数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚
2.每小题选出答策后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效，
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟，
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1.已知集合A={(x,y)|2x+y=5引，集合B={(x,y)|3x-y=0},则A∩B=
A.(1,3)
B.1(1,3)1
C.{(3,1)}
D.{(6,2)}
2已知在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点4(2,0)、点2)，9
则向量OA和0B的夹角为
π
c.6
D.
3
3.已知复数z满足，名=i,则z的模z=
2x+1
5
2
B.
06
4.已知一座能容纳800人的学术报告厅共20排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第
9排的座椅数为
A.37
B.39
C.41
D.43
5.某地2013年调研了十万名城镇居民的税后年收人（单位：千元）情况，统计数据如下：
收入范围
0-15
15~25
25~35
35~45
45~55
55~65
65~75
75-85
85~95
占比
3.9%
9.3%
5.8%
11.5%
13.5%
20%
18%
11.6%
6.4%
则该地人均税后年收人的中位数大约是
A.46
B.48
C.56
D.58
6已知角a满足in(at)wi停则o2引-m个e到
3+5
3-√/5
2-5
A.
B
C.245
D.
5
5
5
5
7已知函数)-被称为双曲余球函效，则两数y))-1的零点在下列那个区
间中？
A.（-0,-4)
B.(-4,-1)
C.(-1,1)
D.(1,+0)
8.取一条长度为12cm的细绳，把它的两端绑在一起，形成绳套（绳结
长度忽略不计).再分别用两颗钉子将绳套上两点固定在图板的两点
F,F2上（如图1所示），套上铅笔，拉紧绳子移动笔尖M,画出一
个椭圆.在此过程中，绳子长度保持不变，笔尖M与钉子构成的三
角形MF:F2面积的最大值为
图1
A.3.2cm2
B.2.3cm2
C.4./3cm2
D.3.5cm2
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.如图2是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，↑℃
30
f(x)=Asin(x+p)+K,其中：A>0,o>0,0
20
A.函数的最小正周期为16m
R函数解析式为刻-10骨+3+20
10叶-
0入√68101214xh
C.函数在区间(2024,2025)上单调递增
图2
D.VxER,f(1-x)+f(5+x)=40
10.曲线E:ax2+by2-x|y=1的图象如图3所示，若曲线经过P(0,1),
Q(1,0)两点，那么下列关于该曲线说法正确的有
A.a=6=1
B.曲线E除P,Q外还经过另外4个坐标均是整数的点
C.曲线E和曲线C:x2+y2=4存在公共点
图3
D.曲线E所围成的封闭区域的面积大于3数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A D A C C
【解析】
1．联立方程 2x y 5，3x y 0 ，解得交点坐标为 (1，3) ，故选 B．
2 OA OB 1 π． cos OA，OB ，所以夹角为 ，故选 B．
| OA || OB | 2 3
3 z i．计算可得 ，所以 | z | i |i| 1 5 ，故选 C．
1 2i 1 2i |1 2i| 5 5
4．令第 n排的座位数为 an ，所以800 a1 a20 10(a9 a12 ) 10(a9 a9 3 2) ，则 a9 37 ，
故选 A．
5 ． 0 ~ 55 的占比之和为 44% ，所以中位数在 55 ~ 65 这组，设中位数为 x ，由
(x 55) 0.02 0.06，可求得 x 58 ，故选 D．
6 π ．由 sin cos
5 3
可得： sin 1 cos cos 3 sin 1 cos sin π
6 5 2 2 2 2 6
5 π
，所以 cos 2 1 2sin2 π 3 cos π π π ，且
5 3 6 5
