6.1.2 两个计数原理的综合应用 课后提升训练 （含答案）数学选择性必修第三册(人教A版)
文档属性
| 名称 | 6.1.2 两个计数原理的综合应用 课后提升训练 （含答案）数学选择性必修第三册(人教A版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 39.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-10 09:01:12 | ||
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文档简介
6.1.2 两个计数原理的综合应用
A级——基础过关练
1．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有( )
A．8个 B．10个
C．18个 D．24个
2．(2024年榆林期中)如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有( )
A．24种 B．23种
C．15种 D．7种
3．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有( )
A．10个 B．14个
C．15个 D．21个
4．(2024年衡水月考)如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为( )
A．24 B．48
C．96 D．120
5．(2024年东莞联考)从4名本县教师和2名客县教师中选出3名教师参加某场考试的监考工作，分别负责核对身份、指纹认定和金属探测仪使用的工作，要求至少有1名客县教师，且要求金属探测仪必须由客县监考教师负责使用，则不同的安排方案的种数为( )
A．24 B．40
C．60 D．120
6．(2024年淮安期末)(多选)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，则下列结论中正确的有( )
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为30
7．(2024年广州期末)一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有________种不同的去法．(用数字作答)
8．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．
9．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法.
图1 图2
10．(2024年台州期末)现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．
(1)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
(2)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
B级——能力提升练
11．(2024年长春期中)(多选)高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A．所有可能的方法有35种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
12．(2024年广州月考)根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我省某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动的种数为________，周一、周二都有专家参加调研活动的种数为________．
13．(2024年深圳月考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的九个小正方形(如图)，使得任意有公共边的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂色方法共有多少种？
1 2 3
4 5 6
7 8 9
C级——创新拓展练
14．(2024年深圳期中)设A＝{x|x≥10，x∈N}，B A，且B中的元素满足①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.
(1)求B中的两位数和三位数的个数；
(2)B中是否存在五位数、六位数？
(3)若从小到大排列B中元素，求第1 081个元素．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C 【解析】若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有1种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72种．根据分类加法计数原理，共有24＋72＝96种不同的涂色方法．故选C．
5.【答案】B 【解析】由题意可先选一名客县教师负责金属探测仪的使用，共2种选法，再从剩余的5人中，选2名监考员，一人负责核对身份，一人负责指纹认证，共5×4＝20种选法．所以不同的安排方案的种数为2×20＝40.故选B．
6.【答案】BC 【解析】对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为4×4×3＝48，故A错误；对于B，将所有三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有4×3＝12(个)，②个位数为2或4，则有2×3×3＝18(个)，所以在组成的三位数中，偶数的个数为12＋18＝30，故B正确；对于C，D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4×3＝12(个)，②十位为1，则有3×2＝6(个)，③十位为2，则有2×1＝2(个)，所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12＋6＋2＝20，故C正确，D错误．故选BC．
7.【答案】127 【解析】7名同学被邀请参加一个社团活动，有27＝128种去法，没人去的有1种，故必须有人去的去法有128－1＝127种．
8.【答案】60 【解析】分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得30＋30＝60(组).
9.【答案】5 6 【解析】对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关．故有2×3＝6(种)不同的方法．
10.解：(1)从高一选1名负责人有50种选法；
从高二选1名负责人有42种选法；
从高三选1名负责人有30种选法．
由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．
(2)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100种选法；
②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；
③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．
故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．
【B级——能力提升练】
11.【答案】BC 【解析】对于A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有5×5×5＝53种选择方案，A错误；对于B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61(种)，B正确；对于C，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，C正确；对于D，如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种)，D错误．故选BC．
12.【答案】16 14 【解析】1位专家选择调研活动的时间有2种方法，因此4位专家任选一天进行调研活动的种数为24＝16；周一或周二没有专家进行调研活动有2种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的种数为16－2＝14.
13.解：第1步，涂标号为1，5，9的三个小正方形，有3种涂法．
第2步，涂标号为2，3，6的三个小正方形：
若标号为2，6的小正方形颜色相同，则有2种涂法，此时标号为3的小正方形也有2种涂法，共有2×2＝4种涂法；
若标号为2，6的小正方形颜色不相同，则有2种涂法，此时标号为3的小正方形只有1种涂法，共有2×1＝2种涂法．
所以对标号为2，3，6的三个小正方形涂色，共有6种涂法．
第3步，对标号为4，7，8的三个小正方形涂色，易知共有6种涂法．
故符合条件的所有涂色方法共有3×6×6＝108种．
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)对于两位数，十位上的数字可取1，2，3，…，9，个位上的数字由于不能和十位上的数字重复，且与十位上的数字之和不能为9，故对于十位上的每一个数字，相应的个位数字有8种取法，从而符合题意的两位数共有9×8＝72个．对于三位数，我们先考虑百位上的数字，可取1，2，3，…，9；再考虑十位上的数字，由于不能与百位上的数字重复，且与百位上的数字之和不能为9，故有8种取法；最后考虑个位上的数字，由于不能和百位、十位上的数字重复，且和百位、十位上的数字相加都不能等于9，故有6种取法，从而符合题意的三位数有9×8×6＝432(个).
(2)五位数存在，如12 340就是其中一个．不存在这样的六位数，理由如下：仿照(1)的解法，十万位上有9种取法，万位上有8种取法，千位上有6种取法，百位上有4种取法，十位上有2种取法，个位上有0种取法，矛盾．
(3)由(1)可得符合题意的两位数有72个，三位数有432个，符合题意的四位数有9×8×6×4＝1 728个．四位数中千位上是1的有8×6×4＝192个；千位上是2，3的也各有192个，由于1 081－(72＋432＋192＋192＋192)＝1.所以符合题意的数是千位上是4的最小的数，即B中第1 081个元素是4 012.
