第7章 随机变量及其分布　章末检测 （含答案） 数学选择性必修第三册(人教A版)

随机变量及其分布
章末检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年广州协和中学期中)已知随机变量ξ～B，则D(2ξ＋1)＝(　　)
A．15 B．20
C．5 D．10
2．(2024年荆州期末)从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为(　　)
A． B．
C．1－ D．
3．(2024年荆州期末)已知随机变量ξ～B(7，0.5)，则概率P(ξ＝k)最大时，k的取值为(　　)
A．3 B．4
C．3或4 D．4或5
4．(2024年昆明阶段检测)某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110，100).估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有(　　)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．75人 B．77人
C．79人 D．81人
5．(2024年潮州一中开学考试)某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件A为“选取的两名学生性别相同”，事件B为“选取的两名学生为男生”，则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
6．(2024年孝感期末)已知随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P a 2a－
若η＝2ξ－1，则D(η)＝(　　)
A． B．
C． D．
7．(2024年河池期中)为了备战2025年斯诺克世锦赛，甲与乙两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为ξ，则E(ξ)＝(　　)
A． B．
C． D．
8．(2024年广州期末)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝1)＝ B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布 D．E(X)＝
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024年惠州期末)已知随机变量ξ的分布列，若P(ξ2ξ －2 －1 0 1 2 3
P
A．5 B．7
C．9 D．10
10．(2024年佛山期末)数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么当n比较大时，X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈R.任意正态分布X～N(μ，σ2)，可通过变换Z＝转化为标准正态分布Z～N(0，1).当Z～N(0，1)时，对任意实数x，记φ(x)＝P(ZA．φ(x)＋φ(－x)＝
B．当x>0时，P(－x≤ZC．随机变量X～N(μ，σ2)，当μ减小，σ增大时，概率P(|X－μ|<σ)保持不变
D．随机变量X～N(μ，σ2)，当μ，σ都增大时，概率P(|X－μ|<σ)增大
11．(2024年徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　　)
A．X服从二项分布 B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝ D．X的方差D(X)＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年滨州期中)某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，恰有1个是深度贫困村的概率为________．
13．(2024年哈尔滨期末)现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为________；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i＝1，2，3)个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为Ei(X)，则E1(X)＋E3(X)＝________．
14．(2024年大连期末)某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响．则甲得________分的概率最大．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024年南宁期末)浙江省普通高中学业水平考试分A，B，C，D，E五个等级，剔除E等级，A，B，C，D等级的比例分别是5%，15%，40%，40%，现从当年全省数学学考A，B，C，D四个等级的考生试卷中按分层随机抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．
(1)分别求样本中A，B，C，D各等级的试卷份数；
(2)从样本中用简单随机抽样的方法(不放回)抽取4份试卷，记事件M为抽取的4份试卷中没有D等级的试卷，事件N为抽取的4份试卷中有B等级的试卷，求P(N|M).
16．(15分)(2024年株洲期末)作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了4大景点打卡活动：未央宫、长乐宫、淮南王府、衡山王府，景点还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品供游客选择；国庆期间甲、乙等5名同学准备从以上4个景点中选取一个景点游览，设每个人只选择一个景点且选择任一个景点是等可能的．
(1)分别求“恰有2人选择长乐宫”和“甲选择长乐宫且乙不选择未央宫”的概率；
(2)事件Xi＝“5人中选择景点个数为i”(i＝1，2，3，4)，求P(Xi)(i＝1，2，3，4)的值．
17．(15分)(2024年肇庆期末)某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标 [20，76) [76，82) [82，88) [88，94) [94，100]
元件数/件 12 18 36 30 4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望E(X)＝μ，方差D(X)＝σ2，则对任意正数ε，均有P(|x－μ|≥ε)≤成立．
(ⅰ)若X～B，证明：P(0≤X≤25)≤；
(ⅱ)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信．(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)
18．(17分)(2024年太原期中)某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：[0，200)，[200，400)，[400，600)，…，[1 000，1 200](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若该店当天总共有1 350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元．
(2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1 000元的概率是多少？
(3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1 000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响．中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折．若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1 000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由．
19．(17分)(2024年石家庄期中)某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1 000名大学生参加，经统计发现他们的成绩(满分120)全部位于区间[50，110]内．现将成绩分成6组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110]，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1 000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛．
(1)求a，b的值(同一组数据用该组区间的中点值为代表)，并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线(结果保留整数)；
复赛共分为A和B两个环节，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为Pn，求P10.
