b2 1 2a b 1 ，即
2
(a 1)2 b 1 3 ，无实数 a，b 满足，故 B 不正确；对于 C，当 a 2k(k N) 时，
2 4
数学参考答案·第 1 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
a2 1 4k 2 1不是 4 的倍数，当 a 2k 1(k N)时，a2 1 4k 2 4k 2 也不是 4 的倍数，
故 C 正确；对于 D，∵4a b (2a b) 2(a b) ，又 3≤2a b≤4 ， 2≤2(a b)≤4 ，
∴ 5≤(2a b) 2(a b)≤8，故 D 不正确，故选 C．
3 3 2 2 2 2
8．因为 P(A1) ， P(A ) ， P(A ) ，若 A 发生，则乙3 2 2 7 2 3 2 2 7 3 3 2 2 7 1
3 1
箱中有 3 个红球，3 个白球和 3 个黑球，所以 P(B | A1) ；若 A2 发生，则乙箱中9 3
2
有 2 个红球，4 个白球和 3 个黑球，所以 P(B | A2 ) ；若 A9 3
发生，则乙箱中有 2 个
2
红球，3 个白球和 4 个黑球，所以 P(B | A3 ) ，所以 P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2 )P(B | A2 ) 9
2 2
3 1 2 2 2 2 17 P(A B) P(B | A )P(A )
P(A3 )P(B | A3 )
2 2 2
， P(A2 | B)
9 7
7 3 7 9 7 9 63 P(B) P(B) 17
63
4
，故选 B．
17
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 AD BCD BCD
【解析】
9 A 3 2π π ．由题意知 ，T 2π，则 1，故 A 正确，B 不正确； 3 sin 3 ，由T 4
0≤ ≤π得 π ，所以 f (x) 3 sin x π ， f ( x) f (x) ， f (x) 不是偶函数，故 C 不4 4
正确，将 f (x) π的图象向左平移 个单位得到 g(x) π π π f x
3 sin
x 3 3 3 4
3 sin x 7π 7π 3 7π 3 π 7π 2π ， 3 sin x ≥ ，即sin x ≥ ，解得 2kπ≤x ≤ 2kπ
12 12 2 12 2 3 12 3
(k Z) π π 3 π π ， 2kπ≤x≤ 2kπ(k Z)，g(x)≥ 的解集为 2kπ， 2kπ (k Z) ，4 12 2 4 12
故 D 正确，故选 AD．
数学参考答案·第 2 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
10．对于 A，根据线性相关系数 r 的绝对值越接近 1，两个变量的线性相关性越强；反之，线
性相关性越弱，故 A 不正确；对于 B，在线性回归模型中，决定系数 R2 越大，表示残差
平方和越小，即模型的拟合效果越好，故 B 正确；对于 C，利用普查数据可以准确地判
断两个变量之间是否有关联，不需要进行 2 独立性检验，故 C 正确；对于 D，因为随机
变量 ~ N (0， 2 )，所以正态密度曲线关于 0对称，若 P( ≥ 2) 0.8，根据对称性可
得 P( 2) P( 2) 1 0.8 0.2，故 D 正确，故选 BCD．
11． y 2x与直线 y x b 只有一个交点，故 A 不正确；当b 0 时， x x ，解得 x 0或x 1，
故 B 正确；令 f (x) ex 1 x b ，∴ f (x) ex 1，令 f (x) 0 ，则 x 0 ，∴ f (x)在
(0， ) 上 单 调 递 增 ， 在 ( ，0) 上 单 调 递 减 ， ∴ f (x)min f (0) b ，
∵x 时，f (x) ， x 时，f (x) ，∴当 b 0 时， f (x) 有两个零点，
y ex
1
1与y x b 有两个交点，故 C 正确；令 f (x) ln(3x 1) x b x ，
3
3 2 3x 2 1 2
∴ f (x) 1 ，令 f (x) 0，则 x ，∴ f (x)在 ， 上单调递增，在3x 1 3x 1 3 3 3
2
， 上单调递减，∴ f (x)
2 2
max f ln 3 b
1
，∴当 x 时，f (x) ，
3 3 3 3
x 时，f (x) 2 2 ，∴当 ln 3 b 0 ，即 b ln 3 时 ， f (x) 有两个零点，
3 3
y ln(3x 1)与 y x b有两个交点，故 D 正确，故选 BCD．
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
11 π
答案 4
6 2
【解析】
12 f x 1 f (x) 2x 3 1 3 3 1．由 2，则 f (2) f
f 2 2 f 1 1 f (1) 2
2 2 2 2 2 2
2 1 4 ，故答案为 4．
13．由题意，得 a(3 i)2
1 5
3 i b 0 ，整理得8a 3 b (6a 1)i 0 ，解得 a ，b ，
6 3
a b 11 11故 ，故答案为 ．
6 6
数学参考答案·第 3 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
14．令 2arcsin x 1 ， arcsin(2x 1)
，依据反正弦函数的定义可得， sin x 1，
2
sin π 2x 1 π π 0， ， 2 ， ， ，可得 2sin sin 1，即 cos sin 2 2 2 2 2
