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【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期数学单元测试卷
第17章 勾股定理单元测试卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：人教版八年级下册第17章 勾股定理所有内容
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．在△ABC中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：；；；，能判定△ABC为直角三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴△ABC为直角三角形，故符合题意；
∵，，
∴，
∴△ABC为直角三角形，故符合题意；
∵，
∴，
∴△ABC为直角三角形，故符合题意；
∵，
∴，
∴△ABC为直角三角形，故符合题意；
综上可知：能判定△ABC为直角三角形，共个，
故选：．
2．如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，
由题意得：，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
4．如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于．
A、是有理数，则此项不符题意；
B、是无理数，且，则此项符合题意；
C、，则此项不符合题意；
D、是无理数，但，则此项不符题意；
故选：B．
5．如图，将直角边，的直角△ABC纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，则，
是△ADE沿直线翻折而成，
，
是直角三角形，
，
即，
解得，
∴
故选：B．
6．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【详解】解：若点P在轴上，设，
，，
，，
，即，
，
，
，
若点P在轴上，设，
，点，
，，
，即，
，
，
，
即或，
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在Rt△ABC中，,
∴
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意；
故选：A
8．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
故选：．
9．如图，△ABC中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】D
【详解】解：作关于的对称点，连接，交于，此时最短，
，是△ABC的中线，
，
即的最小值为的长度，
当时，最小，
在中，由勾股定理得：，
，
，
即的最小值是．
故选：D．
10．如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环，
，
点是第个等边三角形的第个顶点，
点在第四象限内，该等边三角形的边长为，
如图，连接，
设的坐标为（，），
由等边三角形的对称性可知：
，
点是该等边三角形的中心，
，
，
，
根据勾股定理可得：，
即：，
，
，
，
，
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图， 在 中， 于点 ， 则 的面积为 .
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：．
12．如图，一个圆柱体的高为，底面周长为．一只蚂蚁在点处，它要吃到点处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行 cm．
【答案】25
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，
连接，根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线．
由题可得：，
由勾股定理得：，
故答案为：25．
13．等腰△ABC中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ．
【答案】5或
【详解】解：分两种情况：
当为腰时，；
当为底时，则，
，
，
，
，
综上可知，边的长为5或．
故答案为：5或．
14．如图，在△ABC和中，，，，则点A，D距离是 ．
【答案】
【详解】解：在中，，，，
∴，
如图，过点A作于点E，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴A，D之间的距离．
故答案为：．
15．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形，，，的面积之和为，则最大的正方形的边长为 ．
【答案】
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为，则最大的正方形的边长为．
16．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段 ．
【答案】
【详解】解：设在平面直角坐标系中，坐标原点为，
∵点的坐标为，点坐标为，
∴，，
，
∴，
故答案为：．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ．
【答案】5
【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c，
∴，
∵大正方形的面积为13，
∴，
∵
∴，
∴，即，
由图可知小正方形的边长为：，
∴小正方形的面积为：．
∴，
小正方形的面积为5．
故答案为：5．
18．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为 ．
【答案】
【详解】解：取的中点为点，连接，
，
，
即，
，O为中点，
，
在和中，
，
，
，
∵点在直线上运动，
∴当时，最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
∴线段的最小值是为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长．
【答案】3
【详解】解：在△ABC中，，
，
是直角三角形，，
是翻折而成，
，
设，
，
在中，，即，
解得．
故的长为3．
20．如图，有一块三角形硬纸板，其中，，，现要从中剪下一个以为底边的等腰．
(1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)当剪下的等腰三角形面积最大时，求等腰的面积．
【答案】(1)作图见解析；
(2)等腰的面积为．
【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线交于，交于，则在线段任意取一点（点除外），连接，，
∴即为所求；
（2）解：当剪下的等腰三角形面积最大时，则点与点重合，如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由作图可知：垂直平分，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴等腰的面积为．
21．一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处．
(1)求的度数；
(2)求海轮所在的处与灯塔的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)海轮所在的B处与灯塔P的距离海里
【详解】（1）解：如图所示，
根据题意，，海里，，
∴，，
∴；
（2）解：由题意可知，，且海里，
∴海里，海里，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴（海里），
∴海轮所在的B处与灯塔P的距离海里．
22．如图，在△ABC中，的垂直平分线分别交于点，连结．
(1)如果 ，求证：；
(2)如果，平分求的长．
【答案】(1)见解析(2)2
【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
23．点O是等边三角形的边的中点，点D，E分别在，，，求的长．
【答案】
【详解】解：如图，在上取点F，使，连接，过O作于H，过O作于M；
∵△ABC是等边三角形，O是的中点，
∴；
∵，
∴，
∴，；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴，
由勾股定理得，;
∵，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
24．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：．
解：原式．
例如：求代数式的最小值．
解：，
因为：，所以：当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
(3)已知，，是△ABC的三条边，且满足，试判断△ABC的形状．
【答案】(1)
(2)当，时有最小值3
(3)直角三角形
【详解】（1）解：由材料中的解法可知，
，
故答案为：
（2）解：由材料中的解法可知，
，
，
当时，有最小值，最小值是；
（3）解：由材料中的解法可知，
，
，
即，
，
，
，
，即△ABC是直角三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
【全优金卷】2024-2025学年八年级下学期单元测试卷
第17章 勾股定理单元测试卷01
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
C
3
A
5
B
C
D
A
E
B
A
D
E
B
O
C中小学教育资源及组卷应用平台
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第17章 勾股定理单元测试卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：人教版八年级下册第17章 勾股定理所有内容
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．在△ABC中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：；；；，能判定△ABC为直角三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
3．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（ ）
A．0 B． C． D．
5．如图，将直角边，的直角△ABC纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．如图，在Rt△ABC中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
8．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
10．如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图， 在 中， 于点 ， 则 的面积为 .
12．如图，一个圆柱体的高为，底面周长为．一只蚂蚁在点处，它要吃到点处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行 cm．
13．等腰△ABC中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ．
14．如图，在△ABC和中，，，，则点A，D距离是 ．
15．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形，，，的面积之和为，则最大的正方形的边长为 ．
16．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段 ．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ．
18．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长．
20．如图，有一块三角形硬纸板，其中，，，现要从中剪下一个以为底边的等腰．
(1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)当剪下的等腰三角形面积最大时，求等腰的面积．
21．一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处．
(1)求的度数；
(2)求海轮所在的处与灯塔的距离（结果保留根号）．
22．如图，在△ABC中，的垂直平分线分别交于点，连结．
(1)如果 ，求证：；
(2)如果，平分求的长．
23．点O是等边三角形的边的中点，点D，E分别在，，，求的长．
24．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：．
解：原式．
例如：求代数式的最小值．
解：，
因为：，所以：当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
(3)已知，，是△ABC的三条边，且满足，试判断△ABC的形状．
