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一、选择题(每小题4分,共48分)
1.当x=2时,下列各式中,没有意义的是(D)
A. B. C. D.
2.如果x,y都不为零,且2x=3y,那么下列比例中正确的是(B)
A.= B.= C.= D.=
3.已知x=2是关于x的方程x2+ax-3a=0的根,则a的值为(B)
A.-4 B.4 C.2 D.
4.下列计算中,正确的是(C)
A.(+)2=8 B.(+)×=×=5
C.(4+2)×(4-2)=4 D.2+3=5
5.某学校实践基地加大农场建设,为学生提供更多的劳动场所.该实践基地某种蔬菜2022年的产量为60千克,2024年的产量为135千克.设该种蔬菜年产量的平均增长率为x,则符合题意的方程是(B)
A.60(1+2x)=135 B.60(1+x)2=135
C.60(1+x2)=135 D.60+60(1+x)+60(1+x)2=135
6.已知关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为(C)
A.k≥0 B.k≤0且k≠-1 C.k<0且k≠-1 D.k<0
7.已知实数m,现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程(m-2)x2+2x-1=0讨论如下,则下列判断正确的是(D)
甲:该方程一定是关于x的一元二次方程 乙:该方程有可能是关于x的一元二次方程 丙:当m≤1时,该方程没有实数根 丁:当m≥1且m≠2时,该方程有两个实数根
A.甲和丙说得对 B.甲和丁说得对
C.乙和丙说得对 D.乙和丁说得对
8.(2023哈尔滨)如图所示,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交BD于点N.若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为(B)
A.2 B.4 C.6 D.8
9.如图所示,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为(D)
A. B. C.4 D.
10.如图所示,将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片.根据图中标示的长度,知矩形纸片的面积为(C)
A.12 B.18 C.24 D.30
11.设α,β是方程x2+2 019x-2=0的两根,则(α2+2 022α-1)(β2+
2 022β-1)的值为(B)
A.6 076 B.-6 074 C.6 040 D.-6 040
12.(2024巴南月考)如图所示,在矩形ABCD中,E为边AB上一点,将
△ADE沿DE折叠,使点A的对应点F恰好落在边BC上,连接AF交DE于点G.若BF·AD=6,则AF的长度为(D)
A.3 B.6 C. D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.已知x,y是实数,且y=++6,则= 3 .
14.计算:×+= 3 .
15.设α,β是一元二次方程x2+x-6=0的两个根,则+= .
16.王超同学在解关于x的一元二次方程x2-5x+m=0时误将-5x看成+5x,结果解得x1=1,x2=-6,则原方程的解为 x1=6,x2=-1 .
17.上午的某一时刻,身高1.7 m的小刚在地面上的影长为3.4 m,小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16 m,还有2 m长的影子落在墙上,根据这些条件可以知道旗杆的高度为 10 m.
18.如图所示,四边形ABCD为正方形,点E为对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.若AB=1,则CE+CG的值为 .
三、解答题(共78分)
19.(8分)(1)计算:4--2;
(2)已知x=2-,y=2+,求x2+xy+y2的值.
解:(1)4--2
=4×-4-2
=-4-2
=-5.
(2)x2+xy+y2
=(x+y)2-xy
=(2-+2+)2-(2-)(2+)
=42-1
=15.
20.(8分)解方程:
(1)x2-2x-2=0; (2)(x-1)(x-3)=8.
解:(1)x2-2x-2=0,
x2-2x+1=3,
(x-1)2=3,
x-1=±,
x1=+1,x2=-+1.
(2)原方程变形为x2-4x-5=0,
(x-5)(x+1)=0,
x1=5,x2=-1.
21.(10分)某加工厂加工生姜的成本为20元/千克,根据市场调查发现,批发价定为32元/千克时,每天可销售400千克.为增大市场占有率,在保证盈利的情况下,工厂采取降价措施.批发价每千克每降低1元,每天销量可增加40千克.
