7.1.1 条件概率的性质及应用 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

7.1.1　条件概率的性质及应用
A级——基础过关练
1．(2024年昆明期中)已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P((A∪B)|C)＝，P(BC)＝，P(C)＝，则P(A|C)的值等于(　　)
A． B．
C． D．
2．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地相同)，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　)
A． B．
C． D．
4．(2024年青岛期中)某机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞机准点的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．(2024年湖南联考)甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲挑战成功的概率是，乙挑战成功的概率是，甲、乙均未挑战成功的概率是，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为(　　)
A． B．
C． D．
6．(2024年葫芦岛期末)(多选)为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动．决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答．设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝
7．(2024年克孜勒苏期中)设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为，则事件B发生的概率为________．
8．(2024年滨州期末)在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组的8位同学从中不放回地每人随机抽取一题作答，记Ai表示第i位同学抽到导数题，i＝1，2，…，8，则P(A1|A3)＝________．
9．甲、乙两名同学利用寒假到北京旅游，由于时间关系，只能从故宫、长城、颐和园、南锣鼓巷四个景点中随机选择一个游玩．在甲、乙两人选择的景点不同的条件下，甲和乙恰有一人选择颐和园的概率为________．
10．(2024年深圳月考)某校将进行篮球定点投测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．已知甲同学两分球投篮命中的概率是，三分球投篮命中的概率是，乙同学两分球投篮命中的概率是，三分球投篮命中的概率是.
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．
B级——能力提升练
11．(2024年无锡期中)(多选)甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件A为“恰有两名同学所看电影相同”，事件B为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则(　　)
A．四名同学看电影情况共有34种
B．“每部电影都有人看”的情况共有72种
C．P(B|A)＝
D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是
12．(2024年南京期末)现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球．先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒．记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则P(B|A)＝________，P( )＝________．
13．(2024年新余联考)小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空．以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者．
(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
(2)求最终小金获胜的概率．
(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率(请用两种方法解答)．
C级——创新拓展练
(2024年咸阳期中)骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n(n＝1，2，3，4)关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n＋n，则算闯过第n关．假定每次闯关互不影响．甲连续挑战前两关并过关的概率为________；若甲直接挑战第3关时，记事件A＝“三次点数之和等于15”，B＝“至少出现一次5点”，则P(B|A)＝________．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D　【解析】记事件A＝“飞机准点”，记事件B＝“机场降雨”，根据题意，P(B)＝，在降雨的情况下飞机准点的概率为P(A|B)＝，根据条件概率计算公式，P(A|B)＝，所以某时降雨且飞机准点的概率为P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝×＝，A，B，C错误，D正确．故选D．
5.【答案】B　【解析】记“甲挑战成功”为事件A，“乙挑战成功”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝1－＝，由概率加法公式知P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，可得P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝＋－＝，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为P(B|A)＝＝＝.故选B．
6.【答案】AB　【解析】对于A，决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故P(A)＝，故A正确；对于B，从5道题中不放回地随机抽取两次，故P(AB)＝×＝，故B正确；对于C，P(B|A)＝＝×＝，故C错误；对于D，因为P(A)＝，所以P()＝1－＝，又P(B)＝×＝，故P(B|)＝＝×＝，故D错误．故选AB．
7.【答案】　【解析】因为P(A|B)＝，而P(AB)＝，P(A|B)＝，所以P(B)＝＝＝.
8.【答案】　【解析】P(A1|A3)＝＝＝.
9.【答案】　【解析】设事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰有一人选择颐和园，所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.
10.解：(1)设甲同学累计得分为X分，
则P(X＝4)＝××＝0.225，
P(X＝5)＝×＋××＝0.075，
故甲同学通过测试的概率P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.225＋0.075＝0.3.
(2)设乙同学累计得分为Y分，
则P(Y＝4)＝××＝0.128，
P(Y＝5)＝×＋××＝0.128，
故乙同学通过测试的概率P(Y≥4)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝0.128＋0.128＝0.256，
设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过测试”为事件B，
则P(AB)＝P(X＝5)·P(Y＝4)＝0.075×0.128＝0.009 6，
P(B)＝[P(X＝4)＋P(X＝5)]·[P(Y＝4)＋P(Y＝5)]＝0.3×0.256＝0.076 8，
故P(A|B)＝＝＝，
即在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，甲得分比乙得分高的概率为.
【B级——能力提升练】
11.【答案】ACD　【解析】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学看电影的情况共有34种，故A正确；对于B，现将四名同学分为2，1，1三组，共有C＝6种情况，再将其分到三部电影中，共有A＝6种，由分步乘法计数原理得到6×6＝36(种)，故“每部电影都有人看”的情况共有36种，故B错误；对于C，由已知有P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故C正确；对于D，“四名同学最终只看了两部电影”的概率是＝，故D正确．故选ACD．
12.【答案】　　【解析】P(A)＝＝，P(B|A)＝＝＝；：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球，：乙盒中还剩下两个红球或者两个白球，则P( )＝·＝.
13.解：(1)第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
所以需要下第四场比赛的概率为××＋××＝．
(2)由题意，最终小金获胜的情况如下，
当小金第一场轮空，
第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时×××＝，
第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时×××＝，
则小金获胜P1＝＋＝，
当小金第一场不轮空，
第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时××××＝，
第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，此时××××＝，
第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时××＝，
所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为P2＝＋＋＝，
同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为P3＝，
故小金获胜概率为p＝P1＋P2＋P3＝.
(3)(方法一)设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则P(A|B)＝，
结合(2)知P(AB)＝×××＋××××＝，P(B)＝×＋×＝，
∴P(A|B)＝＝.
(方法二)第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为×××，
第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为2×××，
P(A|B)＝×××＋2×××＝.
【C级——创新拓展练】
14.【答案】　　【解析】闯第1关时，2n＋n＝21＋1＝3，且基本事件为6，故概率为＝，闯第2关时，2n＋n＝22＋2＝6，且基本事件为62＝36，故通过概率为＝，因每次闯关互不影响，则两个事件相互独立，故由独立事件乘法公式得概率为×＝；而抛3次的基本事件为63＝216，事件AB包含456，465，645，654，546，564，555，共7个基本事件，故P(AB)＝，而满足A的有456，663，636，366，465，645，654，546，564，555，共10个基本事件，故P(A)＝，由条件概率公式得P(B|A)＝＝．