吉林省梅河口市第五中学2025届高三下学期开学考试数学试卷（含解析）

吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三下学期
开学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（ ）（不考虑储物料斗斗壁的厚度）
A．立方米 B．28立方米
C．立方米 D．84立方米
4．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，则方程的所有实数解的和是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
二、多选题
9．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，下列选项正确的是（ ）

A．
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积为定值
11．设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的周长为
C．的面积为4 D．点P在圆上
三、填空题
12．已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 ．
13．已知正项等比数列的前项和为，若，则最小值为
14．已知函数，则不等式的解为 ．
四、解答题
15．蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．
(1)求顾客中奖的概率；
(2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．
16．如图，在直四棱柱中，，，.
(1)证明：四边形是梯形．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．设函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围.
18．在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)，为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.
（i）证明：；
（ii）若点在直线上，求面积的最大值.
19．若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为．
(1)当时，证明：．
(2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值；
(3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．
吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三下学期开学考试
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A C B D C ACD ABD
题号 11
答案 BCD
1．D
解析：因为，
又，
所以.
故选：D.
2．C
解析：设男生被抽取的人数是，
由已知可得，
解得，.
故选：C.
3．B
解析：该储物料斗为正四棱台，且上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，
所认立方米.
所以该储物料斗的体积是立方米.
故选：B.
4．A
解析：因为，
所以“”不能推出“”，
“”能推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
5．C
解析：根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，
故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.
故选：C.
6．B
解析：设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，
因为，，则，，
因为圆锥顶点到直线的距离为，所以，
因为圆锥底面半径，故，又，
所以为等腰直角三角形，为斜边，
因为为线段的中点， 故，
因为平面，平面，，，
在中，，
在中，，
所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，
因此，该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
7．D
解析：因为，所以A不正确；
，所以，
又因为，所以，则，所以B不正确；
由，知，即为递增数列，
所以，所以C不正确；
由，得，所以D正确.
故选：D.
8．C
解析：令，其定义域为，
令，显然是奇函数，
则其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称.
先讨论在上方程的所有实数解的情况，即函数的零点情况，
因为，，，
所以，所以在上单调递减，
又时，，，
所以在上有且只有一个零点，
又的图象关于点对称，所以在上有且只有一个零点，
且，即方程的所有实数解的和是2.
故选：C
9．ACD
解析：由题意，可得，
则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确；
当时，可得，
所以的图象关于直线对称，所以C正确；
由，得，所以在上单调递增，所以D正确．
故选：ACD.
10．ABD解析：由正方体的性质平面,平面,则，又，，平面，所以平面，平面，则，A正确；
由正方体的性质知平面，即平面，B正确；
由正方体性质得A到直线的距离为，而到直线的距离为，两个三角形面积不相等，C错；
，而A到平面的距离即到平面的距离，为，因此为定值，D正确，
故选：ABD．
11．BCD
解析：
由，得，，则，，，因为P是椭圆上一点，所以，因为，所以，，故A错误；
的周长为，故B正确；
因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确；
因为为直角三角形，所以，故点P在圆上，故D正确.
故选：BCD.
12．
解析：双曲线的顶点为，
所以椭圆的焦点在轴上，设方程为，
由长轴长为，可得，所以，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为．
故答案为：.
13．
解析：由等比数列的性质可知，，所以，
因为数列为正项等比数列，所以公比，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以最小值为.
故答案为：.
14．
解析：因为，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数．
由，
得，即，
又，，
且，所以在单调递增，
所以，所以，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
15．(1)
(2)分布列见解析；期望为1
解析：（1）顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为，
顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为，
顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为，
综上，顾客中奖的概率为；
（2）设小明全家中奖的次数为，
则，，
，
，
，则的分布列为
0 1 2 3
所以．
16．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）四棱柱是直四棱柱，
平面平面．
平面，
平面．
平面．
，平面，．
又四边形是梯形.
（2）易得两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设为1个单位长度，则，．
设平面的法向量为，
则，
取，则，
得平面的一个法向量为，
易得平面的一个法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为．
17．(1)上单调递减，和上单调递增
(2)
解析：（1）当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
（2），令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在处取得极大值，，
当，即时，在处取得最大值，
，解得，，
当时，在或处取得最大值，
解得，，
的取值范围是.
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
解析：（1）设动圆圆心坐标为，
动圆过定点，截轴所得弦长为2，
，
整理得，即动圆圆心的轨迹方程.
（2）（i）如图：
不妨设，，，
由题满足，两式作差得，
，即，
过点与轴平行的直线交曲线于点，，
，即，，
，即.
（ii）在直线上，，
为，中点，在曲线内部，
，解得，
由（i），点到直线的距离即为平行线和间距离，
直线，即，
直线，即，
平行线和间距离为，
，
，
，，
令，，
令，解得或，
，，单调递增；
，，.单调递减，
最大值为，
面积的最大值为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）当时，，
则．
当时，，满足，
故，当且仅当时，等号成立．
（2）因为，
所以，
当时，满足上式，则．
因为，所以，
整理得．
因为，所以．
因为，所以当且仅当时，等号成立．因为，所以．
（3）由（2）可得，
则．
设，
则，
所以，
所以，即．
因为对任意的，都有，
所以，即．
当为奇数时，，所以，
易证为递减数列，则；
当为偶数时，，所以，
易证为递增数列，则．
综上，的取值范围为．