cos
3 2 6
sin π 5 π π 3 5 ，故 cos 2
cos
，故选 A．
6 5 3 3 5
x x
7．由于 h(x) 2 f 2 (x) f (x) 1 1 e e 0，所以 f (x) 1或 f (x) ，而 f (x) ≥
2 2
2 exe x
1，所以 f (x) 1，当且仅当 x 0 时为函数 h(x) 的唯一零点，故选 C．
2
8．由题意得，△MF1F2 的周长为12，令椭圆的长轴和焦距分别为 2a，2c，则 a c 6 ．根据
椭 圆 的 几 何 性 质 可 得 ， 焦 距 确 定 时 ， 当 笔 在 短 轴 顶 点 处 面 积 最 大 ， 此 时
S△MF bc c a
2 c2 ，而 a 6 c ．所以 S 2 2 2
1F2 △MF F
c [(6 c) c ] 6cc(6 2c) ，由
1 2
3
cc(6 c c 6 2c 2c) ≤ 8 ，所以 S≤4 3 ，当且仅当 c 2取到等号，故选 C．
3
数学参考答案·第 1 页（共 6 页）
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 BC ABD AC
【解析】
9 T．由图可知： 14 6 8 ，所以 A 选项错误；由周期为 16，及最值 10 和 30，可得
2
π 3π ，A 10，K 20 ，将点 (14，30) 代入求得 ，B 选项正确；由周期为 16，
8 4
x (2024，2025) 等价于 x (8，9) ，由图可知，C 选项正确；由题意，函数的对称中心为
(8k 2，20) (k Z且k 0) ， x R，f (1 x) f (5 x) 40不成立，D 选项错误，故选 BC．
10．根据题意，曲线E：ax2 by2 | x | y 1，经过P(0，1)，Q(1，0)两点，所以A 正确；由于曲线
E 关于 y 轴对称， x≥0检验得：曲线经过点 (0，1)，(1，0)，(0， 1)，(1，1) ，再根据对称性
可知，曲线 E 还经过点 ( 1，0)，( 1，1)，故曲线恰好经过 6 个整点，所以 B 正确；当 x≥0
2
x2 y2 xy 1 x2 y2 1 xy 1 x y
2
时，即为 ，有 ≤ ，得 x2 y2≤2 ，即曲线 E 右侧部
2
分的点到原点的距离都不超过 2 ，再根据曲线 E 的对称性可知，曲线 E 上任意一点到原
点的距离都不超过 2 ，与 x2 y2 4没有交点，所以 C 错误；因为在 x轴的上方，图形
的面积大于四点 ( 1，0)，(1，0)，(1，1)，( 1，1) 围成的矩形的面积1 2 2，在 x轴的下方，
图形的面积大于三点 ( 1，0)，(1，0)，(0， 1) 1围成的三角形的面积 2 1 1，所以曲线 E
2
所围成的“心形”区域的面积大于 3，D 正确，故选 ABD．
11．体积V Sh 24 3 ，A 选项，棱长为 a 的正方体，则 a 2 3 ，正方体的外接球直径
2R 2 2 3 3 6 ，可以放入；B 选项，棱长为b 的正四面体， b3 24 3 ，则正四面
12
3 3 1 1
体的外接球直径 2R b (2 3 2) 33 6 33 6 ，不可以放入；C 选项，若高
2 2
6 3
是 4 的 圆 柱 ， 则 底 面 半 径 r2 ， 该 圆 柱 的 外 接 球 半 径
π
R2 r2 4 6 3 4π 5π 4π 32 ，可以放入；D 选项，若高是5 的圆锥，则底面半径
π π
r2 72 3 ，而内接的高是5 的圆锥底面半径 r20 5 ，则 r
2 r20 ，不可以放入，故选 AC． 5π
数学参考答案·第 2 页（共 6 页）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
答案 40 5 e
【解析】
12． x4 y2 的系数为 2 C36 2 20 40 ．
13．直线 l 的法向量为 n (1，2) ，则所求距离为 AB 在法向量方向上的投影距离，即
d AB n 5 ．
|n|
1
a x
2 ax 1
14． f (x) 1 1 22
2
2 ，则 x1 x2 a，x1x2 ；由 f (xx x x 2 1
) f (x2 ) eln 2 ，所以
f (x ) f (x ) x x a ln(x x ) 1 x1 x1 22 1 2 1 2 ，将韦达代入： a ln 2 e ln 2 ，所以 e，满足． 2 x1x2
四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
3
