6.1.1 计数原理及其简单应用 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

6.1.计数原理及其简单应用
A级——基础过关练
1．(2024年清远月考)市政府现有4个项目要安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，则不同的安排方式有(　　)
A．12种 B．14种
C．20种 D．24种
2．(2024年江门期中)《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的4位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有(　　)
A．35种 B．C种
C．53种 D．A种
3．(2024年梅州期中)肠粉是广东一种非常出名的传统小吃，属于粤菜系，源于唐朝时的泷州．已知广东一家肠粉店制作销售的肠粉时，先让顾客从“放青菜”“放鸡蛋”“青菜与鸡蛋都不放”“青菜与鸡蛋都放”中四选一，再让顾客从牛肉、虾仁、香菇等七种食材中选其一，则这家肠粉店的肠粉共有(　　)
A．7种 B．11种
C．28种 D．32种
4．(2024年惠州月考)现有两种不同颜色的颜料要对下图中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两部分着不同颜色的不同方法有(　　)
A．8种 B．4种
C．3种 D．2种
5．(2024年泰安开学考试)五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C，D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有(　　)
A．60种 B．48种
C．54种 D．64种
6．(多选)如图，从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则(　　)
A．从A地到D地不同走法有6种
B．从C地到B地不同走法有6种
C．从A地到B地不同走法有9种
D．从A地到B地不同走法有24种
7．(2023年太原模拟)现有10元、20元、50元的人民币各一张，一共可以组成的币值有________种．
8．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们由网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递．则单位时间内传递的最大信息量是________．
9．用1，5，9，13任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造________个不同的分数，可构造________个不同的真分数．
10．(2024年西安期中)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡(移动卡)，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡(联通卡).
(1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？
B级——能力提升练
11．(多选)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的有(　　)
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3 024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
12．(2024年黄冈期末)某迷宫隧道猫爬架如图所示，B，C为一个长方体的两个顶点，A，B是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成．若小猫从A点沿着图中的线段爬到B点，再从B点沿着长方体的棱爬到C点，则小猫从A点爬到C点可以选择的最短路径共有________条．
13．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？
C级——创新拓展练
14．(2024年佛山期中)为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码．在某网站设置的邮箱中，
(1)若密码为4位，每位均为0～9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？
(2)若密码为4～6位，每位均为0～9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D　【解析】由题意知，其中①有2种颜色可以选，②有1种，③有1种，由分步乘法计数原理知，共有2×1×1＝2种不同方法．故选D．
5.【答案】B　【解析】因甲不选A景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在B，C，D三个景点中任选一个，有3种选法；第二步，再考虑乙和丙，从A，B，C，D中分别任选一个景点，有4×4＝16(种)选法．由分步乘法计数原理，可得不同选法有3×16＝48(种).故选B．
6.【答案】AD　【解析】根据分步乘法计数原理，从A地到D地不同走法有3×2＝6(种)，从C地到B地不同走法有2×4＝8(种)，从A地到B地不同走法有3×2×4＝24(种).故选AD．
7.【答案】7　【解析】三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为10元、20元、50元；三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为10＋20＝30(元)、10＋50＝60(元)、20＋50＝70(元)；三种币值全取，共有1种取法，币值为10＋20＋50＝80(元).一共可以组成的币值有3＋3＋1＝7(种).
8.【答案】19　【解析】若以网线为标准，则完成“从结点A向结点B传递信息”这件事可分为四类：第1类，网线为12→5→3，单位时间内传递的最大信息量是3；第2类，网线为12→6→4，单位时间内传递的最大信息量是4；第3类，网线为12→6→7，单位时间内传递的最大信息量是6；第4类，网线为12→8→6，单位时间内传递的最大信息量是6.根据分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19.
9.【答案】16　10　【解析】从1，5，9，13中任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母，可构成4×4＝16个不同的分数．由真分数的定义：①若1为分子，分母有4种选择；②若5为分子，分母有3种选择；③若9为分子，分母有2种选择；④若13为分子，分母有1种选择．所以真分数共有4＋3＋2＋1＝10(个).
10.解：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第一类：从第一个袋子中取一张移动卡，共有10种取法；
第二类：从第二个袋子中取一张联通卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．
(2)得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第一步：从第一个袋子中任取一张移动卡，共有10种取法．
第二步：从第二个袋子中任取一张联通卡，共有12种取法．
根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120(种)取法．
【B级——能力提升练】
11.【答案】ABC　【解析】对于A，选1人为负责人的选法种数为6＋7＋8＋9＝30，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法种数为6×7×8×9＝3 024，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法种数为6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正确；对于D，依题意，若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，其中第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37(种)，故D错误．故选ABC．
12.【答案】120　【解析】小猫要从A点爬到C点，需要先从A点爬到B点，需要走3横3竖，则可选的路径共有20条，再从B点爬到C点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6＝120条．
13.解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11(种).
(2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出两个，或在C袋中取出两个，共有1＋3＝4(种).
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0～9这10个数字中任取1个，有10种取法．根据分步乘法计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10＝10 000.
(2)设置的密码为4～6位，每位均为0～9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类．
其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106.
根据分类加法计数原理，设置由数字0～9组成的4～6位密码的个数是104＋105＋106＝1 110 000.
故满足条件的密码有1 110 000个．