7.3.2 离散型随机变量的方差 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

7.3.2 离散型随机变量的方差
A级——基础过关练
1．有甲、乙两台自动包装机，包装质量分别为随机变量X甲，X乙，已知E(X甲)＝E(X乙)，且D(X甲)>D(X乙)，则(　　)
A．甲包装机的质量较好 B．乙包装机的质量较好
C．甲、乙两台包装机的质量一样好 D．甲、乙两台包装机的质量不能比较
2．(2023年乌鲁木齐期中)若随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.2 m
已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R，a>0)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为(　　)
A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10
C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5
3．设随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P x y
若E(X)＝，则D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
4．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1-k(k＝0，1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
5．(2023年南京模拟)小智参加三次投篮比赛，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D(|ξ|)为(　　)
A． B．
C． D．3
6．(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．
表1　股票甲收益的分布列
收益X/元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表2　股票乙收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列结论中正确的有(　　)
A．D(X)＝1.29 B．D(Y)＝0.6
C．投资股票甲的期望收益较小 D．投资股票甲比投资股票乙的风险高
7．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
8．随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 x
P p
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________．
9．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，则打开此门所需试开次数X的方差为________．
10．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
X1 －2 －1 0 1 2
P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05
X2 －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量．
B级——能力提升练
11．(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝3X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝7，D(Y)＝16.2
12．已知随机变量ξ的分布列如下，且E(ξ)＝，则实数x＝________，若随机变量η＝2ξ－3，则D(η)＝________．
ξ 2 3 4
P x y
C级——创新拓展练
13．设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，球除颜色外其余都相同，且规定：取出一个红球得a分，取出一个白球得b分，取出一个黑球得c分，其中a，b，c都为正整数．
(1)当a＝1，b＝2，c＝3时，从该盒子中依次任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)当a＝1时，从该盒子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数，若E(η)＝，D(η)＝，求b和c．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D　【解析】由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．
5.【答案】B　【解析】由题意可得ξ＝－3，3，－1，1，其中P(ξ＝－3)＝P(ξ＝3)＝0.53，P(ξ＝－1)＝P(ξ＝1)＝C(0.5)3＝3×0.53，故随机变量|ξ|的分布列为
|ξ| 1 3
P 6×0.53 2×0.53
故E(|ξ|)＝6×0.53＋3×2×0.53＝1.5，D(|ξ|)＝(1.5－1)2×6×0.53＋(3－1.5)2×2×0.53＝0.75．
6.【答案】ABD　【解析】甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；
乙收益的期望E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，
方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6．
所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选ABD．
7.【答案】0.5　【解析】事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5．
8.【答案】　【解析】由＋＋p＝1，得p＝．又因为E(ξ)＝0×＋1×＋x＝，解得x＝2，所以D(ξ)＝×＋×＋×＝．
9.【答案】2　【解析】设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1，2，3，4，5.X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门．P(X＝1)＝，P(X＝2)＝·＝，P(X＝3)＝·＝，P(X＝4)＝·＝，P(X＝5)＝·1＝，故随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3，D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝2．
10.解：由题意，得E(X1)＝0，E(X2)＝0，故E(X1)＝E(X2)．
D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，故D(X1)＜D(X2)．
综上可知，A大钟的质量较好．
【B级——能力提升练】
11.【答案】ACD　【解析】由q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，可得q＝0.1，选项A判断正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故选项B判断错误，选项C判断正确；E(Y)＝3E(X)＋1＝3×2＋1＝7，D(Y)＝32D(X)＝32×1.8＝16.2，选项D判断正确．故选ACD．
12.【答案】　　【解析】由分布列的性质可得x＋y＋＝1①，∵E(ξ)＝，∴2x＋3y＋4×＝②．联立①②，解得x＝y＝．∴D(ξ)＝×＋×＋×＝．∵随机变量η＝2ξ－3，∴D(η)＝22D(ξ)＝4×＝．
【C级——创新拓展练】
13.解：(1)ξ的可能取值为2，3，4，5，6，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝．
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
(2)由题意知η的分布列为
η 1 b c
P
因为E(η)＝，D(η)＝，
所以
解得