解：（1）当 n 1，解得 a1 ， a1 1（舍去）； 2
当 n≥2， 2a 2 2n 2Sn 2Sn 1 2an 2an 1 an an 1，
化简 an an 1 2(an an 1)(an an 1) ，
由于 a 1n 0，所以 an an 1 ， 2
{a } 1即数列 n 是等差数列，所以 an n 1．……………………………………………（6 分） 2
2
（2 1 (n 2)）由题意 an n 1，则 Bn (bn， 2b
2 2
2 n
) ，bn 2bn an ， 4
b 0 b (n 2)
2
由 n ，所以 n 1 1， 4
(n 3)2 (n 4)2 22a 2b [(n 3) 4]n n 1 n 2 2
2
1 1 n 4 (n 3) 4 ，
4 n 4 (n 3)
2 4
而 (n 4)2 [(n 3)2 4] 2n 3 0 ，
所以 a *n bn 1(n N ) ．…………………………………………………………………（13 分）
数学参考答案·第 3 页（共 6 页）
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取100颗的平均数为：
x 2 (0.05 25 0.125 27 0.2 29 0.075 31 0.05 33) 28.8 29 ，
即 x 29 ， s 1，所以 X N (29，12 ) ，
P(X 30) 1 P(29 1 X 29 1) 1 0.6827则 ≥ 0.15865 0.16 ，
2 2
所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为 0.16．……………………（7 分）
（2） (0.05 0.05) 2 100 20 ，所以所取样本 20个，
直径在[32，34) 的车厘子有10个，故 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为：
3 0 2 1
P C10C10 2 P C10C( 0) ， ( 1) 10 15 ，
C320 19 C
3
20 38
P C
1 C2 0 3
( 2) 10 10 15 P C C3 ， ( 3)
10 10 2 3 ， C20 38 C20 19
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
2 15 15 2P
19 38 38 19
所以 的数学期望 E( ) 2 15 15 2 3 0 1 2 3 ．………………………（15 分）
19 38 38 19 2
17．（本小题满分 15 分）
解：（1）由于平面CDE 垂直平面 ABDE ， DE CE ，平面CDE 和平面 ABDE 的交线为
DE ，
则CE 平面ABDE ，所以CE BD ，
在乙图中，过点 E 作 EF BD，垂足为点 F ，连接 FC ，
可得 BD 平面CEF ，所以CF BD，
则 CFE 为二面角C BD E 的平面角．………………………………………………（3 分）
Rt CE在 △CFE 中， tan CFE ．
EF
在甲图△BCD 中，由余弦定理得： BD BC 2 CD2 2BC CD cos BCD 2，
而 AB AD 2 ，所以 AD AB ，CD BD ．
当 DE CE 时，CE 3， BE 1， DE 3 ，
数学参考答案·第 4 页（共 6 页）
所以 EF BE DE 3 ．
BD 2
tan CFE CE 3 2 3 ．…………………………………………………………（7 分）
EF 3
2
（2）由于平面CDE 垂直平面 ABED ，
3 1 π
由题意知C 点到直线 DE 的距离为 3 ， sin∠CDE ，∠CDE ∠DCE ，
2 3 2 6
CE BE 2，即 E 点位于甲图中线段 BC 中点，……………………………………（10 分）
1 1 1 1
底面积 SABED S△ABD S△BED S△ABD S2 △BCD
2 2 2 2 3 1 3 ．
2 2 2
……………………………………………………………………………………（14 分）
V 1 3 (1 3) 3 3故体积 ．…………………………………………………（15 分）
3 3
18．（本小题满分 17 分）
1 p p p
2
解：（ ）由焦点 F ，0 ，设直线 l：y x ，代入抛物线得： x
2 3px 0 ，
2 2 4
根据抛物线定义， | AB | | AF | | BF | x1 x2 p，
