7.4.2 超几何分布 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

7.4.2　超几何分布
A级——基础过关练
1．(2024年扬州期中)已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则X＝2的概率为(　　)
A． B．
C． D．
2．(2024年肇庆期中)一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P(X＝1)＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(2024年济宁四校联考)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5
C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5
4．(2024年宿迁期中)有20个零件，其中16个一等品，其余都是二等品，若从20个零件中任取3个，那么至多有一个是二等品的概率是(　　)
A． B．
C． D．以上均不对
5．(2024年宁波期末)袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为(　　)
A． B．
C． D．
6．(2024年长春期中)(多选)下列说法正确的有(　　)
A．若随机变量X的数学期望E(X)＝4，则E(2X－1)＝9
B．若随机变量Y的方差D(Y)＝3，D(2Y＋5)＝12
C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
D．从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布
7．(2024年太原期中)某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过评比后，评出4篇文章获得优胜奖．若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有________篇．
8．(2024年宝鸡期中)在20件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过30%，则这20件产品的次品率为________．
9．(2024年邯郸期末)为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．
10．(2024年北京期末)某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
假设用频率估计概率．
(1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；
(2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望．
B级——能力提升练
11．(2024年长春阶段测试)(多选)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　)
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
12．(2024年牡丹江期中)产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，在产品中随机抽n件做检查，发现k件不合格品的概率为P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于合格品数(即n≤N－M)时取0，否则t取n与合格品数之差，即t＝n－(N－M).根据以上定义及分布列性质，请计算当N＝16，M＝8时，CC＋CC＋CC＋CC＋CC＝________；若N＝2n，M＝n，请计算CC＋CC＋CC＋…＋CC＋CC＝________．(两空均用组合数表示)
C级——创新拓展练
13．(2024年梅州月考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；
(3)设Y表示取到的粽子的种类，求Y的分布列．
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C　【解析】至多有一个是二等品即没有二等品或者只有一个二等品，故概率为．故选C．
5.【答案】C　【解析】设事件“依次随机摸出2个球，摸出的2个球都是红球”为事件A，P(A)＝＝，即＝，解得n＝9，设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B，P(B)＝＝．故选C．
6.【答案】BCD　【解析】因为E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×4－1＝7，故A错误；因为D(2Y＋5)＝4D(Y)＝4×3＝12，故B正确；根据二项分布的概念可知，随机变量X服从二项分布，即X～B，故C正确；根据超几何分布的概念可知，随机变量X服从超几何分布，故D正确．故选BCD．
7.【答案】5　【解析】设高一年级上交了n篇文章，则高二年级上交了9－n篇文章．设“这4篇优胜文章恰有3篇是高一年级上交的”为事件A，则P(A)＝．又P(A)＝，所以＝，即n＝5，故高一年级上交的文章有5篇．
8.【答案】10%　【解析】设20件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，解得x＝2或x＝18．因为次品率不超过30%，所以x＝2，所以次品率为＝10%．
9.【答案】　【解析】设先抽取2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为0，1，2，可得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以最后抽取到的题为多选题的概率为p＝P(X＝0)×＋P(X＝1)×＋P(X＝2)×＝×＋×＋×＝．
10.解：(1)设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果为事件A，则P(A)＝＝，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Y，则Y～B，
所以恰好有2个水果是礼品果的概率为P(Y＝2)＝C＝．
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，
其中精品果有10×＝4(个)，非精品果有10×＝6(个)，
再从中随机抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
【B级——能力提升练】
11.【答案】ACD　【解析】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为＝，故A正确；对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，其概率为＝，故D正确；对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，故X不服从超几何分布，故B错误，对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，易知P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝，P(Y＝4)＝＝，显然当Y＝2时，概率最大，故C正确．故选ACD．
12.【答案】C　C(或C)　【解析】当N＝16，M＝8，n＝4时，P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，4，因为＋＋＋＋＝1，所以CC＋CC＋CC＋CC＋CC＝C．当N＝2n，M＝n时，因为＋＋＋…＋＋＝1，所以CC＋CC＋CC＋…＋CC＋CC＝C，所以CC＋CC＋CC＋…＋CC＋CC＝CC＋CC＋CC＋…＋CC＋CC＝C＝C．
【C级——创新拓展练】
13.解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则P(A)＝＝．
(2)X的所有可能取值为0，1，2，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．
综上知，X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)由题意知Y的所有可能取值为1，2，3，且P(Y＝1)＝＝＝，P(Y＝3)＝＝＝，P(Y＝2)＝1－P(Y＝1)－P(Y＝3)＝1－－＝．
综上知，Y的分布列为
Y 1 2 3
P