中小学教育资源及组卷应用平台
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.若要使式子有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥-3 B.x≥-3且x≠2 C.x≤-3 D.x>-3且x≠2
2.下列各式中,是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.方程x2-5x=0的解是( )
A.x1=x2=0 B.x1=x2=5
C.x1=0,x2=-5 D.x1=0,x2=5
4.下列说法中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.平行四边形的对角线平分一组对角
D.矩形的对角线相等且互相平分
5.下列一元二次方程中,两根之和为-4的是( )
A.x2-4x+4=0 B.x2+2x-4=0
C.x2+4x-5=0 D.x2+4x+10=0
6.当a<-3时,化简+的结果是( )
A.3a+2 B.-3a-2 C.4-a D.a-4
7.(2024广饶一模)如图所示,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE.若∠ABC=140°,则∠OED等于( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
8.已知a=3+2,b=3-2,则a2b-ab2的值为( )
A.1 B.17 C.4 D.-4
9.如图所示,在△ABC中,AD为边BC上的高,BE为边AC上的中线,AB=10,BC=12,AD=6,连接DE,则DE的长为( )
A. B. C.2 D.2
10.(2024岱岳一模)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,
AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE=4.若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值为( )
A.2 B.3 C.3.5 D.4
11.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根,若m为非负整数,且该方程的根都是整数,则m的值为( )
A.1 B.0 C.0或1 D.m<2
12.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,有下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;
④∠EAG=30°.其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB,∠OAD=65°,则∠ODC= .
14.a为实数,则a2-4a+9的最小值是 .
15.(2024青岛月考)计算+的结果是 .
16.若关于x的一元二次方程ax2-bx-2 022=0有一个根为x=2,则代数式8a-4b-2 022的值是 .
17.已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,则k的取值范围是 .
18.如图所示,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的点B′处,点A对应点为点A′,且B′D=6,则BN的长是 .
三、解答题(共78分)
19.(9分)按要求解下列方程:
(1)x(x-4)=2-8x(配方法); (2)x2-4x=0(因式分解法);
(3)2x(x+4)=1(公式法).
20.(9分)已知a=+1,b=-1,分别求下列代数式的值:
(1)a2-b2;
(2)a2-3ab+b2.
21.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.
(1)求证:该方程有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的两个实数根x1,x2满足x1x2+x1+x2=3,求m的值.
22.(12分)如图所示,在等腰三角形MNO中,MO=NO,点Q是MN中点,点S是QO中点,过点O作OP∥MN交NS的延长线于点P,连接MP.求证:四边形OPMQ是矩形.
23.(12分)某商场将每件进价为160元的某种商品按每件200元出售,一天可售出100件,后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加5件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元.
(2)若商场经营该商品一天要获利润4 320元,则每件商品应降价多
少元
24.(12分)(2024东营期中)如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC,连接CE,OE,AE,OE=CD.
(1)求证: ABCD是菱形;
(2)若AB=4,∠ABC=60°,求AE的长.
25.(14分)如图①所示,在正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在CD的延长线上,DF=BE.
(1)求证:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如图②所示,连接BD,交EF于点H,连接AH,求证:AH⊥EF.
① ②中小学教育资源及组卷应用平台
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.若要使式子有意义,则x的取值范围是(B)
A.x≥-3 B.x≥-3且x≠2 C.x≤-3 D.x>-3且x≠2
2.下列各式中,是最简二次根式的是(D)
A. B. C. D.
3.方程x2-5x=0的解是(D)
A.x1=x2=0 B.x1=x2=5
C.x1=0,x2=-5 D.x1=0,x2=5
4.下列说法中正确的是(D)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.平行四边形的对角线平分一组对角
D.矩形的对角线相等且互相平分
5.下列一元二次方程中,两根之和为-4的是(C)
A.x2-4x+4=0 B.x2+2x-4=0
C.x2+4x-5=0 D.x2+4x+10=0
6.当a<-3时,化简+的结果是(B)
A.3a+2 B.-3a-2 C.4-a D.a-4
7.(2024广饶一模)如图所示,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE.若∠ABC=140°,则∠OED等于(A)
A.20° B.30° C.40° D.50°
8.已知a=3+2,b=3-2,则a2b-ab2的值为(C)
A.1 B.17 C.4 D.-4
9.如图所示,在△ABC中,AD为边BC上的高,BE为边AC上的中线,AB=10,BC=12,AD=6,连接DE,则DE的长为(B)
A. B. C.2 D.2
10.(2024岱岳一模)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,
AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE=4.若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值为(B)
A.2 B.3 C.3.5 D.4
11.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根,若m为非负整数,且该方程的根都是整数,则m的值为(A)
A.1 B.0 C.0或1 D.m<2
12.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,有下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;
④∠EAG=30°.其中正确的结论是(D)
A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB,∠OAD=65°,则∠ODC= 25° .
