6.3.2 二项式系数的性质（含答案） 课后提升训练 数学选择性必修第三册(人教A版)

6.3.2 二项式系数的性质
A级——基础过关练
1．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．120
2．(2024年眉山月考)已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是(　　)
A．－1 B．1
C．64 D．36
3．(2024年肇庆期末)若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝(　　)
A．4 048 B．22 024
C．1 D．32 024
4．(2024年昆明模拟)(x2＋2x－y)5的展开式中，x5y2项的系数为(　　)
A．10 B．－30
C．60 D．－60
5．(2024年南通期中)已知(2－x)(1＋ax)3的展开式中各项系数之和为27，则展开式中x2项的系数为(　　)
A．－7 B．6
C．18 D．30
6．(2024年珠海阶段检测)(多选)若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则(　　)
A．a2＝180 B．a0＝－1
C．a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1 D．a0＋a2＋a4＋…＋a10＝
7．(2024年汕头三模)已知二项式(n∈N*)的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为________．
8．(2024年广州期末)若(x2＋1)·(x－1)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a10(x－2)10，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝________．
9．(2024年清远期中)已知(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5＝________．
10．(2024年惠州期中)在①只有第5项的二项式系数最大；②第3项与第7项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为28.
从以上三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面问题．
已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________．
(1)求n的值；
(2)求x3的系数；
(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值．
B级——能力提升练
11．(2024年合肥月考)(多选)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是(　　)
A．n＝8 B．a0＝1
C．a3＝－160 D．|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝36－1
12．(2024年苏州月考)设S(n)＝C＋C＋C＋…＋C，n∈N*，化简S(n)＝________，今天是星期六，那么当n＝30时，经过(S(n)＋73)天后的那一天是星期________．
13．已知的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项．
C级——创新拓展练
14．(2024年佛山月考)已知二项式(ax＋1)n(a≠0)的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列．
(1)求a和n的值；
(2)当x＝3，a，b∈N*时，若(ax＋1)n＋b恰好能被6整除，求b的最小值．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C　【解析】由多项式(x2＋2x－y)5展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋2x)5-r(－y)r，令r＝2，可得T3＝C(x2＋2x)3(－y)2，又由(x2＋2x)3展开式的通项为T′k＋1＝C(x2)3-k·(2x)k＝2kCx6-k，当k＝1时，可得T′2＝21Cx5，所以展开式中x5y2项系数为C×2×C＝60．故选C．
5.【答案】C　【解析】由题意(2－1)×(1＋a)3＝27，解得a＝2，所以(2－x)(1＋2x)3展开式中x2项的系数为2C22－C2＝18．故选C．
6.【答案】AC　【解析】由(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＝C22(－1)8＝180，故A正确；取x＝0，则(0－1)10＝a0，即a0＝1，故B不正确；取x＝1，则(2－1)10＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，即a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1①，故C正确；取x＝－1，则(－2－1)10＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，即a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝310②，①＋②得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝，故D不正确．故选AC．
7.【答案】60　【解析】由题意得C＝6，所以n＝6，二项式(n∈N*)的展开式的通项公式为Tr＋1＝C26-rx6-r＝C26-r·x6-r，令6－r＝0得r＝4，所以T5＝C×22＝60．
8.【答案】2 560　【解析】令x＝3，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(9＋1)×(3－1)8＝2 560．
9.【答案】10　【解析】由(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5两边求导得10(1＋2x)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，取x＝－1，可得a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5＝10．
10.解：(1)选择①时，只有第5项的二项式系数最大，则二项展开式共有9项，故n＝8；
选择②时，有C＝C，由组合数的性质可得n＝6＋2＝8；
选择③时，因所有二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n＝28，解得n＝8．
(2)由(1)可得(2x－1)8，其通项公式为Tr＋1＝C(2x)8-r·(－1)r＝(－1)r28-rCx8-r，r＝0，1，2，…，8，
由8－r＝3可得r＝5，故x3的系数即为－23C＝－8×56＝－448．
(3)由通项知a1，a3，a5，a7为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数．
在(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a8x8中，
取x＝0，可得a0＝1，
取x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝1①，
取x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝38②，
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝38＋1，将a0＝1代入整理得a2＋a4＋a6＋a8＝；
由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝1－38，整理得a1＋a3＋a5＋a7＝．
而|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－(a1＋a3＋a5＋a7)＋(a2＋a4＋a6＋a8)＝－＋＝
38－1＝6 560.
【B级——能力提升练】
11.【答案】BCD　【解析】因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2n＝64，解得n＝6，故A错误；则(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，令x＝0，可得a0＝1，故B正确；因为(1－2x)6展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a3x3＝C×(－2x)3＝－160x3，所以a3＝－160，故C正确；由展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a1，a3，a5<0，a0，a2，a4，a6>0，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－…＋a6，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋a6＝36，所以|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝36－1，故D正确．故选BCD．
12.【答案】2n－1　二　【解析】由C＋C＋C＋C＋…＋C＝2n，又C＝1，故C＋C＋C＋…＋C＝2n－1；S(30)＋73＝230＋72＝810＋72＝(7＋1)10＋72＝C·710＋C·79＋…＋C·7＋C＋72＝C·710＋C·79＋…＋C·7＋73，73÷7＝10……3，故是星期二．
13.解：因为的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n-1，
而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n-1，
所以有2n-1＝22n-1－120，解得n＝4，
故第一个展开式中第3项为T3＝C()2＝6．
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)因为二项式(ax＋1)n的展开式中仅第5项的二项式系数最大，所以n＝8．
因为二项式(ax＋1)8，展开式的通项公式为Tr＋1＝C(ax)8-r(0≤r≤8且r∈N)，
所以第4项，第5项，第6项的系数分别为Ca5，Ca4，Ca3．
由Ca5＋Ca3＝2Ca4，又a≠0，
所以56a2＋56＝140a，解得a＝2或a＝．
(2)因为a∈N*，所以a＝2．
当x＝3时，(ax＋1)n＋b＝78＋b．
因为78＋b＝(6＋1)8＋b＝C×68＋C×67×1＋C×66×12＋…＋C×6×17＋C×18＋b
＝6(C×67＋C×66＋C×65＋…＋C)＋1＋b，
且(ax＋1)n＋b恰好能被6整除，所以b＋1＝6k，k∈N．
因为b∈N*，所以b的最小值为5．