湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学试卷含答案

2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷
高三年级数学试卷
总分：150分 时量：120分钟
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数，则z的虚部为（ ）．
A. 3 B. C. i D.
3. 已知向量，则在上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
5. 已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A B. C. D.
6. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）
9. 下列说法中，正确的命题有（ ）
A. 已知随机变量服从正态分布，则
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为16
10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 平面
C. 的最小值为
D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________.
13. 数列的前项和为，若，则_____________．
14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______．
四、解答题（共77分）
15. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16. 某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 25
女生 35
合计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：.
0.100 0.050 0.010 0001
2.706 3.841 6.635 10.828
17. 如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知直线与抛物线交于两点，且．
（1）求；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求最小值；
（3）若数列满足，对于，证明：.
2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷
高三年级数学答案
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. B
解析：因为，，
所以.
故选：B.
2. B
解析：复数，
所以的虚部为
故选：B.
3. A
解析：根据题意，在上的投影向量为：
.
故选：A
4. C
解：由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在上单调递减，且，
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.
5. C
解析：由，，可得：，令，
依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.
又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故时，取得极大值，且当时，，当时，，
故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.
故选：C.
6. C
解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
7. C
解：，则，，又P，M，N共线，∴.又，
∴，当且仅当时取等号，
故选：C.
8. B
解析：因为，
当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，
则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：B．
二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）
9. ABC
解析：对于A，因，且，于是得，故A正确；
对于B，由得，依题意得，即，故B正确；
对于C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；
对于D，依题意的方差为，故D不正确．
故选：ABC.
10. BC
解析：因为，
所以，
所以，而将的图象平移后能与
函数的图象完全重合，所以，解得，故A错误，
此时，向右平移个单位长度后，
设得到的新函数为，，
由正弦函数性质得是奇函数，故B正确，
令，解得，
当时，，所以图象关于点对称，故C正确，
由题意得，，，
所以在上不单调，故D错误.
故选：BC
11. ABD
解析：对于A，因为不在平面内，平面，
所以平面，又，
所以点到平面的距离为，
又为定值，
故定值，A正确；
对于B，因为，平面，平面，所以平面，
同理可知平面，
又，平面，
所以平面平面，
由于平面，故平面，B正确.
对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，
过点作⊥，交的延长线于点，
其中，
故，又勾股定理得，C正确；
对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面，
四面体的外接球即正方体的外接球，
故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确.
故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 95
解析：因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则
故答案为：.
13.
解析：①，②，
两式相减得，故，，
令中得，，
所以，而不适合上式，
故答案为：.
14. ##
解析：如图，的内切圆与三边分别切于点，
若，则，
因为，则，可得，
则，可得，
因为，
即，可得，
又因为，
即，可得，
且，解得，
所以椭圆的离心率是．
故答案为：.
四、解答题（共77分）
15. （1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
16. （1）
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 25 25 50
女生 35 15 50
合计 60 40 100
（2）零假设:假设是否喜欢游泳与性别无关，，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.
（3）X的可能取值为0，1，2，3，
，
.
的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
17. （1）证明：在平面中，过点P作的垂线，垂足为D．
因为平面平面ABC，且平面平面，平面，
所以平面．又因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故．
（2）由（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，，
又因为，
所以
即．
设平面ACM的一个法向量，
则令，则．
又因为，设直线AP与平面ACM所成角为，
则，
所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为．
18. （1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以面积，
而或，所以，
当时，的面积．
19. （1）依题意，，则有，
当时，
，
又也满足，所以.
（2）函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，
所以函数的最小值为0.
（3）由（2）知，当时，，令，则，
则，
因此，
令，
于是，
两a式相减得，
因此，所以.