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《两条直线的位置关系》习题
一、选择题
1．在一个平面内，任意三条直线相交，交点的个数最多有( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.3个
2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( )
A.相交、平行 B.相交、垂直 C.平行、垂直 D.平行、相交、垂直
3．下列说法中错误的个数是( )
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(3)不相交的两条直线叫做平行线；
(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．21cnjy.com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
5．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( )
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A.30° B.34° C.45° D.56°
6．如图，点P在直线AB外，在过P点的四条线段中表示点P到直线AB距离的是线段( )
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A.PA B.PB C.PC D.PD
二、填空题
7．如图，两条直线a、b相交于点O，若∠1=70°，则∠2=_____．
8．试用几何语言描述下图：_____．
9．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是_____．
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10．如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点B到AC的距离为_____．
三、解答题
11． 如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数．
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12．已知直线y=x+3与y轴交于点A，又与正比例函数y=kx的图象交于点B(-1，m)
①求点A的坐标；
②确定m的值；www.21-cn-jy.com
13．如图，已知DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，DO和AB有怎样的位置关系？为什么？
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14．平面上有9条直线，任意两条都不平行，欲使它们出现29个交点，能否做到，如果能，怎么安排才能做到？如果不能，请说明理由．2·1·c·n·j·y
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD=25°，求∠AOE和∠DOF的度数．
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参考答案
一、选择题
1．答案：D
解析：【解答】条直线相交时，位置关系如图所示：
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判断可知：最多有3个交点，故选D．
【分析】三条直线相交，有三种情况，即：两条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点．
2．答案：A
解析：【解答】在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，故选A．
【分析】利用一个平面内，两条直线的位置关系解答．
3．答案：A
解析：【解答】（1）过直线外一点有且只有一 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线与已知直线平行； 错误；
（2）正确；
（3）应强调在同一平面内不相交的直线是平行线，错误；
（4）邻补角的定义是：两个角有公共边和公共顶点，一个角的一边是另一个角的一边的反向延长线，具有这样特点的两个角称就是邻补角． 错误；
故选A．21教育网
【分析】根此题考查的知识点较多，用平行线的定义，点到直线的距离的定义等来一一验证，从而求解．
4．答案：C
解析：【解答】由对顶角的定义，得C是对顶角。
故选C．
【分析】根据对顶角的定义，可得答案．
5．答案：B
解析：【解答】∵CO⊥AB，∠1=56°，
∴∠3=90°-∠1=90°-56°=34°，
∴∠2=∠3=34°．
故选B．www-2-1-cnjy-com
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【分析】根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．
6．答案：D
解析：【解答】∵PD⊥AB，∴线段PD为垂线段，
∴线段PD可表示点P到直线AB的距离．
故选D．
【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离作答．
二、填空题
7．答案：110°
解析：【解答】∵∠1+∠2=180°
又∠1=70°
∴∠2=110°．
【分析】由图可得∠1和∠2是邻补角，且∠1=70°，由邻补角的定义即可求得∠2的值．
8．答案：直线AB与直线CD相交于点O
解析：【解答】从两条直线的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系可知，两条直线相交，交点为O，
故用几何语言可描述为：直线AB与直线CD相交于点O．
故答案为：直线AB与直线CD相交于点O．
【分析】从两条直线的位置关系可知，两条直线相交，交点为O，故再根据直线的表示方法进行描述即可．2-1-c-n-j-y
9．答案：垂线段最短
解析：【解答】根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
10．答案：4
解析：【解答】∵AC⊥BC，
∴点B到 ( http: / / www.21cnjy.com )AC的垂线段为线段BC，
∴点B到AC的距离为线段BC的长度4．
故填4．
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”求解．
三、解答题
11．答案：∠3=130°，∠2= ( http: / / www.21cnjy.com )50°．
解析：【解答】如图，∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠3=180°-∠1=130°，
又∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠2=∠1=50°．
【分析】由图示可得∠1与∠3是邻补角，∠1与∠2是对顶角，根据它们的关系就可以分别求出∠2和∠3．21世纪教育网版权所有
12．答案：①A（0，3）；②m=2，
解析：【解答】①当x=0时，y=3，
则A（0，3）；
②∵直线y=x+3经过B（-1，m），
∴m=-1+3=2， 21*cnjy*com
【分析】运用代入求值的方法.
