6.2.4 组合数 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

6.2.4 组合数
A级——基础过关练
1．(2024年长治期中)已知C－C＝C，则n＝(　　)
A．11 B．10
C．9 D．8
2．(2024年通州期中)已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凸三位数”，则没有重复数字的“凸三位数”的个数为(　　)
A．240 B．204
C．176 D．168
3．(2024年咸阳月考)若C＝C，则C＋C＋…＋C的值为(　　)
A．83 B．119
C．164 D．219
4．(2024年南开期末)为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为(　　)
A．2 730 B．10 080
C．20 160 D．40 320
5．(2024年滁州期末)一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数(prime number)，质数又称素数，如2，3，5，7等都是素数．数学上把相差为2的两个素数叫作孪生素数，如：3和5，5和7，…．如果我们在不超过31的素数中随机选取两个不同的数，则这两个数是孪生素数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
6．(多选)若1A．C B．C
C．C D．C
7．(2024年揭阳期中)将ABCDEF六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A，B分配到同一所学校，则不同的分配方法共有________种．
8．(2024年武汉期中)若C＝C，则C＋C＋…＋C的值为________．
9．(2023年福建模拟)福厦高速铁路于2017年开工建设，设计速度每小时350千米．为了加快推动福厦高速铁路重点项目进展，即西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个控制性工程的建设，项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有________种(用数字作答)．
10．有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班．
(1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？
(2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？
(3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
B级——能力提升练
11．(2024年枣庄期中)(多选)下列排列组合数中，正确的是(　　)
A．A＋A＋A＋A＝84 B．C＋C＋C＋…＋C＝C
C．A＋mA＝A D．mC＝nC
12．(2024年沧州期中)“渐降数”是指每一位数字都比左边数字小的正整数(如7 431)，那么四位“渐降数”有________个，比6 543大的四位“渐降数”有________个．
13．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
C级——创新拓展练
14．(2024年南通期中)规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求C的值．
(2)设x>0，当x为何值时，取得最小值？
(3)组合数的两个性质：①C＝C；②C＋C＝C．
是否都能推广到C(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B　【解析】若没有人参加“打埂作畦”，则有·A＝1 680种不同的方法，若有一人参加“打埂作畦”，则有C＝8 400种不同的方法，所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为1 680＋8 400＝10 080.故选B．
5.【答案】D　【解析】不超过31的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个数，从中随机选取两个不同的数共有C＝55种情况，其中孪生素数有，3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，共有5种情况，由古典概型的概率公式计算可得概率为＝．故选D．
6.【答案】ABC　【解析】C＝，A中，C＝·＝.B中，C＝·＝.C中，C＝·＝.D中，C＝·＝，故不相等．
7.【答案】18　【解析】将ABCDEF六位教师分配到3所学校，每所学校分配2人，且A，B分配到同一所学校，先将A，B两名教师看成一组，再将CDEF平均分为两组，有种分法，所以不同的分配方法共有×A＝18种．
8.【答案】69　【解析】因为C＝C，所以m＝2m－2或m＋2m－2＝19，解得m＝2或m＝7，因为C＋C＋…＋C，所以m≥3，可得m＝7，所以C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＝4＋10＋20＋35＝69.
9.【答案】72　【解析】把6人分成3组，共有＝15(种)不同的分法，其中甲、乙在同一组中有＝3(种)分法，所以甲、乙不在同一组中有15－3＝12(种)不同的分组，再分派到3个不同的项目现场，共有12A＝72(种)不同的方案．
10.解：(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有C＝36(种)分法．
(2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C＝15(种)分法．
(3)增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C＝66(种)分法．
【B级——能力提升练】
11.【答案】BCD　【解析】A＋A＋A＋A＝4＋12＋24＋24＝64，故A错误；C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C，故B正确；左边＝＋m·＝＝＝A＝右边，故C正确；mC＝m·＝，nC＝n·＝＝，故D正确．故选BCD．
12.【答案】210　175　【解析】四位“渐降数”的个数就是从0～9这10个数中抽取4个数的组合数，即C＝210.因为最高位为9的四位“渐降数”有C个，最高位为8的四位“渐降数”有C个，最高位为7的四位“渐降数”有C个，而6 543是最高位为6的最大的“渐降数”，所以比6 543大的四位“渐降数”有C＋C＋C＝175个．
13.解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·A＝A种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A种测试方法．所以不同的测试方法共有A·A·A＝103 680(种).
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以不同的测试方法共有C·(C·C)A＝576(种).
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)C＝＝－680.
(2)＝＝，
∵x>0，∴x＋≥2，当且仅当x＝时，取等号，
∴当x＝时，取得最小值．
(3)性质①不能推广．例如当x＝时，C有意义，但C无意义．
性质②能推广，其推广形式是C＋C＝C，x∈R，m是正整数．
事实上，当m＝1时，有C＋C＝x＋1＝C，
当m≥2时，C＋C＝＋＝·＝＝C．