6.3.1 二项式定理 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

6.3.1 二项式定理
A级——基础过关练
1．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于(　　)
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
2．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为(　　)
A．－20i B．15i
C．20 D．－15
3．(2024年晋城月考)若(1＋2x)10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a10(1＋x)10，则a2＝(　　)
A．180 B．－180
C．－90 D．90
4．在的展开式中，若常数项为60，则n等于(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
5．若(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为(　　)
A．4 B．27
C．36 D．108
6．(2024年广州期中)(多选)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值不可能的是(　　)
A．2 018 B．2 020
C．2 022 D．2 024
7.的展开式中倒数第三项为________．
8．(2024年上海松江区月考)设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则当a8＝－a9时，n＝________．
9．(2024年上海青浦区期中)已知实数m>0，在的二项展开式中，x2项的系数是135，则m的值为________．
10．(2024年西安质检)已知5名同学站成一排，要求甲站正中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m．
(1)求m的值；
(2)求二项式的展开式中的常数项．
B级——能力提升练
11．(2023年青岛期末)(多选)对于的展开式，下列说法正确的有(　　)
A．展开式有7项 B．有理项有3项
C．第4项的系数为－160 D．常数项为－160
12．二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第________项，常数项是________．
13．(2024年镇江期中)已知(n∈N*)展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20．
(1)求实数a的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中系数最大的项．
C级——创新拓展练
14．(x＋2y－3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为(　　)
A．－136 000 B．－136 080
C．－136 160 D．－136 280
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B　【解析】Tk＋1＝C()n－k＝2kCx．令＝0，得n＝3k．根据题意有2kC＝60，验证知k＝2，故n＝6．
5.【答案】D　【解析】Tk＋1＝C(3x)k，由C＝6，得n＝4，从而T4＝C·(3x)3，故第4项的系数为C·33＝108．
6.【答案】ACD　【解析】由a＝C·2＋C·22＋…＋C·220，得a＋1＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C×1010－C×109＋…－C×10＋1，所以a＝C×1010－C×109＋…－C×10＝10(C×109－C×108＋…－C)，即a被10除得的余数为0，结合选项可知只有2 020被10除得的余数为0，即b的值不可能的是ACD．故选ACD．
7.【答案】　【解析】由于n＝7，可知展开式中共有8项，∴倒数第三项即为第六项，∴T6＝C(2x)2·＝C·22＝.
8.【答案】17　【解析】(1－x)n展开式的通项为Tr＋1＝C1n－r·(－x)r＝C(－1)rxr，则a8＝
(－1)8·C，a9＝(－1)9·C，由a8＝－a9，可得(－1)8·C＝－(－1)9·C，即C＝C，所以n＝17．
9.【答案】3　【解析】展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k·＝mkCx6-2k，令6－2k＝2，得k＝2，所以x2项的系数为m2C＝15m2＝135．又m>0，所以m＝3．
10.解：(1)由题意可得m＝CA＝12．
(2)由(1)可得m＝9，
所以二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()9-r＝C·(－1)rx，r＝0，1，…，9，令＝0，解得r＝3，
所以展开式中的常数项为C·(－1)3＝－84．
【B级——能力提升练】
11.【答案】ACD　【解析】因为Tr＋1＝C·26-r·(－1)r·x3-r，所以展开式共有7项，全部为有理项，A正确，B错误；第4项的系数为－C·8＝－160，C正确；令3－r＝0，得r＝3，所以常数项为－160，D正确．
12.【答案】4　15　【解析】因为二项式的展开式共有7项，所以二项式系数最大为C，所以二项式系数最大的项是第4项；二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()6-r·＝(－1)r·C·x3-r，令3－r＝0 r＝2，所以常数项为T3＝(－1)2·C＝15.
13.解：(1)因为二项式系数最大的项为第6项，
所以2n＋1＝2×6－1＝11，解得n＝5，
所以展开式为Tr＋1＝Cx10-r·＝arCx10-r(0≤r≤10，r∈N)．
而展开式中第二项系数为20，从而aC＝10a＝20，解得a＝2．
(2)由(1)可知，展开式为Tr＋1＝Cx10-r·＝2rCx10-r(0≤r≤10，r∈N)，
令10－r＝0，解得r＝6，
故所求为26C＝64×210＝13 440．
(3)设展开式中系数最大的项为第k＋1项，则(0≤k≤10，k∈N)，
即
即解得≤k≤(0≤k≤10，k∈N)，所以k＝7，
所以展开式中系数最大的项为T8＝27C·x10-×7＝128×120x－＝15 360x－，经检验，符合题意．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】B　【解析】由(x＋2y－3z)9＝[x＋(2y－3z)]9，得展开式的通项Tr＋1＝C·x9-r·(2y－3z)r＝C·x9-r·C·(2y)r－t·(－3z)t＝C·C·2r－t·(－3)t·x9-r·yr－t·zt(t≤r≤9)，令则故含x4y2z3项的系数为C×C×22×(－3)3＝－136 080．故选B．