13．答案：OD⊥AB．
解析：【解答】DO⊥AB．理由如下 ( http: / / www.21cnjy.com )：
∵DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，
∴DE∥BO，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴CF∥OD，
∵FC⊥AB，
∴OD⊥AB． 【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】由于DE⊥AO于E，BO⊥AO于O， ( http: / / www.21cnjy.com )根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到DE∥BO，根据平行线的性质得∠2=∠3，再利用等量代换得∠1=∠3，根据平行线的判定得CF∥OD，然后利用FC⊥AB得到OD⊥AB．【出处：21教育名师】
14．答案：能
解析：【解答】能．理由如下：
9条直线，任意两条都不平行，最多交点的个数是=36，
∵36＞29，
∴能出现29个交点，
安排如下：先使4条直线相交于一点P，另外5条直线两两相交最多可得=10个交点，与前四条直线相交最多可得5×4=20个交点，让其中两个点重合为点O，所以交点减少1个，交点个数一共有10+20-1=29个．
故能做到．【版权所有：21教育】
【分析】根据相交线最多交点的个数的公式进行计算即可求解．
15．答案：∠AOE=65°，∠DOF=115°．
解析：【解答】∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD=25°，
∴∠AOE=90°-25°=65°，
∠DOF=90°+25°=115°．21教育名师原创作品
【分析】直接利用垂直定义以及平角的定义得出∠AOE=90°-25°，∠DOF=90°+25°．
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《两条直线的位置关系》教案
教学目标
一、知识与技能
1．在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义；
2．会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；
二、过程与方法
1．经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力；www.21-cn-jy.com
2．善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识；
三、情感态度和价值观
1．激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题；
2．在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性；
教学重点
对顶角、余角、补角、垂直的定义及其性质；
教学难点
性质的应用；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
练习本；
课时安排
1课时
教学过程
一、导入
观察下面几幅生活中的图片:
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问题1：在上图中，直线a和b的关系是 ( http: / / www.21cnjy.com ) ；m和n是 ；c和d是 . 21cnjy.com
问题2：针对这三幅图，你还能提出哪些问题？
数学来源于生活，通过引导学生从身边熟 ( http: / / www.21cnjy.com )悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备.21·cn·jy·com
二、新课
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
如图 2-1，直线 AB与CD相交于点O，那么∠1与∠2 的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？与同伴交流. 2·1·c·n·j·y
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直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.21·世纪*教育网
对顶角有如下性质：对顶角相等.
设置问题的目的是通过创设生动有趣的活动 ( http: / / www.21cnjy.com )情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的活动素材，使学生在自主学习的过程中，学会对顶角的概念及其性质.同时进一步培养学生抽象几何图形进行建模的能力.2-1-c-n-j-y
在图2-1中，∠1与∠3有什么数量关系？
如果两个角的和是180° ，那么称这两个角互为补角.
如果两个角的和是90° ，那么称这两个角互为余角.
注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。
如图2-2，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时
∠1=∠2．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
将图 2-2简化为图2-3，ON 与 DC 相交所成的 ∠ DON和∠CON都等于90° ，且∠1=∠2．在图 2-3 中： 【出处：21教育名师】
（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
（2） ∠3与∠4有什么关系？为什么？
（3） ∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
概括归纳得到猜想和规律，并加以验证，是创 ( http: / / www.21cnjy.com )新的重要方法.通过生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动，使学生在自主学习的过程中，掌握“同角或者等角的补角相等.”“同角或者等角的余角相等.”并能够用自己的语言说出简单推理.同时发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性，培养学生合情说理的能力.【来源：21cnj*y.co*m】
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
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两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直 ，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.21教育名师原创作品
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直．如图 2-4，直线 AB与直线CD垂直，记作 AB⊥CD；如图2-5，直线 l 与直线m垂直，记作 l⊥m．其中，点O是垂足．
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在比较中发现发现新知，加深了学生对垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直和平行的感性认识，感受垂直 “无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.
做一做
1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
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2．如果只有直尺，你能在图2-6方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
3．你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看！
本环节的设置，将问题更加形象生动的呈现 ( http: / / www.21cnjy.com )在学生面前，让学生在经历思考、实践、猜想，动手验证等过程，不仅加深对“垂直”的理解，而且感受到“做数学“的乐趣，从而享受到成功的喜悦，形成探索新知的内驱力！而学生在相互交流探讨中，可以相互点拨，顺其自然的掌握新知识. 21*cnjy*com
想一想
1．如图 2-7，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条？如果点 A 在直线 l 外呢？ 【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com )
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
2．如图 2-8，点 P 是 ( http: / / www.21cnjy.com )直线 l 外一点，PO⊥l，点 O 是垂足．点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么？ 21世纪教育网版权所有
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直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
如图 2-9，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，线段AB的长度叫做点 A 到直线 l的距离．
( http: / / www.21cnjy.com )
通过动手画图，可以加深学生 ( http: / / www.21cnjy.com )对知识的理解，能更好的关注知识的形成过程，这也是促使学生认真审题的重要策略.比较线段的大小，是学生能轻松解决的问题，他们在动手操作中，很容易得出结论，轻而易举地掌握这一重要性质.21教育网
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？
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问题一取材于学生最熟悉的情境，既可以激发学生学习数学的热情，同时又鼓励学生用数学知识来分析解决实际问题.21*cnjy*com
三、习题
1．画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，在直线 l 外取一点 B，分别经过点 A，B 用三角尺或量角器画直线 l 的垂线． 【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
2．分别找出下列图中互相垂直的线段．
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解：(1)AO⊥OC，OB⊥OD.
