中小学教育资源及组卷应用平台
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A.两组对边分别相等 B.两组对边分别平行
C.两条对角线相等 D.两条对角线互相垂直
2.(2022安徽)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2等于( )
A.α-90° B.α-45° C.180°-α D.270°-α
3.(2024烟台期中)如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,要使四边形ABCD为菱形,可以添加的条件是( )
A.∠DAB=∠DCB B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC=BD
4.(2024东营二模)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD上的点,且AE=CF,则下列说法正确的是( )
A.∠1-∠2=90° B.∠1=∠2+45° C.∠1+∠2=180° D.∠1=2∠2
5.(2024崂山期末)在四边形ABCD中,AD∥BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A.AD=BC且AC=BD B.AD=BC且∠A=∠B
C.AB=CD且∠A=∠C D.AB=CD且∠A=∠B
6.如图所示,在矩形ABCD中,E为AD的中点,∠BED的平分线交BC于点F.若AB=6,BC=16,则FC的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
7.(2024环翠一模)如图所示,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,过点D作DE⊥AB,连接AE,BE.若CD=4,AE=5,则DE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(2024临清一模)如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=8,E是边AD上的一点,将△AEB沿BE所在的直线折叠,使点A落在BD上的点G处,则AE的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图所示,正方形ABCD的面积为4,菱形AECF的面积为2,则EF的长是( )
A.1 B. C.2 D.2
10.如图所示,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在边AD,CD上,且AE=CF,BA=BE.若∠EBF=60°,则∠C的度数为( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
11.(2024济宁期中)如图所示,Rt△ABC≌Rt△DCB,其中∠ABC=
90°,AB=3,BC=4,O为BC中点,EF过点O分别交AC,BD于点E,F,连接BE,CF,则下列结论错误的是( )
A.四边形BECF为平行四边形
B.当BF=3.5时,四边形BECF为矩形
C.当BF=2.5时,四边形BECF为菱形
D.四边形BECF不可能为正方形
12.(2023宁波)如图所示,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2.若要求出S-S1-S2的值,只需知道( )
A.△ABE的面积 B.△ACD的面积
C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.如图所示,已知四边形ABCD是菱形,从①AB=AD,②AC=BD,
③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件后,使四边形ABCD成为正方形,则应选择的是 .(仅填序号)
14.如图所示,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则
∠FAB= .
15.(2024临港二模)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”,设菱形相邻两个内角的度数分别为α°,β°,将菱形的“接近度”定义为|α-β|,于是|α-β|越小,菱形越接近正方形.当菱形的“接近度”等于 时,菱形是正方形.
16.(2024莱西期中)如图所示,菱形ABCD中,O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分,当菱形的边长为5,一条对角线为8时,阴影部分的面积为 .
17.(2024栖霞期末)数学家笛卡儿在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°.如图所示,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是 .
18.(2024泰山二模)如图所示,四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,
AO=CO=4,BO=DO=3,P为线段AC上的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点N.连接PB,在点P运动过程中,PM+PN+PB的最小值等于 .
三、解答题(共46分)
19.(8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE,∠F=45°.求证:四边形ABCD是
矩形.
20.(8分)如图所示,点E为矩形ABCD外一点,AE=DE,连接EB,EC分别与AD相交于点F,G.求证:△ABE≌△DCE.
21.(8分)(2024淄博月考)如图所示,在△ABC和△ADC中,∠ABC=
∠ADC=90°,连接BD交AC于点O,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN垂直平分BD.
22.(10分)如图所示,E是正方形ABCD内一点,△BCE是等边三角形,连接DE,AE,延长DE交AB于点F.
(1)求证:△ABE≌△DCE;
(2)求∠AFD的度数.
23.(12分)(2024任城期末)在△ABC中,过点A作BC的平行线,交
∠ACB的平分线于点D,点E是BC上一点,连接DE,交AB于点F,∠CAD+∠BED=180°.
(1)如图①所示,求证:四边形ACED是菱形;
(2)如图②所示,若∠ACB=90°,BC=2AC,点G,H分别是AD,AC边的中点,连接CG,EG,EH,不添加字母和辅助线,写出图中与△CEH全等的所有的三角形并给出证明.
① ②中小学教育资源及组卷应用平台
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.矩形具有而菱形不具有的性质是(C)
A.两组对边分别相等 B.两组对边分别平行
C.两条对角线相等 D.两条对角线互相垂直
2.(2022安徽)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2等于(C)
A.α-90° B.α-45° C.180°-α D.270°-α
3.(2024烟台期中)如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,要使四边形ABCD为菱形,可以添加的条件是(C)
A.∠DAB=∠DCB B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC=BD
4.(2024东营二模)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD上的点,且AE=CF,则下列说法正确的是(C)
A.∠1-∠2=90° B.∠1=∠2+45° C.∠1+∠2=180° D.∠1=2∠2
5.(2024崂山期末)在四边形ABCD中,AD∥BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD为矩形的是(C)
A.AD=BC且AC=BD B.AD=BC且∠A=∠B
C.AB=CD且∠A=∠C D.AB=CD且∠A=∠B
6.如图所示,在矩形ABCD中,E为AD的中点,∠BED的平分线交BC于点F.若AB=6,BC=16,则FC的长为(C)
A.4 B.5 C.6 D.8
7.(2024环翠一模)如图所示,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,过点D作DE⊥AB,连接AE,BE.若CD=4,AE=5,则DE的长为(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(2024临清一模)如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=8,E是边AD上的一点,将△AEB沿BE所在的直线折叠,使点A落在BD上的点G处,则AE的长是(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图所示,正方形ABCD的面积为4,菱形AECF的面积为2,则EF的长是(B)
A.1 B. C.2 D.2
10.如图所示,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在边AD,CD上,且AE=CF,BA=BE.若∠EBF=60°,则∠C的度数为(B)
A.70° B.80° C.90° D.100°
11.(2024济宁期中)如图所示,Rt△ABC≌Rt△DCB,其中∠ABC=
90°,AB=3,BC=4,O为BC中点,EF过点O分别交AC,BD于点E,F,连接BE,CF,则下列结论错误的是(B)
A.四边形BECF为平行四边形
B.当BF=3.5时,四边形BECF为矩形
C.当BF=2.5时,四边形BECF为菱形
D.四边形BECF不可能为正方形
12.(2023宁波)如图所示,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2.若要求出S-S1-S2的值,只需知道(C)
A.△ABE的面积 B.△ACD的面积
C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.如图所示,已知四边形ABCD是菱形,从①AB=AD,②AC=BD,
③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件后,使四边形ABCD成为正方形,则应选择的是 ② .(仅填序号)
14.如图所示,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则
∠FAB= 22.5° .
