17.1 变量与函数 课件(共27张PPT) 2024-2025学年华东师大版数学八年级下册

(共27张PPT)
17.1 变量与函数
学习目标
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义（重点）
2.了解函数的概念和三种表示法，能用适当的函数表示法表示简单实际问题中变量之间的关系.（重点）
3.能确定简单实际问题中自变量的取值范围，并会求出函数值.（难点）
新课导入
思考一下：如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答：
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
分别为－1℃、2℃、5℃
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
最高气温是5℃．最低气温是－4℃
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(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
这一天中，3时~14时的气温在逐渐升高,0时~3时和14时~24时的气温在逐渐降低　
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
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思考一下：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表
周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重(kg) 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快.
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思考一下：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值：
波长λ（m） 300 500 600 1 000 1 500
频率f（kHz） 1 000 600 500 300 200
观察上表回答：
(1)波长l和频率f数值之间有什么关系
λ与 f 的乘积是一个定值，即λf＝300 000，或者
300 000
λ
f =
(2)波长λ越大，频率f 就_____
越小
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思考一下：圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________.
πr2
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
半径r(cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 ...
圆面积S(cm2) ...
π
2.25π
4π
6.76π
10.24π
越大
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________.
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变量的概念
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.
常量的概念
在某一变化过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量.即数值始终不变的量为常量.
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自变量与因变量的概念
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如：x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.
举个例子
y = 2x - 3
自变量
因变量
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例1 以下各式中，y是x的函数的有：
y=5不含未知数x，故 y=5不属于y是x的函数
√
√
×
×
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
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表示函数关系的方法通常有三种
(1)解析法，如问题4中的S＝π r2，这个表达式称为函数的关系式.
(2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表.
(3)图象法，如问题1中的气温曲线.
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拓展：函数关系的三种方法的优缺点
表示方法 优点 缺点
解析法
列表法
图象法
能准确地反映整个变化过程中自变量与因变量的对应关系
（1）求对应的函数值时,要经过计算;（2）有些函数关系不能用表达式表示出来
（1）列出的对应值有限；（2）在表格中不容易看出自变量与因变量的变化趋势
由自变量的值常常难以准确找到其对应的函数值
一目了然,对表格中已有自变量的每个值可直接査出与它对应的函数值.
直观、形象地反映出函数关系变化的趋 势和某些性质.
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试一试：（1）填写如图所示10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么
1
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
9
2
3
4
5
6
7
8
10
11
9
5
6
2
＋
横向的加数与纵向的加数之和为10；
涂黑的格子在一条直线上
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（2）如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，y是x的函数，那么y和x之间的函数关系式是 .
1
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
9
2
3
4
5
6
7
8
10
11
9
5
6
2
＋
y=10-x
（3）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是___，当纵向的加数为6时，横向的加数是___.
7
4
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例2 等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
y
x
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可知
2x+y=180°
有 y=180°-2x
由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是
0°新课学习
例3 等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．
(1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA长度x(cm)之间的函数关系式．
分析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系
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(1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA长度x(cm)之间的函数关系式
M
Q
N
P
A
B
C
x
x
重叠部分面积 y与线段MA长度 x之间的函数关系式为
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(2)当A点向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少
分析：将x=1cm代入，可得出重叠部分的面积
点A向右移动1cm，即x=1
所以当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积为0.5 cm2.
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C
课堂巩固
C
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D
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D
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B
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课堂总结
1.变量与常量的概念
2.自变量与因变量的概念
3.表示函数关系的方法通常有三种
感谢同学们的观看
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