参考答案
单项选择题
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B　【解析】由题意得，随机变量ξ的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为＋＝，若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝＝，所以期望为E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B．
8.【答案】C　【解析】由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A，D错误．故选C．
二、多项选择题
9.【答案】ABC　【解析】由随机变量ξ的分布列，知ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P(ξ2＝0)＝，P(ξ2＝1)＝＋＝，P(ξ2＝4)＝＋＝，P(ξ2＝9)＝，则P(ξ2≤4)＝＋＋＝，P(ξ2≤9)＝1.若P(ξ210.【答案】BC　【解析】对于A，根据正态曲线的对称性可得φ(－x)＝P(Z<－x)＝P(Z≥x)＝1－P(Z0时，P(－x≤Z11.【答案】ABC　【解析】由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故5位数中后4位的所有结果有5类：①后4个数都出现0，X＝0，则P(X＝0)＝＝；②后4个数只出现1个1，X＝1，则P(X＝1)＝C＝；③后4个数出现2个1，X＝2，则P(X＝2)＝C＝；④后4个数出现3个1，X＝3，则P(X＝3)＝C·＝；⑤后4个数都出现1，X＝4，则P(X＝4)＝＝，故X～B，故A，B正确；∵X～B，∴E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝，故C正确，D错误．
三、填空题
12.【答案】　【解析】所求概率为＝.
13.【答案】　4　【解析】由题可知甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率p＝＝.当i＝1时，X的取值可能是2，3，4，且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，则E1(X)＝2×＋3×＋4×＝；当i＝3时，X的取值可能是0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，则E3(X)＝0×＋1×＋2×＝.故E1(X)＋E3(X)＝4.
14.【答案】112　【解析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别x，y道的概率最大，易知P(x)＝C··＝C··，P(y)＝C··＝C·，所以解得≤x≤，即x＝7，易知y＝5时，P(y)最大，所以得分(7＋5)×10－(10－7＋10－5)×1＝112的概率最大．
四、解答题
15.【答案】解：(1)由题意可得20×5%＝1，20×15%＝3，20×40%＝8，20×40%＝8，
所以样本中A，B，C，D各等级的试卷份数分别是1，3，8，8.
(2)因为P(M)＝，P(MN)＝，所以P(N|M)＝＝＝.
16.解：(1)所有可能选择的方式有45种，设“恰有2人选择长乐宫”为事件A，
则其余3人每人都有3种选择，所以P(A)＝＝，
设“甲选择长乐宫且乙不选择未央宫”为事件B，
则乙有3种选择，其余3人每人都有3种选择，
则P(B)＝＝，
则“恰有2人选择长乐宫”的概率为，
“甲选择长乐宫且乙不选择未央宫”的概率为.
(2)P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
17.(1)解：记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，
P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
P(B∣A)＝＝＝.
(2)(ⅰ)证明：由题：若X～B，则E(X)＝50，D(X)＝25.
又P(X＝k)＝C＝P(X＝100－k)，
所以P(0≤X≤25)＝P(0≤X≤25或75≤X≤100)＝P(|X－50|≥25).
由切比雪夫不等式可知，P(|X－50|≥25)≤＝，所以P(0≤X≤25)≤.
(ⅱ)解：设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，
假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则X～B(100，0.9)，
所以E(X)＝90，D(X)＝9，
由切比雪夫不等式知，P(X＝70)≤P(|X－90|≥20)≤＝0.022 5，
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.022 5，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．
18.解：(1)由频率分布直方图估计消费额不少于800元的客户人数约为(0.001＋0.000 5)×200×1 350＝405，即约有405人．
(2)利用分层随机抽样的方式抽取的6人中，有4人消费金额在区间[800，1 000)上，有2人不少于1 000元，因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1 000元的概率为p＝1－＝.
(3)按方案一，小王实付款1 000－3×50＝850；
按方案二，小王抽奖3次，中1次奖的概率为P1＝C××＝，中2次奖的概率为P2＝C×＝，中3次奖的概率为P3＝＝，一次都不中的概率为P0＝1－－－＝，
因此本次购物小王付款的期望值为×1 000＋×900＋×600＋×300＝840.
又840<850，因此选取方案二较合适．
19.解：(1)依题意，得(0.01＋b＋0.03＋0.016＋a＋0.008)×10＝1，a＋b＝0.036①，
55×0.1＋65×10b＋75×0.3＋85×0.16＋95×10a＋105×0.08＝77，950a＋650b＝27②，
由①②解得a＝0.012，b＝0.024.
前三组的频率之和为0.1＋0.24＋0.3＝0.64，0.75－0.64＝0.11，
第4组的频率为0.16，
所以75%分位数为80＋×10≈87分，即复赛分数线是87分．
(2)依题意，P1＝，Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)，即Pn＝Pn－1＋，
所以Pn－＝，
所以数列是首项为P1－＝－＝，公比为的等比数列，
所以Pn－＝×，Pn＝×＋，
所以P10＝×＋.