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一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列方程中,是一元二次方程的是(D)
A.x2+4=(x-1)(x-2) B.x=
C.x2+7x-3y=0 D.2x2-9=0
2.用配方法解一元二次方程x2-6x-7=0,方程可变形为(C)
A.(x-6)2=43 B.(x+6)2=43 C.(x-3)2=16 D.(x+3)2=16
3.以x=为根的一元二次方程可能是(A)
A.x2-4x-c=0 B.x2+4x-c=0 C.x2-4x+c=0 D.x2+4x+c=0
4.关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为(D)
A.0 B.±3 C.3 D.-3
5.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则3a+6b的值为(C)
A.-1 B.-2 C.-3 D.-6
6.(2024高密一模)下表是求代数式ax2-bx的值的情况,根据表格中的数据可知,关于x的一元二次方程ax2-bx-2=0的根是(D)
x … -2 -1 0 1 2 …
ax2-bx … 2 0 0 2 6 …
A.x=1 B.x1=0,x2=1 C.x=2 D.x1=1,x2=-2
7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步 意思是:矩形面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步 设长为x步,可列方程为(A)
A.x(x-12)=864 B.x(x+12)=864
C.2x+2(x+12)=864 D.2x+2(x-12)=864
8.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是(C)
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关
9.若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1,x2,则(1+x1)+x2(1-x1)的值是(A)
A.4 B.2 C.1 D.-2
10.已知2m2-5m-1=0,+-2=0,且m≠n,则+的值为(D)
A. B.- C.5 D.-5
11.已知x1,x2是方程x2+3x-1=0的两个根,则以x1-1和x2-1为根的一元二次方程是(D)
A.x2+5x-3=0 B.x2-5x-3=0 C.x2-5x+3=0 D.x2+5x+3=0
12.将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px-q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式,从而达到“降次”的目的.又如x3=x·x2=x(px-q)=…,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知x2-x-1=0,且x>0,则x3-2x2+2x+1的值为(B)
A.1- B.1+ C.3- D.3+
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.若关于x的方程(k+1)x|k|+1+12x-7=0是一元二次方程,则k= 1 .
14.根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.根据上述规律,该物体落回地面所需要的时间约为 2 s(结果保留整数).
15.若9a-3b+c=0且a≠0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个根是 x=-3 .
16.秋冬季节为流感的高发期,有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,则每轮传染中平均一人传染的人数为 10 .
17.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品.该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价为a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.如果商店计划获利400元,那么每件商品的售价应定为 22 元.
18.(连云港中考)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y为实数),则W的最小值为 -2 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)按要求解下列方程:
(1)x2-6x-3=0(配方法);
(2)(x-3)(2x-1)=1(公式法);
(3)2x(x-3)=9-3x(因式分解法).
解:(1)∵x2-6x=3,
∴x2-6x+9=12,即(x-3)2=12,
∴x-3=±2,∴x1=3+2,x2=3-2.
(2)方程整理,得2x2-7x+2=0.
∵Δ=(-7)2-4×2×2=33>0,
∴x=,∴x1=,x2=.
(3)∵2x(x-3)+3(x-3)=0,
∴(x-3)(2x+3)=0,
∴x-3=0或2x+3=0,
∴x1=3,x2=-.
20.(8分)(2023南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=-,求m的值.
(1)证明:Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)=(4m-1)2.
∵(4m-1)2≥0,即Δ≥0,
∴无论m为何值,方程总有实数根.
(2)解:∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0的两个实数根,
∴x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m.
∵+===-,
∴=-,
∴=-,
整理,得5m2-7m+2=0,
解得m1=,m2=1,
∴m的值为或1.
21.(10分)如图所示,学校要搭建一个矩形车棚,一边靠墙(墙足够长),在与墙正对的一面开了两个门.已知每个门的宽度都是2 m,三边围栏材料的总长为60 m.
(1)如果要使车棚的面积为440 m2,且尽量使靠墙的边长一些,那么垂直于墙的一边长度应为多少米
(2)这个车棚的面积能否达到600 m2
解:(1)设垂直于墙的一边长度为x m,则平行于墙的边长为(60-2x+2×2) m.
由题意,得x(60-2x+2×2)=440,
解得x=10或x=22(不合题意舍去),
故垂直于墙的一边长度应为10 m.
(2)假设这个车棚的面积能达到600 m2.
由题意,得x(60-2x+2×2)=600,
整理,得x2-32x+300=0.
∵Δ=(-32)2-4×1×300=1 024-1 200<0,
∴此方程无实数解,
∴这个车棚的面积不能达到600 m2.
22.(10分)某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯,该台灯的成本价为30元/盏.试销一段时间后,发现按40元/盏的价格销售,每周可售出600盏;当每盏台灯售价在40元至60元之间时,每盏售价每上涨2元,每周的销售量将减少20盏.
(1)若每盏台灯销售价为46元,求这周的销售利润;
(2)如果要实现每周的销售利润10 000元的目标,求每盏台灯的销售价格.
