7.5 正态分布 课后提升训练（含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

7.5 正态分布
A级——基础过关练
1．(2024年天津期中)已知某地区中学生的身高X近似服从正态分布N(164，σ2)，若P(X≥170)＝0.3，则P(158A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
2．(2024年扬州期末)(多选)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列选项中正确的是(　　)
A．σ越大，该物理量在一次测量中在(9.8，10.2)的概率越大
B．该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(9.8，10.2)与落在(9.9，10.3)的概率相等
3．(2024年廉江期中)某省举办了一场传统知识方面的竞赛，现有6 000人参赛，参赛者的成绩η近似服从正态分布N(100，σ2)(总分150分)，且P(η≤80)＝0.2.据此估计，这次竞赛成绩在100到120分之间的参赛人数为(　　)
A．1 800 B．2 200
C．1 600 D．1 700
4．(2024年长沙期末)某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上(含90分)为及格．阅卷结果显示，全年级1 200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为(附：若X～N(μ，σ2)，记p(k)＝P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)，则p(0.75)≈0.547，p(1)≈0.683)(　　)
A．136 B．272
C．328 D．820
5．(2024年潍坊期中)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，若Z～N(μ1，σ)，则下列结论正确的是(　　)
A．μ1<μ2，σ1>σ2 B．P(μ1≤Z≤μ2)≥P(μ1≤X≤μ2)
C．P(Z≥μ2)≥P(Z≥μ1) D．P(Z≤μ2)>P(Y≤μ1)
6．(2024年重庆期中)(多选)在实际生产中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则，若X在[μ－3σ，μ＋3σ]外，可以认为生产线是不正常的，已知P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1，0.000 1)(单位：厘米)，则(　　)
A．P(X＝1)＝
B．P(X<0.99)＝P(X≥1.01)
C．若抽检的10个样本的长度均在[0.99，1.02]内，可以认为生产线正常
D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修
7．(2024年合肥开学考试)已知随机变量ξ～N(2，32)，若P(ξ2a＋1)，则实数a的值为________．
8．(2024年唐山期末)唐山市2024年中考市区考生约15 600人，考生的成绩X(含优秀)近似服从正态分布：X～N(510，σ2)，已知P(420≤X≤600)≈0.490，则唐山市区本次中考成绩在600分以上的人数约为________．
9．(2024年宝鸡期末)某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N(15，9)，其中X∈[6，18]的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________．
参考数据：若X～N(μ，σ2),则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
10．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，求p0的值．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
11．(多选)如图是标准正态分布N(0，1)的正态曲线图，下列式子中，表示图中阴影部分面积的为(注：Φ(a)＝P(X≤a))(　　)
A．－Φ(－a) B．Φ(1－a)
C．Φ(a)－ D．Φ(0)
12．已知随机变量X～N(2，22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0，1)，则a＝________，b＝________．
13．(2024年惠州期末)某企业举行招聘考试，共有1 000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．
(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝65，σ＝10，试估计初试成绩不低于75分的人数；(精确到个位数)
(2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σμ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ(2024年石家庄模拟)柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝．已知X～C(1，0)，P(|X|≤)＝，P(1参考答案
【A级——基础过关练】
1．【答案】B
2.【答案】BC
3.【答案】A
4.【答案】B　【解析】由题得μ＝0.49×150＝73.5，σ＝22，∵p(k)＝P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)，p(0.75)≈0.547，∴P(57≤X≤90)＝p(0.75)≈0.547，P(X≥90)＝0.5×(1－0.547)＝0.226 5，∴该校及格人数为0.226 5×1 200≈272．故选B．
5.【答案】D　【解析】由题可知两曲线分别关于X＝μ1，Y＝μ2对称，X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以由题图可知，μ1<μ2，σ1<σ2，A错误；Z～N(μ1，σ)，故Z的曲线关于x＝μ1对称，且与Y的分布曲线一样“矮胖”，故P(μ1≤Z≤μ2)P(Z≤μ1)＝>P(Y≤μ1)，D正确．故选D．
6.【答案】BCD　【解析】由题意可得μ＝1，σ＝0.01，对于A，因为正态分布求得是随机变量X在某一区域内的概率(在某一处的概率约为0)，所以P(X＝1)接近于0，或P(X≤1)＝或P(X≥1)＝，故A错误；对于B，因为X服从正态分布N(1，0.000 1)，所以关于μ＝1对称，所以P(X<0.99)＝P(X≥2－0.99)＝P(X≥1.01)，故B正确；对于C，因为μ－3σ＝0.97，μ＋3σ＝1.03，即零件长度在[0.97，1.03]内的是正常的，否则就为不正常零件，故C正确；对于D，由C的分析，可知0.95 [0.97，1.03]，所以需要对生产线进行检修，故D正确．故选BCD．
7.【答案】2　【解析】由题意得a－3＋2a＋1＝2×2，解得a＝2．
8.【答案】3 978　【解析】由X～N(510，σ2)，P(420≤X≤600)≈0.490，得P(X>600)＝
[1－P(420≤X≤600)]＝0.255，所以本次中考成绩在600分以上的人数约为15 600×0.255＝3 978．
9.【答案】0.84　【解析】由题意知，该产品服从X～N(15，9)，则μ＝15，σ＝3，所以P(6≤X≤18)＝P(15－3×3≤X≤15＋3)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，所以P(μ－3σ≤X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.157 3＋0.682 7＝0.84，即P(6≤X≤18)＝0.84．所以抽到“可用产品”的概率为0.84．
10.解：由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，
故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)≈0.954 5．
由正态分布密度曲线的对称性，可得
p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝＋P(700＜X≤900)≈0.977 3．
【B级——能力提升练】
11.【答案】AC　【解析】∵Φ(－a)＝P(X≤－a)，∴题图中阴影部分的面积为－P(X≤
－a)＝－Φ(－a)．又根据性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1，得－Φ(－a)＝－[1－Φ(a)]＝Φ(a)－，∴A，C正确．
12.【答案】　－1　【解析】∵随机变量X～N(2，22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4．∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，解得a＝，b＝－1．
13.解：(1)由学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝65，σ＝10，得75＝65＋10＝μ＋σ，
因此P(X≥75)＝P(X≥μ＋σ)＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈＝0.158 65，
所以估计初试成绩不低于75分的人数为0.158 65×1 000≈159．
(2)Y的可能取值为0，10，20，30，
则P(Y＝0)＝×＝，P(Y＝10)＝×＋×C××＝，
P(Y＝20)＝×C××＋×＝，P(Y＝30)＝×＝，
所以Y的分布列为
Y 0 10 20 30
P
数学期望为E(Y)＝0×＋10×＋20×＋30×＝19.5．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】　【解析】因为f(－x)＝＝f(x)，所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称．由P(|X|≤)＝，得P(0