辽宁省辽阳市2025届高三上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

高三考试数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 0 B. C. D. 8
【答案】C
解析：因为，
所以
故选：C
2. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：由，即，解得，
所以，
当时，，所以，
所以，，，故正确的只有A.
故选：A
3. 若向量，且，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
解析：由得，，
所以.
故选：C.
4. 若数据的中位数是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因为数据的中位数是，
所以，即取值范围为.
故选：B.
5. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（ ）
A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm
【答案】B
解析：当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为cm，则杯子的容积为，可得，
所以该杯子的高度为cm.
故选：B
6. 若曲线与圆相切，则的值为（ ）
A. 3 B. 2或7 C. 2 D. 3或7
【答案】A
解析：曲线，则，又，
所以曲线表示以为圆心，为半径的半圆（轴及轴上方部分），
圆的圆心为，半径为，
又，
若，即时满足曲线与圆相切.
故选：A
7. 若外接圆的半径为，且，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】A
解析：根据正弦定理，，即，
又，则，
又，
所以，则，
根据同角基本关系式，，
则，
根据正弦定理，即，
在中，由余弦定理,
所以，所以.
故选：A
8. 定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因为，所以在上为增函数，
所以在上的值域为.
又在也是增函数，
所以在上的值域为.
因为两个函数的值域相同，所以.
即方程有两个不同的解.
因为方程.
当即时，方程成立，即是方程的一个解；
则当即时，只有一个解，
因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减.
因为且，所以且，
所以当且时，方程有且只有一个非0解.
综上：且.
故选：B
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减
D. 将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
【答案】ABD
解析：函数的最小正周期，故A正确；
因为，所以的图象关于点对称，故B正确；
当，则，
又在上不单调，故在上不单调，故C错误；
将图象上的所有点向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确.
故选：ABD
10. 已知函数，则（ ）
A. 只有1个极小值点
B. 曲线在点处的切线斜率为9
C. 当有3个零点时，的取值范围为
D. 当只有1个零点时，的取值范围为
【答案】BCD
解析：因为，
当或时，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
则在、处取得极小值，故有个极小值点，故A错误；
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故B正确；
令，
则的图象如下所示：
其中的图象是由的图象向下或向上平移个单位得到；
因为，，，，
要使有3个零点，则或或，
即或或，解得或或，
综上可得的取值范围为，故C正确；
要使只有1个零点，则或，即或，
解得或，即的取值范围为，故D正确.
故选：BCD
11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 曲线关于原点对称，且关于直线对称
B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2
C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为
D. 已知，直线与曲线交于两点，则为定值
【答案】ABD
解析：根据曲线方程，若点在曲线上，易知点都满足曲线的方程，
所以曲线关于原点对称，且关于直线对称，A正确；
令第一象限点在曲线上，则，
因为，则，解得，当且仅当时等号成立，
所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，B正确；
由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，
所以，令，
将代入，可得，
故，解得，即的最大值为6，C错误；
由题，知点关于原点对称，不妨设第一象限点，
则且，
则，
，
所以为定值，D正确.
故选：ABD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若双曲线与双曲线的焦距相等，则的离心率为__________.
【答案】2
解析：由题意得，所以，
即双曲线，
所以，所以离心率为.
故答案为：2.
13. 已知，，则__________.
【答案】
解析：因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
14. 已知球是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心到平面的距离为__________.
【答案】##
解析：如图，设点在底面的投影为，
则，设，
所以，，
由得，，解得.
故答案为：.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知为数列的前项和，且.
（1）求.
（2）证明：数列是等比数列.
（3）求数列的前项和.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
（1）
因为，
当时，，解得；
（2）
因为，则，
所以，即，
所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列；
（3）
由（2）可知，则，
所以，
所以
.
16. 年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会．
（1）求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率；
（2）记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望，
【答案】（1） （2）分布列见解析，
（1）
由题可得小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率为．
（2）
由题可知X的所有可能取值为10，50，100．
，，．
X的分布列为
X 10 50 100
P
．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，PD，BC的中点分别为，，，，且平面平面ABCD.
（1）证明：平面PAF.
（2）若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为，求棱PB的长.
【答案】（1）证明见解析； （2）2或.
（1）
取的中点，连接，则且，
由底面为菱形，为的中点，则且，
所以且，即四边形为平行四边形，所以，
由面，面，故平面PAF.
（2）
取的中点，连接，又，所以，
因为面面ABCD，面面ABCD，面，
所以面ABCD，
由底面菱形，，则为正三角形，所以，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，，，
令面的一个法向量为，则，
令，则，
设直线与平面的夹角为，则，
可得或，故或.
18. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4.
（1）求的方程；
（2）若斜率均为1的直线分别经过的左顶点和右焦点，与交于两点，与交于两点，求这四点围成的四边形的面积；
（3）若过点的直线与交于两点，直线的斜率不为为的右焦点，证明：的内心在定直线上.
【答案】（1） （2） （3）证明见详解
（1）
由题意，，则，所以椭圆方程为，
又点在椭圆上，则，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
由题，如图椭圆的左顶点为，则直线，
右焦点为，则直线，
将直线与椭圆方程联立，化简整理得，
解得，，即点，
，
同理，可求得，又，
所以四边形为梯形，梯形的高即两平行线与间的距离，
，
所以四边形的面积为.
（3）
如图，设直线，，，的内切圆的圆心为，
则，，，
由奔驰定理可得，，
即，
可得，
联立，化简整理得，
，，且，
又，
同理，，
，
又
，
则，即，
所以，
所以的内心在定直线上.
19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都满足，则称函数在区间上级速增函数.
（1）判断函数在上是否为1级速增函数，说明理由.
（2）若函数在区间上为2级速增函数，且，证明：对任意，恒成立.
（3）若在区间上为级速增函数，求的取值范围.
【答案】（1）是；理由见解析
（2）证明见解析 （3）
（1）
函数在上为1级速增函数.证明如下：
任意，则，
则
，
所以任意，，
故由定义可知，函数在上为1级速增函数.
（2）
若函数在区间上为2级速增函数，
则当时，，
所以对，恒成立.
有，，，，
各式相加得.
又，则.
故对任意，恒成立.
（3）
若在区间上为级速增函数，
则任意，有恒成立.
则恒成立.
令，
则
由，则，
故，故，在上单调递增，
所以，且；
故由恒成立，则对任意恒成立；
再令，则，
故当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
故，
故由恒成立可得，.
故的取值范围为.