14.a为实数,则a2-4a+9的最小值是 5 .
15.(2024青岛月考)计算+的结果是 25+4 .
16.若关于x的一元二次方程ax2-bx-2 022=0有一个根为x=2,则代数式8a-4b-2 022的值是 2 022 .
17.已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,则k的取值范围是 k≤1且k≠0 .
18.如图所示,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的点B′处,点A对应点为点A′,且B′D=6,则BN的长是 5 .
三、解答题(共78分)
19.(9分)按要求解下列方程:
(1)x(x-4)=2-8x(配方法); (2)x2-4x=0(因式分解法);
(3)2x(x+4)=1(公式法).
解:(1)方程整理,得x2+4x=2.
配方,得x2+4x+4=6,即(x+2)2=6.
开平方,得x+2=±,
解得x1=-2+,x2=-2-.
(2)因式分解,得x(x-4)=0,
∴x=0或x-4=0,
解得x1=0,x2=4.
(3)方程整理,得2x2+8x-1=0.
这里a=2,b=8,c=-1.
∵Δ=64+8=72>0,
∴x=,
∴x1=,x2=.
20.(9分)已知a=+1,b=-1,分别求下列代数式的值:
(1)a2-b2;
(2)a2-3ab+b2.
解:(1)∵a=+1,b=-1,
∴a+b=+1+-1=2,
a-b=(+1)-(-1)=2,
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=2×2=4.
(2)∵a=+1,b=-1,
∴a+b=+1+-1=2,
ab=(+1)×(-1)=5-1=4.
∴a2-3ab+b2=(a2+2ab+b2)-5ab=(a+b)2-5ab=(2)2-20=0.
21.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.
(1)求证:该方程有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的两个实数根x1,x2满足x1x2+x1+x2=3,求m的值.
(1)证明:Δ=(-4)2-4×(-m2)=16+4m2.
∵m2≥0,∴16+4m2>0,即Δ>0,
∴该方程有两个不相等的实数根.
(2)解:∵方程x2-4x-m2=0的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=4,x1x2=-m2.
又∵x1x2+x1+x2=3,∴-m2+4=3,即m2=1,解得m=±1.
故m的值为±1.
22.(12分)如图所示,在等腰三角形MNO中,MO=NO,点Q是MN中点,点S是QO中点,过点O作OP∥MN交NS的延长线于点P,连接MP.求证:四边形OPMQ是矩形.
证明:∵OP∥MN,∴∠POS=∠NQS.
∵点S是QO中点,∴OS=QS.
在△OPS和△QNS中,
∴△OPS≌△QNS(ASA),∴OP=QN.
又∵点Q是MN的中点,
∴QM=QN,∴OP=QM,
∴四边形OPMQ是平行四边形.
∵△MNO是等腰三角形,MO=NO,点Q是MN中点,∴OQ⊥MN,
∴∠OQM=90°,
∴平行四边形OPMQ是矩形.
23.(12分)某商场将每件进价为160元的某种商品按每件200元出售,一天可售出100件,后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加5件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元.
(2)若商场经营该商品一天要获利润4 320元,则每件商品应降价多
少元
解:(1)原来一天可获利润:(200-160)×100=4 000(元).
(2)设每件商品降价x元.
依题意,得(200-160-x)(100+5x)=4 320,
解得x1=4,x2=16,
∴每件商品应降价4元或16元.
24.(12分)(2024东营期中)如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC,连接CE,OE,AE,OE=CD.
(1)求证: ABCD是菱形;
(2)若AB=4,∠ABC=60°,求AE的长.
(1)证明:∵DE∥AC,DE=OC,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵OE=CD,
∴平行四边形OCED是矩形,
∴∠COD=90°,∴AC⊥BD,∴ ABCD是菱形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,CD=AB=BC=4,AC⊥BD.
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=4,∴OA=OC=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得OD===2.
由(1)可知四边形OCED是矩形,
∴CE=OD=2,∠OCE=90°,
∴AE===2,即AE的长为2.
25.(14分)如图①所示,在正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在CD的延长线上,DF=BE.
(1)求证:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如图②所示,连接BD,交EF于点H,连接AH,求证:AH⊥EF.
① ②
证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=∠B=∠ADC=90°,AB=AD,∴∠ADF=90°,∴∠B=∠ADF.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF,∠BAE=∠DAF,
∴∠EAF=∠DAF+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形.
(2)如图所示,过点E作EG∥CD交BD于点G,
则∠GEH=∠DFH,∠EGB=∠CDB.
∵BC=DC,∴∠EBG=∠CDB,∴∠EBG=∠EGB,∴GE=BE,∴GE=DF.
在△GEH和△DFH中,
∴△GEH≌△DFH(AAS),∴EH=FH.
又∵AE=AF,∴AH⊥EF.