(1)当降价5元时,工厂每天的利润为多少元
(2)当降价多少元时,工厂每天的利润为4 800元
解:(1)根据题意得(32-5-20)×(400+40×5)=7×(400+200)=7×600=4 200(元),
故当降价5元时,工厂每天的利润为4 200元.
(2)设降价x元,则每千克的销售利润为(32-x-20)元,每天可销售(400+40x)元.
根据题意得(32-x-20)(400+40x)=4 800,整理得x2-2x=0,解得x1=2,x2=0(不符合题意,舍去),
故当降价2元时,工厂每天的利润为4 800元.
22.(12分)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(7,1),B(8,2),C(9,0).
(1)以点P(12,0)为位似中心,在图中画出一个△ABC的位似图形
△A′B′C′,使其与△ABC的相似比为3∶1(要求与△ABC在点P同一侧);
(2)直接写出△A′B′C′三个顶点的坐标;
(3)求出△A′B′C′的周长.
解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求的三角形.
(2)△A′B′C′三个顶点的坐标分别是A′(-3,3),B′(0,6),
C′(3,0).
(3)∵A′B′==3,A′C′==3,B′C′=
=3,
∴△A′B′C′的周长为3+3+3=6+3.
23.(13分)(2023凉山)如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若AB=10,AC=16,求OE的长.
(1)证明:∵∠CAB=∠ACB,∴AB=CB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=AC=8,AC⊥BD.
∵BE⊥AB,
∴∠AOB=∠BOE=∠ABE=90°,
∴OB===6,
∠EBO+∠BEO=90°,∠ABO+∠EBO=90°,
∴∠BEO=∠ABO,∴△EBO∽△BAO,
∴=,∴=,解得OE=.
24.(13分)如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC.
(2)设=.
①若BC=12,求线段BE的长;
②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
(1)证明:∵DE∥AC,∴∠DEB=∠C.
∵EF∥AB,
∴∠B=∠FEC.
∴△BDE∽△EFC.
(2)解:①∵EF∥AB,∴==.
∵EC=BC-BE=12-BE,∴=,解得BE=4.
②∵=,∴=.
∵∠B=∠FEC,∠C=∠C,∴△EFC∽△BAC.
∴=()2=()2=.∴S△ABC=S△EFC=×20=45.
25.(14分)已知正方形ABCD的边长为,连接AC,BD交于点O,CE平分∠ACD交BD于点E.
(1)如图①所示,求DE的长;
(2)如图②所示,过点E作EF⊥CE,交AB于点F,求BF的长;
(3)如图③所示,过点E作EG⊥CE,交CD于点G,求DG的长.
① ② ③
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=90°,∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°.
∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°.
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°.
∵∠DBC=45°,∴∠BEC=180°-67.5°-45°=67.5°.
∴∠BEC=∠BCE.∴BE=BC=.
在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD===2.
∴DE=BD-BE=2-.
(2)∵FE⊥CE,∴∠CEF=90°.
∴∠FEB=∠CEF-∠CEB=90°-67.5°=22.5°.
∴∠FEB=∠DCE.
又∵∠FBE=∠CDE=45°,BE=BC=CD,
∴△FEB≌△ECD.∴BF=DE=2-.
(3)如图所示,延长GE交AB于点H.
由(1),知BE=,由(2),知BH=DE=2-.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥DC.
∴∠EDG=∠EBH,∠EGD=∠EHB.
∴△DGE∽△BHE.
∴=,即=,解得DG=3-4.中小学教育资源及组卷应用平台
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.当x=2时,下列各式中,没有意义的是( )
A. B. C. D.
2.如果x,y都不为零,且2x=3y,那么下列比例中正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
3.已知x=2是关于x的方程x2+ax-3a=0的根,则a的值为( )
A.-4 B.4 C.2 D.