cos π
，∵ [0 π]
π π
， ， ， ，
π π
，故答案为 ．
2 2 2 2 2
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
（1）证明：在正方形 ABCD 中， AC BD ，在正方体中，CC1 平面 ABCD，
∵BD 平面 ABCD，∴CC1 BD ，
∵AC CC1 C ，CC1 平面 ACC1， AC 平面 ACC1，∴BD 平面 ACC1，
同理可证 A1D 平面 AD1C1 ， ……………………………（4 分）
∵AC1 平面 ACC1， AC1 平面 AD1C1 ，
∴BD AC1 ， A1D AC1 ，且 BD A1D D ， BD 平面 A1BD， A1D 平面 A1BD，
则 AC1 平面 A1BD，
AC1 平面 APC1 ，所以平面 A1BD 平面 APC1 ．
……………………………（6 分）
（2）解：以 D 为坐标原点，以 DA 所在直线为 x 轴，以 DC 所在直线为 y 轴，
以 DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 a，
a 2a 2a
则 D(0，0，0)，M ，0，a ， B(a，a，0)， P ，a， ，
2 3 3
a a MP ，a， ，MB
a
，a， a
， DM a，0，a ，
6 3 2 2
……………………………（7 分）
设平面MPB 的一个法向量为m (x，y，z) ，
m MP
a
x ay a z 0，
6 3 1
由 取 x 1，得m 1，0， ， m MB a x ay az 2 0 ，
2
设平面MPD 的一个法向量为 n (x，y，z) ，
数学参考答案·第 4 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
a a
n MP x ay z 0， 6 3 2
由 取 x 2，得 n
2， ， 1
，……………………（11 分）
n DM a x az 0 3，
2
3
MPB MPD 2 9 5所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
5 49
35
4 9
……………………………（13 分）
16．（本小题满分 15 分）
AB2 AC2 BC2 2
解：（1）由余弦定理可知 cos A ， ………………………（2 分）
2 AB AC 3
sin A 7故 ， S 1△ABC AB AC sin A
14
． ……………………………（4 分）
3 2 2
（2）设 | OA | x，| OB | y，| OC | z ，
则OA OB OB OC OC OA 1 xy 1 yz 1 1 xz (xy yz xz) ，
2 2 2 2
………………………（6 分）
1
又因为 S△ABC S△AOB S△BOC S△COA xy sin
2π 1 yz sin 2π 1 zxsin 2π 14 ，
2 3 2 3 2 3 2
……………………………（9 分）
1 (xy yz zx) 42故 ，
2 3
所以OA OB OB OC OC OA 42 ． ……………………………（10 分）
3
（3）设 | OA | x，| OB | y，| OC | z ，
2
由余弦定理可知， AB x2 y2 2xy cos
2π
x2 y2 xy 3，
3
同理 AC 2 x2 z2 xz 6 ， BC 2 z2 y2 zy 5 ，
2 2 2 1
故 x y z (xy yz zx) 7 ， ……………………………（13 分）
2
| OA |2 | OB |2 | OC |2 x2 42 y2 z2 7 ． ……………………………（15 分）
3
数学参考答案·第 5 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
17．（本小题满分 15 分）
解：（1）根据题意可得 F2 (3，0) ， ……………………………（1 分）
设直线 l 的方程为 y k(x 3)， A(x1，y1)， B(x2，y2 ) ，
x2 y2
1，
4 5 联立得 (5 4k 2 )x2 24k 2 x 36k 2 20 0，
y k(x 3)，
……………………………（3 分）
5 4k 2 0，
2 2 2 2
(24k ) 4(5 4k )(36k 20) 0，
24k 2故 x x ……………………………（5 分）
1 2
2 0，5 4k
2
x x 36k 201 2 0， 5 4k 2
2 5 5解得 4k 5 ，即 k 或k ． ……………………………（7 分）
2 2
（2）设直线 l 方程为 y k(x 3)， A(x1，y1)， B(x2，y2 ) ， AB 的中点为 N (x0，y0 ) ，
2
由（1）可知 | AB | 1 k 2 |x x 2 2 20(1 k ) 1 2 | 1 k (x1 x2 ) 4x1x2 ， 4k 2 5
x x1 x2 12k
2
0 2 ， ……………………………（10 分） 2 4k 5
x2 21 y
1 1，
4 5 (x1 x2 )(x1 x2 ) (y1 y2 )(y1 y ) 2 0
x2 2
两式相减得 ，
2 y2 4 5
1， 4 5
5 y y y y y y
1 2 0 k 0 0 0
4 x1 x2 x0 x
，
0 x0 3 x0
x 3 y2
线段 AB 的垂直平分线为 y y 0 00 (x x0 ) ，可得y M x ，0
，
0 x0 3
0
y20 5x 9x因为 0 ，所以M 0 ，0
