7.1.2 全概率公式 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

7.1.2 全概率公式
A级——基础过关练
1．(2024年漳州期末)在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型A，B，C．模型A的准确率为0.8，模型B的准确率为0.75，模型C的准确率为0.7.已知选择模型A，B，C的概率分别为0.4，0.4，0.2.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为(　　)
A．0.56 B．0.66
C．0.76 D．0.86
2．(2024年武威月考)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为(　　)
A．0.62 B．0.64
C．0.58 D．0.68
3．(2024年苏州期中)某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．(2024年西安期中)某车间使用甲、乙、丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优质品率分别为60%，50%，且甲和乙加工的零件数分别占总数的45%，30%．如果将三台车床加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是0.54，则车床丙加工此型号零件的优质品率是(　　)
A．48% B．50%
C．52% D．54%
5．(2024年菏泽月考)第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能地随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为(　　)
A．0.75 B．0.7
C．0.56 D．0.38
6．(2024年茂名模拟)(多选)某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件A1和A2表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队(甲队已经抽取一人派往乙队)中随机抽取一人抽到的是男士，则(　　)
A．P(A1A2)＝0 B．P(B|A1)＝
C．P(B)＝ D．P(A2|B)＝
7．(2024年广州期末)长时间看手机有可能影响视力．据调查，某校学生有50%的人近视，而该校有25%的学生每天看手机时间超过1 h，这些人的近视率为80%.现从每天看手机时间不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为________．
8．(2024年滨海期末)天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________．
9．(2024年淄博月考)近年来，我国外卖业发展迅猛，某外卖小哥每天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为1，2，3，4)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能地前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件Ak＝{第k次取单恰好是从1号店取单}，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)＝1，P(A2)＝0，则P(An)＝________．
10．(2024年贵港期中)2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%．
(1)求用户对S型新能源汽车的满意率；
(2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率．
B级——能力提升练
11．(2024年河南二模)(多选)现有编号分别为Ai(i＝1，2，3)的三个盒子，其中A1盒中共20个小球，其中红球6个，A2盒中共20个小球，其中红球5个，A3盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件A：“该球为红球”，事件Bi：“该球出自编号为Ai(i＝1，2，3)的盒中”，则下列说法正确的是(　　)
A．P(A|B1)＝
B．P(A)＝
C．P(2|A)＝
D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自A2盒的概率最小
12．(2024年天津月考)甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为________；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是________．
C级——创新拓展练
13．(2024年淮南期中)某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为6%，第2，3台生产的次品率均为5%，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的25%，30%，45%．
(1)任取一个芯片，求它是正品的概率；
(2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A　【解析】设车床丙加工此型号零件的优质品率为x，则0.54＝60%×45%＋50%×30%＋x·(1－45%－30%)，解得x＝48%．故选A．
5.【答案】A　【解析】设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.7，P(A2|B1)＝0.8，则P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.7＋0.5×0.8＝0.75．故选A．
6.【答案】ABC　【解析】对于A，依题意，事件A1，事件A2不能同时发生，∴P(A1A2)＝0，故A正确；对于B，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝＝，故B正确；对于C，P(B|A2)＝＝，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，故C正确；对于D，P(A2|B)＝＝＝，故D错误．故选ABC．
7.【答案】0.4　【解析】记事件A＝“抽到每天看手机时间超过1 h的学生”，事件B＝“抽到每天看手机时间不超过1 h的学生”，事件C＝“抽到近视的学生”，由题意得，P(A)＝0.25，P(B)＝0.75，P(C)＝0.5，P(C|A)＝0.8，因为P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)P(C|B)，所以0.25×0.8＋0.75×P(C|B)＝0.5，解得P(C|B)＝0.4，所以从每天看手机时间不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为0.4．
8.【答案】　【解析】由全概率公式可知，所求概率p＝75%×＋60%×＋60%×＝＋＝．
9.【答案】＋×　【解析】由全概率公式可得P(An)＝P(An|An－1)·P(An－1)＋P(An|n－1)P(n－1)＝0＋(1－P(An－1))＝－An－1＋，所以P(An)－＝－．又因为P(A1)－＝1－＝，所以数列是首项为，公比为－的等比数列，所以P(An)－＝×，则P(An)＝＋×.
10.解：(1)设A1＝“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，
A2＝“用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，
A3＝“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”，
B＝“用户对S型新能源汽车满意”，
则A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＝0.3，
P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.4，
P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝0.7，
由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.3×0.8＋0.3×0.6＋0.4×0.7＝0.7．
(2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，A3发生的概率，
P(A3|B)＝＝＝＝0.4．
【B级——能力提升练】
11.【答案】ACD　【解析】对于A，由题P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝，P(A|B3)＝＝，故A正确；对于B，由A可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝，故B错误；对于C，因为P(B2)＝，所以P()＝1－＝，所以P(|A)＝＝＝＝，故C正确；对于D，由题该球来自A1盒的概率为＝，该球来自A2盒的概率为＝，该球来自A3盒的概率为＝，所以该球来自A2盒的概率最小，故D正确．故选ACD．
12.【答案】　　【解析】记事件A表示“至少抽到一个红球”，事件B表示“2个球都是红球”，P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，则P(C)＝＝，P()＝＝，P(D|C)＝，P(D|)＝，所以P(D)＝P(CD)＋P(D)＝P(C)P(D|C)＋P()·P(D|)＝×＋×＝，所以P(C|D)＝＝＝＝．
【C级——创新拓展练】
13.解：(1)任取一个芯片是次品的概率为0.06×0.25＋0.05×0.3＋0.05×0.45＝0.052 5，
则它是正品的概率为1－0.052 5＝0.947 5．
(2)次品是第1台机器生产的概率为＝，
次品是第2台机器生产的概率为＝，
次品是第3台机器生产的概率为1－－＝．