4.下列计算中,正确的是( )
A.(+)2=8 B.(+)×=×=5
C.(4+2)×(4-2)=4 D.2+3=5
5.某学校实践基地加大农场建设,为学生提供更多的劳动场所.该实践基地某种蔬菜2022年的产量为60千克,2024年的产量为135千克.设该种蔬菜年产量的平均增长率为x,则符合题意的方程是( )
A.60(1+2x)=135 B.60(1+x)2=135
C.60(1+x2)=135 D.60+60(1+x)+60(1+x)2=135
6.已知关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为( )
A.k≥0 B.k≤0且k≠-1 C.k<0且k≠-1 D.k<0
7.已知实数m,现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程(m-2)x2+2x-1=0讨论如下,则下列判断正确的是( )
甲:该方程一定是关于x的一元二次方程 乙:该方程有可能是关于x的一元二次方程 丙:当m≤1时,该方程没有实数根 丁:当m≥1且m≠2时,该方程有两个实数根
A.甲和丙说得对 B.甲和丁说得对
C.乙和丙说得对 D.乙和丁说得对
8.(2023哈尔滨)如图所示,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交BD于点N.若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.如图所示,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为( )
A. B. C.4 D.
10.如图所示,将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片.根据图中标示的长度,知矩形纸片的面积为( )
A.12 B.18 C.24 D.30
11.设α,β是方程x2+2 019x-2=0的两根,则(α2+2 022α-1)(β2+
2 022β-1)的值为( )
A.6 076 B.-6 074 C.6 040 D.-6 040
12.(2024巴南月考)如图所示,在矩形ABCD中,E为边AB上一点,将
△ADE沿DE折叠,使点A的对应点F恰好落在边BC上,连接AF交DE于点G.若BF·AD=6,则AF的长度为( )
A.3 B.6 C. D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.已知x,y是实数,且y=++6,则= .
14.计算:×+= .
15.设α,β是一元二次方程x2+x-6=0的两个根,则+= .
16.王超同学在解关于x的一元二次方程x2-5x+m=0时误将-5x看成+5x,结果解得x1=1,x2=-6,则原方程的解为 .
17.上午的某一时刻,身高1.7 m的小刚在地面上的影长为3.4 m,小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16 m,还有2 m长的影子落在墙上,根据这些条件可以知道旗杆的高度为 m.
18.如图所示,四边形ABCD为正方形,点E为对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.若AB=1,则CE+CG的值为 .
三、解答题(共78分)
19.(8分)(1)计算:4--2;
(2)已知x=2-,y=2+,求x2+xy+y2的值.
20.(8分)解方程:
(1)x2-2x-2=0; (2)(x-1)(x-3)=8.
21.(10分)某加工厂加工生姜的成本为20元/千克,根据市场调查发现,批发价定为32元/千克时,每天可销售400千克.为增大市场占有率,在保证盈利的情况下,工厂采取降价措施.批发价每千克每降低1元,每天销量可增加40千克.
(1)当降价5元时,工厂每天的利润为多少元
(2)当降价多少元时,工厂每天的利润为4 800元
22.(12分)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(7,1),B(8,2),C(9,0).
(1)以点P(12,0)为位似中心,在图中画出一个△ABC的位似图形
△A′B′C′,使其与△ABC的相似比为3∶1(要求与△ABC在点P同一侧);
(2)直接写出△A′B′C′三个顶点的坐标;
(3)求出△A′B′C′的周长.
23.(13分)(2023凉山)如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若AB=10,AC=16,求OE的长.
24.(13分)如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC.
(2)设=.
①若BC=12,求线段BE的长;
②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
25.(14分)已知正方形ABCD的边长为,连接AC,BD交于点O,CE平分∠ACD交BD于点E.
(1)如图①所示,求DE的长;
(2)如图②所示,过点E作EF⊥CE,交AB于点F,求BF的长;
(3)如图③所示,过点E作EG⊥CE,交CD于点G,求DG的长.
① ② ③
