7.4.2 超几何分布的综合应用 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

7.4.2　超几何分布的综合应用
A级——基础过关练
1．(2024年信阳期末)2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X，则E(X)＝(　　)
A． B．
C．1 D．
2．(2024年张家口期末)某盒子中有6个质地大小相同的小球，其中有2个红色球，4个白色球，从这个盒子中摸取2个球，记摸到红色球的个数为X，则E(X)为(　　)
A． B．
C． D．
3．(2024年温州期中)一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个黑球，从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记2分，摸到一个黑球记1分，则总得分ξ的数学期望等于(　　)
A．5分 B．4.8分
C．4.6分 D．4.4分
4．(2024年成都开学考试)某地盛行的糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m(mA． B．
C． D．
5．(2024年临沂开学考试)一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球(n∈N*)，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则E(X)＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
6．(2024年株洲期末)(多选)一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则(　　)
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量X服从超几何分布
C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝
7．(2024年德阳期末)口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．
8．(2024年青岛期末)50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
9．(2024年天津期中)某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是________，记抽取的男生人数为X，则随机变量X的数学期望为________．
10．(2024年东莞期中)某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．
(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差．
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
B级——能力提升练
11．(2024年延安期中)(多选)为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示．
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则(　　)
A．X的取值范围为{0，1，2，3} B．P(X＝0)＝
C．P(X＝1)＝ D．E(X)＝
12．(2024年佛山期中)某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿者活动，若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的安排方案，则该支教队女老师的人数为________；记X为选出的2位老师中女老师的人数，则X的均值为________．
13．(2024年深圳期中)根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%．为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．
(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值；
(2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．
(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)
B级——创新拓展练
14．(2024年汕头期中)(多选)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(X＝1)＝ B．X＋Y＝4
C．E(X)>E(Y) D．E(Z)＝
参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A　【解析】由题意可知从含有顾客喜好的k(k5.【答案】A　【解析】由题可知＝，解得n＝3，X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5．故选A．
6.【答案】BCD　【解析】由题意，知随机变量X服从参数为10，4，4的超几何分布，即X～H(10，4，4)，故A错误，B正确；随机变量X的取值范围为{0，1，2，3，4}，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故C，D正确．故选BCD．
7.【答案】1.2　【解析】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2；则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝1.2．
8.【答案】15　【解析】用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5 ＋>，所以＋>，解得n≥15．
9.【答案】　　【解析】由分层抽样知，抽取的5人中男生人数为×5＝3，女生人数为2，所以从5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是p＝＝；依题意，随机变量X服从超几何分布，其期望为E(X)＝＝．
10.解：(1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率
p＝×C××＋×C××＝．
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝．
(3)设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，则Y～B．
所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝．
因为E(X)＝E(Y)，D(X)所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
11.【答案】BC　【解析】X的取值范围为{0，1，2}，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝．故选BC．
12.【答案】3　　【解析】不妨设男老师总共有x人，则女老师共有(8－x)人(1≤x≤8，x∈N*)，从这8位老师中选出至少1名女老师，共有C－C＝28－＝18(种)不同的方法，解得x＝5，则8－x＝3，所以该支教队共有女老师3人．所以X可取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
13.解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1．
(2)新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，
∴p＝C×＋C×≈0.01<0.05，故实验方案合理．
【B级——能力提升练】
14.【答案】BD　【解析】由题意可知袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以X＋Y＝4，故B正确；X的取值为0，1，2，3，4，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，可知A错误；Y的取值为0，1，2，3，4，P(Y＝0)＝P(X＝4)，P(Y＝1)＝P(X＝3)，P(Y＝2)＝P(X＝2)，P(Y＝3)＝P(X＝1)，P(Y＝4)＝P(X＝0)，可求得E(X)＝，E(Y)＝，所以E(X)