7.3.1 离散型随机变量的均值 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

7.3.1 离散型随机变量的均值
A级——基础过关练
1．(2024年广州期末)已知随机变量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E(X)＝15，则n＝(　　)
A．29 B．19
C．6 D．5
2．(2024年扬州期中)随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b
若E(X)＝，则a的值是(　　)
A． B．
C． D．
3．(2024年贵阳期中)近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1 617，2 106，2 329，2 896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量X＝；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量X＝1，则E(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
4．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＋b等于(　　)
A．10 B．5
C． D．
5．(2024年泰安期末)若随机变量X的分布列为
X 0 1
P p q
其中p∈(0，1)，则(　　)
A．E(X)＝p，D(X)＝p3 B．E(X)＝p，D(X)＝p2
C．E(X)＝q，D(X)＝q2 D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2
6．(2024年高州期末)(多选)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则(　　)
A．P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1 B．a＝
C．P(0≤X<2)＝ D．P(X＝1)＝
7．(2024年太原期末)为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则E(X)＝________．
8．(2024年化州期中)若从4道单选题、3道多选题、2道填空题中任选两道试题作答，记选出单选题的道数为η，则E(η)＝________．
9．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________．
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
10．(2024年聊城期中)甲、乙、丙三位电竞爱好者参加一项比赛的海选赛测试，三人测试相互独立，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙小．
(1)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
(2)求测试结束后通过的人数X的数学期望E(X)．
B级——能力提升练
11．(2024年河源期中)(多选)袋中有3个红球，m个白球，n个黄球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一白的概率也为，则(　　)
A．m＝n－1 B．m＋n＝4
C．E(ξ)＝1 D．P(ξ＝0)＝
12．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p>0)，发球次数为X，若X的均值E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
13．(2024年肇庆期末)某省高考自2024年起数学考试多选题(题号9～11)的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分)，错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10～11题还不确定对错．
(1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题(满分18分)所有可能总得分的中位数；
(2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项(既没空选也没选四项，所有选法等可能)，求乙第10题得0分的概率P0；
(3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值E(X)，E(Y)的大小．
C级——创新拓展练
(2024年深圳期中)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m＋n＝________，E(ξ)＝________．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D　【解析】易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3①．又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1②．由①②得a＝，b＝0．所以a＋b＝．
5.【答案】D　【解析】依题意，可知X服从两点分布．又p＋q＝1，则q＝1－p，所以E(X)＝q＝1－p，D(X)＝pq＝p(1－p)＝p－p2．故选D．
6.【答案】ABC　【解析】根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，则有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，解得a＝，则P(X＝1)＝，P(0≤X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝．故选ABC．
7.【答案】　【解析】依题意，X的可能取值为1，2，3，当X＝1时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法；当X＝2时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有CCA种选法；当X＝3时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有A种选法；则P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝．
8.【答案】　【解析】由题意可得η的所有取值为0，1，2，则P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，所以E(η)＝0×＋1×＋2×＝．
9.【答案】706元　【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束).设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．
10.解：(1)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x，y(0由题意得
解得或(舍去)，
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是，．
(2)X的取值分别为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
【B级——能力提升练】
11.【答案】ACD　【解析】取出的两个都是红球的概率为＝，即(m＋n＋3)(m＋n＋2)＝5×6，解得m＋n＝3，故B错误；取出的两个是一红一白的概率为＝，化简得15m＝15，解得m＝1，所以n＝2，所以m＝n－1，故A正确；由已知ξ的取值有0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，故D正确；因为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，故C正确．故选ACD．
12.【答案】B　【解析】根据题意，X的所有可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)＞1.75，则p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈．故选B．
13.解：(1)因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分，
因此总得分可能有以下情形：6＋0＋0＝6，6＋0＋2＝8，6＋0＋3＝9，6＋4＋0＝10，6＋4＋2＝12，6＋6＋0＝12，6＋4＋3＝13，6＋6＋2＝14，6＋6＋3＝15，
故总得分只有6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分，
所以总得分的中位数是＝11．
(2)因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有C＝2种选法，
选两项且不得分有CC＋C＝5种选法，选三项且不得分有C＝4种选法，
这道题的总选法有C＋C＋C＝14种，
所以P0＝．
(3)若第11题正确答案是“选两项”，则X的取值为0，3，Y的取值为0，6，
且P(X＝0)＝，P(X＝3)＝，P(Y＝0)＝，P(Y＝6)＝；
若第11题正确答案是“选三项”，则X的取值为0，2，Y的取值为0，4，
且P(X＝0)＝，P(X＝2)＝，P(Y＝0)＝，P(Y＝4)＝；
记“选两项”和“选三项”时，X与Y的平均值分别为E(X1)，E(X2)和E(Y1)，E(Y2)，
则E(X1)＝0×＋3×＝，
E(X2)＝0×＋2×＝，
E(Y1)＝0×＋6×＝1，
E(Y2)＝0×＋4×＝2，
因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是，
所以E(X)＝E(X1)＋E(X2)＝，
E(Y)＝E(Y1)＋E(Y2)＝，
故E(X)＝E(Y)．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】5　　【解析】由题意，P(ξ＝2)＝＝＝，又一红一黄的概率为＝＝，所以C＝36，C＝3，解得m＝3，n＝2，故m＋n＝5；由题意，ξ的可能取值为0，1，2，所以P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．