， ……………………………（13 分） x0 3 4 4
|MF | 9x0 3 15(1 k
2 )
2 ， 4 4k 2 5
| MF2 | 3所以 ． ……………………………（15 分）
| AB | 4
数学参考答案·第 6 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
18．（本小题满分 17 分）
（1）证明：∵数列{an}满足 a *1 1， 2an 1 3an 1， n N ，
a 1 3∴ n 1 (an 1)， ……………………………（3 分） 2
又 a1 1 2，
3
∴数列{an 1}是以 2为首项， 为公比的等比数列．……………………………（5 分） 2
n 1
（2）解：由（1）得 an 1 2
3
， ……………………………（8 分）
2
n 1
故 an 2
3
1． ……………………………（11 分）
2
1 1 1 1 2 n 1
（3）证明：
a n 1
≤ n 1 ，
n 2 3 1 2 3
3
1 1
2 2
……………………………………………（14 分）
2
n
1 1 1 2 2 n 1
1
≤1 3 2 3． ……………………………（17 分） a1 a2 an 3 3 1
3
19．（本小题满分 17 分）
（1）解：C 2 的焦点2：x 4y F (0，1)，
根据抛物线的定义可得： | QF | y2 1，
所以 | PQ | y2 | PQ | | QF | 1≥ | PF | 1， ……………………………（2 分）
点 P 的坐标为 P(x1，ln x1)，
则有： | PF | (x 0)21 (ln x1 1)
2 ，
2
令 f (x) x2 (ln x 1)2 2(ln x 1) 2x 2ln x 2，x 0，则 f (x) 2x ，
x x
令 g(x) 2x2 2ln x 2 ，
可得 g(x)在 (0， )上单调递增，又 g(1) 0 ，
当 x (0，1) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；
数学参考答案·第 7 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
当 x (1， )时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增，
故 f (x)min f (1) 2，则 | PF |min 2 ，
当点 P 的坐标为 (1，0)，点 Q 为线段 PF 与抛物线交点时，取得最小值，
故 | PQ | y2 的最小值为 2 1． ……………………………（6 分）
x2
（2）证明：设直线 l 与曲线C1 的切点为 A(x3，ln x3 )(x3 0) ，与曲线C2 的切点为 B x4，
4 ，
4
1
①则曲线C1：y ln x 的切线 l y ln x (x x )A 为 3 x 3 ， 3
2
则曲线C 22：x 4y 的切线 l
x4 x4
B 为 y (x x ) ， ……………………………（7 分） 4 2 4
1 x 4 ，x 2
lA 与 lB 表示同一直线，则有
3
x2ln x 1 4 ，
3 4
解得： ln x3 1
1
2 0 ， ……………………………（9 分） x3
令 h(x) ln x 1 1 (x 0) ，
x2
则 h (x) 1 2 x
2 2
，
x x3 x3
当 x (0， 2) 时， h (x) 0 ， h(x) 单调递减；
当 x ( 2， )时， h (x) 0 ， h(x) 单调递增，
h( 2) ln 2 1 1 (ln 2 1) 0， h(1) 0 ， h(e) 1 0，
2 2 e2
根据零点存在性定理可知 x ( 2，e)使得 h(x) 0 ，1 (0， 2)使得 h(x) 0 ， 0
直线 l 有且仅有 2 条． ……………………………（11 分）
②由①知 x3 1或 x3 ( 2，e) ，
当 x3 1时， A(1，0)，B(2，1)
1
，此时 S△OAB ； 2
……………………………………………（13 分）
数学参考答案·第 8 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
1
当 x ( 2，e) 时， A(x ，ln x ) B
2 1
， ， ，直线OB：y x3 3 3 ，
x3 x
2
3 2x3
1
ln x
2 3
点 A 到直线 OB 的距离 d ，
1 1
4x23
1 1
ln x3 ln x
S 1
3
∴ △OAB | OB | d
1 4 1
2 2
2 2 x2 x4 1 x ， 3 3 1 3
4x23
………………………………………（15 分）
h( e) 1 1 1由①知 0，∴ e x e，
2 e 3
1 ln x
1
3
∴ ln x 1，S 2 ，
2 3 △OAB x3
令 t(x) ln x
1 1
x， x ( e ，e) ，∴t (x)
1 1 2 x
，
2 2 x 2 2x
∴t(x) 在 ( e ，2) 上单调递增，在 (2，e) 上单调递减，
∴t(x) 3≤t(2) ln 2 0 ，∴ln x
1 1
x 0 ，
2 2 2
ln x 1
2 1∴ ，
x 2
1
∴S△OAB ， 2
1
综上： S△OAB≤ . ………………………………………（17 分） 2
数学参考答案·第 9 页（共 9 页）
{#{QQABSQUpwgow0kTACS5LAQVyCQiQkIGgJUoMxRCQOAQDQYFIFIA=}#}