A级——基础过关练
1．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有( )
A．8个 B．10个
C．18个 D．24个
2．(2024年榆林期中)如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有( )
A．24种 B．23种
C．15种 D．7种
3．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有( )
A．10个 B．14个
C．15个 D．21个
4．(2024年衡水月考)如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为( )
A．24 B．48
C．96 D．120
5．(2024年东莞联考)从4名本县教师和2名客县教师中选出3名教师参加某场考试的监考工作，分别负责核对身份、指纹认定和金属探测仪使用的工作，要求至少有1名客县教师，且要求金属探测仪必须由客县监考教师负责使用，则不同的安排方案的种数为( )
A．24 B．40
C．60 D．120
6．(2024年淮安期末)(多选)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，则下列结论中正确的有( )
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为30
7．(2024年广州期末)一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有________种不同的去法．(用数字作答)
8．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．
9．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法.
图1 图2
10．(2024年台州期末)现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．
(1)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
(2)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
B级——能力提升练
11．(2024年长春期中)(多选)高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A．所有可能的方法有35种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
12．(2024年广州月考)根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我省某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动的种数为________，周一、周二都有专家参加调研活动的种数为________．
13．(2024年深圳月考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的九个小正方形(如图)，使得任意有公共边的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂色方法共有多少种？
1 2 3
4 5 6
7 8 9
C级——创新拓展练
14．(2024年深圳期中)设A＝{x|x≥10，x∈N}，B A，且B中的元素满足①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.
(1)求B中的两位数和三位数的个数；
(2)B中是否存在五位数、六位数？
(3)若从小到大排列B中元素，求第1 081个元素．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C 【解析】若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有1种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72种．根据分类加法计数原理，共有24＋72＝96种不同的涂色方法．故选C．
5.【答案】B 【解析】由题意可先选一名客县教师负责金属探测仪的使用，共2种选法，再从剩余的5人中，选2名监考员，一人负责核对身份，一人负责指纹认证，共5×4＝20种选法．所以不同的安排方案的种数为2×20＝40.故选B．
6.【答案】BC 【解析】对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为4×4×3＝48，故A错误；对于B，将所有三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有4×3＝12(个)，②个位数为2或4，则有2×3×3＝18(个)，所以在组成的三位数中，偶数的个数为12＋18＝30，故B正确；对于C，D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4×3＝12(个)，②十位为1，则有3×2＝6(个)，③十位为2，则有2×1＝2(个)，所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12＋6＋2＝20，故C正确，D错误．故选BC．
7.【答案】127 【解析】7名同学被邀请参加一个社团活动，有27＝128种去法，没人去的有1种，故必须有人去的去法有128－1＝127种．
8.【答案】60 【解析】分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得30＋30＝60(组).
9.【答案】5 6 【解析】对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关．故有2×3＝6(种)不同的方法．
10.解：(1)从高一选1名负责人有50种选法；
从高二选1名负责人有42种选法；
从高三选1名负责人有30种选法．
由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．
(2)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100种选法；
②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；
③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．
故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．
【B级——能力提升练】
11.【答案】BC 【解析】对于A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有5×5×5＝53种选择方案，A错误；对于B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61(种)，B正确；对于C，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，C正确；对于D，如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种)，D错误．故选BC．
12.【答案】16 14 【解析】1位专家选择调研活动的时间有2种方法，因此4位专家任选一天进行调研活动的种数为24＝16；周一或周二没有专家进行调研活动有2种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的种数为16－2＝14.
13.解：第1步，涂标号为1，5，9的三个小正方形，有3种涂法．
第2步，涂标号为2，3，6的三个小正方形：
若标号为2，6的小正方形颜色相同，则有2种涂法，此时标号为3的小正方形也有2种涂法，共有2×2＝4种涂法；
若标号为2，6的小正方形颜色不相同，则有2种涂法，此时标号为3的小正方形只有1种涂法，共有2×1＝2种涂法．
所以对标号为2，3，6的三个小正方形涂色，共有6种涂法．
第3步，对标号为4，7，8的三个小正方形涂色，易知共有6种涂法．
故符合条件的所有涂色方法共有3×6×6＝108种．
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)对于两位数，十位上的数字可取1，2，3，…，9，个位上的数字由于不能和十位上的数字重复，且与十位上的数字之和不能为9，故对于十位上的每一个数字，相应的个位数字有8种取法，从而符合题意的两位数共有9×8＝72个．对于三位数，我们先考虑百位上的数字，可取1，2，3，…，9；再考虑十位上的数字，由于不能与百位上的数字重复，且与百位上的数字之和不能为9，故有8种取法；最后考虑个位上的数字，由于不能和百位、十位上的数字重复，且和百位、十位上的数字相加都不能等于9，故有6种取法，从而符合题意的三位数有9×8×6＝432(个).
(2)五位数存在，如12 340就是其中一个．不存在这样的六位数，理由如下：仿照(1)的解法，十万位上有9种取法，万位上有8种取法，千位上有6种取法，百位上有4种取法，十位上有2种取法，个位上有0种取法，矛盾．
(3)由(1)可得符合题意的两位数有72个，三位数有432个，符合题意的四位数有9×8×6×4＝1 728个．四位数中千位上是1的有8×6×4＝192个；千位上是2，3的也各有192个，由于1 081－(72＋432＋192＋192＋192)＝1.所以符合题意的数是千位上是4的最小的数，即B中第1 081个元素是4 012.