18.2.3 正方形 课时练习（含答案）2024-2025学年人教版数学八年级下册

八年级数学下册人教版第十八章第2.3节《正方形》课时练习
一、单选题
1．如图，正方形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，四边形是正方形，点E是正方形内的一点，且为等边三角形，于点F，若，则的长是（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．10
4．如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．48 B．76 C．78 D．84
6．如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
7．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
8．用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为（ ）
A．5 B． C．10 D．
9．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB，其中，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（ ）
A． B． C．10 D．20
二、填空题
11．如图，正方形的边长为2，E是的中点，点P是边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．

12．如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ．
13．如图，直线，正方形的三个顶点A、B、C分别在、、上，与之的距离是2，与之间的距离是4，则正方形的面积为 ．
14．如图，在正方形中，点在上，点在上，且．若，则的周长为 ．
15．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
16．如图，点分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，．若，，则的长是 ．
17．如图，边长为的正方形和边长为的正方形排放在一起，和分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段的长为 ．
三、解答题
18．如图，在边长为10的正方形中，分别是边上的点，连接，且，若，求的长．
19．已知正方形，点，分别是边，上的动点．

(1)如图①，点，分别是边，上的中点，证明；
(2)如图②，若正方形的边长为1，的周长为2，证明．
20．正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
21．已知:如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F.
(1)求证：；
(2)连接BF，若AD=5，AF=3，求BF的长.
22．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、．
备用图
(1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
23．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；
(3)求四边形EFGH面积的最小值．
24．正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD为边作正方形DPFE，连接CE；
(1)如图1，则AP与CE的数量关系是______，AP与CE位置关系为______；
(2)点P在对角线AC的延长线上运动时，
①如图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，连结AE，若，，求四边形DCPE的面积．
25．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
(1)求证：；
(2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A B C D B C B
11．
12．或/或
13．20
14．8
15．
16．
17．
18．解：在边长为10的正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
19．（1）证明：四边形是正方形，
，，
点，分别是边，上的中点，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：①延长至，使，如图2所示：
四边形是正方形，
，，
，即，
的周长为2，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
20．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵由旋转知，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴F、C、M三点在同一条直线上．
∵，
∴．
∴．
（2）解：设．
∵，
∴．
在中，
由勾股定理得，
即．
解得，，
∴．
21．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠AFD=∠BEA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，
∴EF=AE-AF=AE-BE；
（2）解：如图所示，连接BF，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：，
∵△ABE≌△DAF，
∴BE=AF=3，AE=DF=4，
∴EF=AE-AF=1，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：．
22．（1）四边形能够成为菱形，理由如下：
∵中，，，
．
在中，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，解得：，
即当时，四边形是菱形；
（2）四边形不能为正方形，理由如下：
当时，．
，
，
，
，
时，
但，
四边形不可能为正方形．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点），理由如下：
连接AC、EG，交点为O；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，即O为AC的中点，
∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8-x）cm，
根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8-x）2，
∴S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，
∵2＞0，
∴S有最小值，
当x=4时，S的最小值为32，
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．
24．（1）解：∵四边形ABCD和四边形DEFP均为正方形，
∴AD=CD，DP=DE，∠ADC=∠PDE=90°，∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠ADP=∠CDE，
∴△ADP≌△CDE，
∴AP=CE，∠DAC=∠DCE=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°，即AP⊥CE；
故答案为：；AP⊥CE；
（2）解：①，
理由：∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，
∴≌（SAS），
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图，连接BD与AC相交于O，
∵正方形ABCD中，，
∴，
∴，
由①得：≌，
∴∠CAD=∠DCE=45°，
∵∠ACD=45°，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴，
∴．
25．（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
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