中小学教育资源及组卷应用平台
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列各组数中,成比例的是(D)
A.1,-2,-3,-6 B.1,4,2,-8
C.5,6,2,3, D.,,1,
2.如果=,那么等于(A)
A. B. C. D.6
3.如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,且顶点都在方格纸的格点上,它们的相似比是(C)
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
4.已知△ABC∽△DEF,相似比为1∶2,且△DEF的面积为12,则△ABC的面积为(D)
A.84 B.24 C.6 D.3
5.(2024威海二模)小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察,他根据当地地形画出了“等高线示意图”,如图所示(注:若某地在等高线上,则其海拔就是其所在等高线的数值;若不在等高线上,则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内).若A,B,C三点均在相应的等高线上,且三点在同一直线上,则的值为(B)
A. B. C. D.2
6.如图所示,将△ABC的三边缩小为原来的,下列说法:
①△ABC与△DEF是位似图形;②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1;④△ABC与△DEF的面积之比为4∶1.
其中正确的说法有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图所示,安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m,在路灯的照射下,路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m,通过测量知道BC的距离为1.5 m,则路灯AB的高度是(C)
A.3 m B.3.6 m C.4.5 m D.6 m
8.如图所示,已知△ABC与△BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与点A,C重合),DE与AB相交于点F,那么与△BFD相似的三角形是(B)
A.△BFE B.△BDA C.△BDC D.△AFD
9.如图所示,点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),下列结论错误的是(B)
A.= B.BC2=AB·AC C.= D.≈0.618
10.(2023巴中)如图所示,在Rt△ABC中,AB=6 cm,BC=8 cm,D,E分别为AC,BC中点,连接AE,BD相交于点F,点G在CD上,且DG∶GC=1∶2,则四边形DFEG的面积为(B)
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
11.在平面直角坐标系中,△AOB三个顶点的坐标分别为A(2,0),
O(0,0),B(-1,1).以坐标原点O为位似中心,作与△AOB位似的
△A′OB′,使得△A′OB′与△AOB的相似比为2,则点B的对应点B′的坐标为(D)
A.(-,) B.(-2,2)
C.(,-)或(-,) D.(-2,2)或(2,-2)
12.(2023威海)如图所示,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为(C)
A.-1 B.-1 C.+1 D.+1
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.已知==,则= .
14.如图所示,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为边BC上一点,添加一个条件: ∠A=
∠BDF(答案不唯一) ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出
一个)
15.如图所示的是用杠杆撬石头的示意图,点C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm.已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为5∶1,要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端向下压 50 cm.
16.黄金分割的学习提升了我们的审美观,生活处处有黄金比的存在,在小提琴的设计中,也引入了黄金比的概念.如图所示,在这把小提琴中,点C是线段AB的黄金分割点(BC>AC).若AB=60 cm,则BC= (30-30) cm.
17.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(4,0),A(8,2),C(6,4).已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5).若△ABC与△A1B1C1位似,则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 (3,4)或(0,4) .
18.如图所示,矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,F是OC的中点,连接EF交OB于点P,那么= .
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=3,求的值.
解:∵AO=2,OF=1,FD=3,
∴AF=AO+OF=2+1=3,∴AD=AF+FD=3+3=6.
∵AB∥EF∥CD,
∴===.
20.(8分)如图所示,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),
C(2,3),以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得到
△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′;(不要求写画法)
(2)△A′B′C′的面积是 .
解:(1)如图所示.
(2)6
21.(10分)如图所示,某同学正向着教学楼(AB)走去,他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔(DC),可过了一会抬头一看:“怎么看不到接收塔了 ”心里很是纳闷.经过了解,教学楼、接收塔的高分别是
21.6 m 和31.6 m,它们之间的距离为30 m,该同学的眼睛距地面的高度(EF)是1.6 m.当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时,他与教学楼(AB)之间的距离为多少米
解:如图所示,过点E作EG⊥CD于点G,交AB于点H.
根据题意,得四边形EFCG,EFBH,BCGH是矩形,
∴HB=CG=EF=1.6 m,EH=FB,HG=BC=30 m,
∴AH=21.6-1.6=20(m),DG=31.6-1.6=30(m).
由AH∥DG,得△AEH∽△DEG,
∴=,即=,
∴EH=60 m.
故当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时,他与教学楼(AB)之间的距离为60 m.
22.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,过点E作AC的垂线交边BC于点F,与AB的延长线交于点M,且AB·AM=AE·AC.求证:
(1)四边形ABCD是矩形;
(2)DE2=EF·EM.
证明:(1)∵AB·AM=AE·AC,∴=.
又∵∠CAB=∠MAE,∴△ACB∽△AME,
∴∠AME=∠ACB.
∵ME⊥AC,∴∠AME+∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴DE=AE=EC=AC.
∵ME⊥AC,∴∠CEF=∠AEM=90°.
又∵∠AME=∠ACB,∴△CEF∽△MEA,
∴=,
∴AE·EC=EF·EM.
∵DE=AE=EC,∴DE2=EF·EM.