15.(2024临港二模)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”,设菱形相邻两个内角的度数分别为α°,β°,将菱形的“接近度”定义为|α-β|,于是|α-β|越小,菱形越接近正方形.当菱形的“接近度”等于 0 时,菱形是正方形.
16.(2024莱西期中)如图所示,菱形ABCD中,O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分,当菱形的边长为5,一条对角线为8时,阴影部分的面积为 12 .
17.(2024栖霞期末)数学家笛卡儿在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°.如图所示,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是 (2,) .
18.(2024泰山二模)如图所示,四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,
AO=CO=4,BO=DO=3,P为线段AC上的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点N.连接PB,在点P运动过程中,PM+PN+PB的最小值等于 7.8 .
三、解答题(共46分)
19.(8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE,∠F=45°.求证:四边形ABCD是
矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠DAF=∠F=45°.
∵AF是∠BAD的平分线,
∴∠EAB=∠DAE=45°,
∴∠DAB=90°.
∴平行四边形ABCD是矩形.
20.(8分)如图所示,点E为矩形ABCD外一点,AE=DE,连接EB,EC分别与AD相交于点F,G.求证:△ABE≌△DCE.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=CD.
∵AE=DE,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠EDA,
即∠BAE=∠CDE.
在△ABE和△DCE中,
∵AB=DC,∠BAE=∠CDE,AE=DE,
∴△ABE≌△DCE.
21.(8分)(2024淄博月考)如图所示,在△ABC和△ADC中,∠ABC=
∠ADC=90°,连接BD交AC于点O,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN垂直平分BD.
证明:如图所示,连接BM,DM.
∵∠ABC=∠ADC=90°,M为AC中点,
∴BM=AC,DM=AC,
∴BM=DM.
∵点N是BD的中点,
∴MN⊥BD,
∴MN垂直平分BD.
22.(10分)如图所示,E是正方形ABCD内一点,△BCE是等边三角形,连接DE,AE,延长DE交AB于点F.
(1)求证:△ABE≌△DCE;
(2)求∠AFD的度数.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABC=∠BCD=90°.
∵△BCE是等边三角形,
∴BE=CE,∠EBC=∠ECB=60°,∴∠ABE=∠ECD=30°.
在△ABE和△DCE中,
∵AB=CD,∠ABE=∠DCE,BE=EC,∴△ABE≌△DCE.
(2)解:∵△BCE是等边三角形,∴CE=BC=BE.
∵四边形ABCD是正方形,∴CD=BC,∴CE=CD,
∴∠CDE=(180°-30°)=75°.
∵AB∥CD,∴∠AFD=∠CDE=75°.
23.(12分)(2024任城期末)在△ABC中,过点A作BC的平行线,交
∠ACB的平分线于点D,点E是BC上一点,连接DE,交AB于点F,∠CAD+∠BED=180°.
(1)如图①所示,求证:四边形ACED是菱形;
(2)如图②所示,若∠ACB=90°,BC=2AC,点G,H分别是AD,AC边的中点,连接CG,EG,EH,不添加字母和辅助线,写出图中与△CEH全等的所有的三角形并给出证明.
① ②
(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADC=∠BCD.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,∴∠ADC=∠ACD,∴AD=AC.
∵AD∥BC,∴∠DAC+∠ACE=180°.
又∵∠DAC+∠BED=180°,
∴∠ACE=∠BED,
∴AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形.
又∵AD=AC,
∴平行四边形ACED是菱形.
(2)解:图中与△CEH全等的三角形有△ADF,△EDG,△CAG,△EBF.证明如下:
∵∠ACB=90°,
∴菱形ACED是正方形,
∴∠D=∠CAG=∠DEC=90°,AC=AD=CE=DE.
∵G是AD的中点,H是AC的中点,
∴AG=DG=CH,∴△EDG≌△CAG≌△ECH.
∵BC=2AC,∴BE=CE=AD.
∵AD∥BE,∴∠B=∠DAF.
又∵∠AFD=∠BFE,∴△BFE≌△AFD.
∴DF=EF=DE.
∵AD=CE=BE,∠D=∠ECH=∠BEF,DF=EF=CH,
∴△ADF≌△BEF≌△ECH.