解:(1)若每盏台灯销售价为46元,
则这周的销售利润为(46-30)×[600-(46-40)÷2×20]=16×540=
8 640(元),
故若每盏台灯销售价为46元,则这周的销售利润为8 640元.
(2)设每盏台灯的销售价格为x元.
由题意,得(x-30)[600-(x-40)÷2×20]=10 000,
整理,得x2-130x+4 000=0,
解得x1=50,x2=80(不符合题意,舍去),
∴x=50,
故如果要实现每周的销售利润10 000元的目标,每盏台灯的销售价格应定为50元.
23.(12分)已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0).
(1)求证:方程有两个实数根;
(2)若m为正整数,关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的两个根都是整数,x1与x1+n(n≠0)是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3-b=0的两个根,求代数式4+12x1n+5n2+16n+8的值.
解:(1)∵Δ=(3m+1)2-4m×3=9m2-6m+1=(3m-1)2≥0,
∴方程有两个实数根.
(2)设关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的两个根为a,b,
则a+b=-=-3-,ab=.
∵a与b是整数.
∴与同为整数,
∵m是正整数,
∴m=1,∴方程为x2+4x+3=0.
∵x1与x1+n(n≠0)是关于x的方程x2+4x+3-b=0的两个根,
∴x1+x1+n=-4,
∴x1=-,
∴原式=4×(-)2+12n×(-)+5n2+16n+8=24.中小学教育资源及组卷应用平台
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列方程中,是一元二次方程的是( )
A.x2+4=(x-1)(x-2) B.x=
C.x2+7x-3y=0 D.2x2-9=0
2.用配方法解一元二次方程x2-6x-7=0,方程可变形为( )
A.(x-6)2=43 B.(x+6)2=43 C.(x-3)2=16 D.(x+3)2=16
3.以x=为根的一元二次方程可能是( )
A.x2-4x-c=0 B.x2+4x-c=0 C.x2-4x+c=0 D.x2+4x+c=0
4.关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为( )
A.0 B.±3 C.3 D.-3
5.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则3a+6b的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-6
6.(2024高密一模)下表是求代数式ax2-bx的值的情况,根据表格中的数据可知,关于x的一元二次方程ax2-bx-2=0的根是( )
x … -2 -1 0 1 2 …
ax2-bx … 2 0 0 2 6 …
A.x=1 B.x1=0,x2=1 C.x=2 D.x1=1,x2=-2
7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步 意思是:矩形面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步 设长为x步,可列方程为( )
A.x(x-12)=864 B.x(x+12)=864
C.2x+2(x+12)=864 D.2x+2(x-12)=864
8.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关
9.若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1,x2,则(1+x1)+x2(1-x1)的值是( )
A.4 B.2 C.1 D.-2
10.已知2m2-5m-1=0,+-2=0,且m≠n,则+的值为( )
A. B.- C.5 D.-5
11.已知x1,x2是方程x2+3x-1=0的两个根,则以x1-1和x2-1为根的一元二次方程是( )
A.x2+5x-3=0 B.x2-5x-3=0 C.x2-5x+3=0 D.x2+5x+3=0
12.将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px-q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式,从而达到“降次”的目的.又如x3=x·x2=x(px-q)=…,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知x2-x-1=0,且x>0,则x3-2x2+2x+1的值为( )
A.1- B.1+ C.3- D.3+
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.若关于x的方程(k+1)x|k|+1+12x-7=0是一元二次方程,则k= .
14.根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.根据上述规律,该物体落回地面所需要的时间约为 s(结果保留整数).
15.若9a-3b+c=0且a≠0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个根是 .
16.秋冬季节为流感的高发期,有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,则每轮传染中平均一人传染的人数为 .
17.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品.该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价为a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.如果商店计划获利400元,那么每件商品的售价应定为 元.
18.(连云港中考)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y为实数),则W的最小值为 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)按要求解下列方程:
(1)x2-6x-3=0(配方法);
(2)(x-3)(2x-1)=1(公式法);
(3)2x(x-3)=9-3x(因式分解法).
20.(8分)(2023南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=-,求m的值.
21.(10分)如图所示,学校要搭建一个矩形车棚,一边靠墙(墙足够长),在与墙正对的一面开了两个门.已知每个门的宽度都是2 m,三边围栏材料的总长为60 m.
(1)如果要使车棚的面积为440 m2,且尽量使靠墙的边长一些,那么垂直于墙的一边长度应为多少米
(2)这个车棚的面积能否达到600 m2
22.(10分)某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯,该台灯的成本价为30元/盏.试销一段时间后,发现按40元/盏的价格销售,每周可售出600盏;当每盏台灯售价在40元至60元之间时,每盏售价每上涨2元,每周的销售量将减少20盏.
(1)若每盏台灯销售价为46元,求这周的销售利润;
(2)如果要实现每周的销售利润10 000元的目标,求每盏台灯的销售价格.
23.(12分)已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0).
(1)求证:方程有两个实数根;
(2)若m为正整数,关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的两个根都是整数,x1与x1+n(n≠0)是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3-b=0的两个根,求代数式4+12x1n+5n2+16n+8的值.