23.(12分)如图①所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是边AB上一点,过点B作BE垂直于射线CD,垂足为E,点F在射线CD上,且EF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:△ABF∽△CBE;
(2)如图②所示,连接AE,点P,M,N分别为线段AC,AE,EF的中点,连接PM,MN,PN,求∠PMN的度数;
(3)在(2)的条件下,直接写出的值.
① ②
(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥EF,EF=BE,
∴△ACB和△FEB都是等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠FBE=45°,==,
∴∠ABC+∠ABE=∠FBE+∠ABE,
∴∠ABF=∠CBE,
∴△ABF∽△CBE.
(2)解:如图所示,延长PM交AF于点G.
∵BE⊥CF,
∴∠CEB=90°.
由(1)知△ABF∽△CBE,
∴∠AFB=∠CEB=90°.
∵△BEF为等腰直角三角形,
∴∠BFE=45°,
∴∠AFC=45°.
∵点P,M,N分别为线段AC,AE,EF的中点,
∴PM是△ACE的中位线,MN是△AEF的中位线,
∴PG∥CF,MN∥GF,
∴四边形MNFG是平行四边形,
∴∠GMN=∠AFC=45°,
∴∠PMN=180°-∠GMN=180°-45°=135°.
(3)解:=.中小学教育资源及组卷应用平台
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列各组数中,成比例的是( )
A.1,-2,-3,-6 B.1,4,2,-8
C.5,6,2,3, D.,,1,
2.如果=,那么等于( )
A. B. C. D.6
3.如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,且顶点都在方格纸的格点上,它们的相似比是( )
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
4.已知△ABC∽△DEF,相似比为1∶2,且△DEF的面积为12,则△ABC的面积为( )
A.84 B.24 C.6 D.3
5.(2024威海二模)小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察,他根据当地地形画出了“等高线示意图”,如图所示(注:若某地在等高线上,则其海拔就是其所在等高线的数值;若不在等高线上,则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内).若A,B,C三点均在相应的等高线上,且三点在同一直线上,则的值为( )
A. B. C. D.2
6.如图所示,将△ABC的三边缩小为原来的,下列说法:
①△ABC与△DEF是位似图形;②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1;④△ABC与△DEF的面积之比为4∶1.
其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图所示,安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m,在路灯的照射下,路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m,通过测量知道BC的距离为1.5 m,则路灯AB的高度是( )
A.3 m B.3.6 m C.4.5 m D.6 m
8.如图所示,已知△ABC与△BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与点A,C重合),DE与AB相交于点F,那么与△BFD相似的三角形是( )
A.△BFE B.△BDA C.△BDC D.△AFD
9.如图所示,点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),下列结论错误的是( )
A.= B.BC2=AB·AC C.= D.≈0.618
10.(2023巴中)如图所示,在Rt△ABC中,AB=6 cm,BC=8 cm,D,E分别为AC,BC中点,连接AE,BD相交于点F,点G在CD上,且DG∶GC=1∶2,则四边形DFEG的面积为( )
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
11.在平面直角坐标系中,△AOB三个顶点的坐标分别为A(2,0),
O(0,0),B(-1,1).以坐标原点O为位似中心,作与△AOB位似的
△A′OB′,使得△A′OB′与△AOB的相似比为2,则点B的对应点B′的坐标为( )
A.(-,) B.(-2,2)
C.(,-)或(-,) D.(-2,2)或(2,-2)
12.(2023威海)如图所示,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为( )
A.-1 B.-1 C.+1 D.+1
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.已知==,则 .
14.如图所示,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为边BC上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出
一个)
15.如图所示的是用杠杆撬石头的示意图,点C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm.已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为5∶1,要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端向下压 cm.
16.黄金分割的学习提升了我们的审美观,生活处处有黄金比的存在,在小提琴的设计中,也引入了黄金比的概念.如图所示,在这把小提琴中,点C是线段AB的黄金分割点(BC>AC).若AB=60 cm,则BC= cm.
17.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(4,0),A(8,2),C(6,4).已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5).若△ABC与△A1B1C1位似,则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 .
18.如图所示,矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,F是OC的中点,连接EF交OB于点P,那么= .
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=3,求的值.
20.(8分)如图所示,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),
C(2,3),以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得到
△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′;(不要求写画法)
(2)△A′B′C′的面积是 .
21.(10分)如图所示,某同学正向着教学楼(AB)走去,他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔(DC),可过了一会抬头一看:“怎么看不到接收塔了 ”心里很是纳闷.经过了解,教学楼、接收塔的高分别是
21.6 m 和31.6 m,它们之间的距离为30 m,该同学的眼睛距地面的高度(EF)是1.6 m.当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时,他与教学楼(AB)之间的距离为多少米
22.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,过点E作AC的垂线交边BC于点F,与AB的延长线交于点M,且AB·AM=AE·AC.求证:
(1)四边形ABCD是矩形;
(2)DE2=EF·EM.
23.(12分)如图①所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是边AB上一点,过点B作BE垂直于射线CD,垂足为E,点F在射线CD上,且EF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:△ABF∽△CBE;
(2)如图②所示,连接AE,点P,M,N分别为线段AC,AE,EF的中点,连接PM,MN,PN,求∠PMN的度数;
(3)在(2)的条件下,直接写出的值.
① ②