(2) DC⊥BC，DC⊥CE ，DC⊥BE ，AC⊥BC ，AC⊥CE，AC⊥BE，DA⊥BC ，DA⊥CE ，DA⊥BE.
四、拓展
1.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图所示.当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？ ( http: / / www.21cnjy.com )www-2-1-cnjy-com
解：在AP这段路上，对两个学校影响越来越大；
在QB这段路上，对两个学校影响越来越小.
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
探索两条直线的位置关系，了解对顶角、余角、补角的定义及其性质；
垂直的定义、表示方法、性质及其简单应用.
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初中数学北师大版七年级下册
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
导入
观察下面几幅生活中的图片:
m
n
a
b
问题1：在上图中，直线a和b的关系是 ；m和n是 ；c和d是 .
问题2：针对这三幅图，你还能提出哪些问题？
平行
平行
相交
c
d
新课
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
新课
如图 2-1，直线 AB与CD相交于点O，那么∠1与
∠2 的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？
为什么？与同伴交流.
3
2
1
4
2.1
A
B
C
D
新课
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
对顶角有如下性质：对顶角相等.
新课
在图2-1中，∠1与∠3有什么数量关系？
如果两个角的和是180° ，那么称这两个角互
为补角.
如果两个角的和是90° ，那么称这两个角互为余角.
注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。
新课
如图2-2，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2．
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
图2- 3
图2- 2
新课
将图 2-2简化为图2-3，ON 与 DC 相交所成的 ∠ DON和∠CON都等于90° ，且∠1=∠2．在图 2-3 中：
（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
（2） ∠3与∠4有什么关系？为什么？
（3） ∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
新课
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
同角或等角的余角相等
因为∠1+∠3=90
∠2+∠3=90
所以∠1= ∠2
因为 ∠1=∠2
∠1+∠3=90
∠2+∠4=90
所以 ∠3= ∠4
同角或等角的补角相等
因为∠1+∠3=180
∠2+∠3=180
所以 ∠1= ∠2
因为∠1=∠2
∠1+∠3=180
∠2+∠4=180
所以 ∠3= ∠4
新课
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直 ，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
b
a
新课
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直．如图 2-4，直线 AB与直线CD垂直，记作 AB⊥CD；如图2-5，直线 l 与直线m垂直，记作 l⊥m．其
中，点O是垂足．
新课
记作l⊥m，
垂足为点O.
记作AB⊥CD垂足 为点O.
A
B
D
C
O
m
O
l
图2- 4
图2- 5
新课
做一做
1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂
直的直线吗？
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
新课
做一做
2．如果只有直尺，你能在图2-6方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
新课
做一做
3．你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试
试看！
新课
想一想
1．如图 2-7，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条？如果点 A 在直线 l 外呢？
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
新课
想一想
2．如图 2-8，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O 是垂足．点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么？
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
新课
如图 2-9，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，线
段AB的长度叫做点 A 到直线 l的距离．
新课
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？
O
P
线段PO的长度即为所求
习题
1．画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，在直线 l 外取一点 B，分别经过点 A，B 用三角尺或量角器画直线 l 的垂线．
B
l
A
习题
2．分别找出下列图中互相垂直的线段．
解：(1)AO⊥OC，OB⊥OD.
(2) DC⊥BC，DC⊥CE ，DC⊥BE ，AC⊥BC ，AC⊥CE，AC⊥BE，DA⊥BC ，DA⊥CE ，DA⊥BE.
拓展
1.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图所示.
M
N
B
A
当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？
P
Q
解：在AP这段路上，对两个学校影响越来越大；
在QB这段路上，对两个学校影响越来越小.
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.探索两条直线的位置关系，了解对顶角、余角、补角的定义及其性质；
2.垂直的定义、表示方法、性质及其简单应用.