所以 3p p 8，可得 p 2 ．……………………………………………………………（4 分）
2 2
（2）设 A y 1 ，y
y
1 ，B 2 ，y2 ，T (t，0) (t 0)，
4 4
2 2 2 2 2
由 0 TA TB ，得 0 y 1 t
y
2 t y y (y1 y2 ) y 1 y 2 t t2 y y ，
4
1 2 1 2
4 16 4 4
………………………………………………………………………………………（6 分）
联立 y2 4x 和 y x 1，解得 y1 y2 4，y1 y2 4 ，
有 y21 y
2
2 24，代入得 t
2 6t 3 0，
解得T1(3 2 3，0) 或T2 (3 2 3，0) （舍去）．
所以点T 的坐标为T (3 2 3，0)，………………………………………………………（8 分）
T x y 1 0 d | 3 2 3 1|又点 到直线 的距离 2 6 ，
2
1
所以三角形TAB 的面积 S | AB | d 4( 2 6) ．………………………………（10 分）
2
（3）结合几何性质，设 DE 的中点为 M ，
则 | PD | | PE | (| PM | | MD |) (| PM | | ME |) | PM |2 | MD |2 ，
数学参考答案·第 5 页（共 6 页）
设圆心C2 (3，0) 到直线m 的距离为 d ，则 | MD |
2 R2C d
2 6 d 2 ，
2
所以 | PD | | PE | | PM |2 (6 d 2 ) | PM |2 d 2 6 | PC |22 6 ，……………………（14 分）
2 2 2 y
设点 P ，y ，则 | PC |2 y 3 (y 0)2 1 (y2 4)2 2 8，
4 4 16
所以当 y2 4时，即 P(1， 2) 时， | PD | | PE |最小值为 2．………………………（17 分）
19．（本小题满分 17 分）
（1）解： y ex，y | 2x 2ln b b ，
所以曲线 y ex 在 (2ln b，b2 )处的切线方程为 y b2 x b2 (1 2ln b)．
………………………………………………………………………………………（3 分）
（2）证明： f (x) ex b ， f (x) 0 x ln b，f (x) 0 x ln b ，
∴ f (x)在 ( ，ln b) 上单调递减，在 (ln b， ) 上单调递增，
∴ f (x)min f (ln b) b b ln b e
2 ．……………………………………………………（5 分）
记 g(b) b b ln b e2，g (b) ln b，
g(b) 在 (2e2， )上单调递减，g(b) g(2e2 ) ( 1 2ln 2)e2 0 ．…………………（7 分）
∵ f (0) 1 e2 0，∴存在唯一零点 x1 (0，ln b) ．…………………………………（8 分）
∵ f (2ln b) b2 2b ln b e2 2e2 b 2ln b
1
，
2
记 (b) b 2ln b 1 (b) 1 2 ， 0 ，∴ (b)在 (2e2， )上单调递增，
2 b
(b) (2e2 ) 2e2 7 2ln 2 0，∴存在唯一零点 x2 (ln b，2ln b) ， 2
即函数 f (x) 有两个零点 x1，x2 满足 0 x1 ln b x2 2ln b ．………………………（10 分）
（3）证明：∵ex≥x 1，∴0 f (x )≥(1 b)x 1 e2 (1 b)x e21 1 1 ，
e2
即有 x1．…………………………………………………………………………（12 分） b 1
y ex 在 (2ln b，b2 )处的切线方程为 y b2 x b2 (1 2ln b)，
设 h(x) ex b2 x b2 (1 2ln b)，h (x) ex b2 ，
∴h(x) 在 ( ，2ln b)上单调递减，在 (2ln b， )上单调递增．
∴h(x)≥h(2ln b) 0，ex≥b2 x b2 (1 2ln b) ．…………………………………………（14 分）
∴0 f (x2 ) (b
2 b)x2 b
2 (1 2ln b) e2 ，
b2 (2ln b 1) e2x b
2 (2 ln b 1) b(2 ln b 1) b(2 ln b 1)e2 b(2ln b 1)
2 2 2 x ， b b b b b 1 e2 (b 1) e2 1
即证．……………………………………………………………………………………（17 分）
数学参考答案·第 6 页（共 6 页）