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7.3*复数的三角表示--自检定时练---详解版
单选题
1．复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解.
【详解】因为，
所以的辐角主值为.
故选：C
2．的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可.
【详解】由题意得，故D正确.
故选：D
3.复数化为代数形式为（ ）
A． B．i
C． D．
【答案】B
【分析】直接代入三角函数值即可运算求解.
【详解】.
故选：B.
4.已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可.
【详解】
逆时针旋转后得，所以=.
故选：A
5.欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接计算得到，再计算共轭复数得到答案.
【详解】，故.
故选：C
6.若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
多选题
7.设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项.
【详解】设，其中，则，
故，而，故，
故，故，
故BC正确，AD错误；
故选：BC.
8.已知复数，其在复平面内对应点，下列说法中正确的是（ ）
A．复数的三角形式为
B．在复平面内将点绕坐标原点逆时针旋转后到达点，点所对应的复数
C．在复平面内将点绕坐标原点顺时针旋转后到达点，点所对应的复数为，则
D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由复数的运算公式，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，因为，故A错误；
对于B，设点对应的向量为，则绕坐标原点逆时针旋转后得到对应的复数为，则点对应的复数，故B正确；
对于C，设点对应的向量为，则绕坐标原点顺时针旋转后得到对应的复数为，则点对应的复数，故C错误；
对于D，由B，C可知，，故D正确；
故选：BD
填空题
9.已知为虚数单位，，则的辐角主值为 .
【答案】
【分析】根据复数的三角表示分析求解.
【详解】因为，
所以的辐角主值为.
故答案为：.
10.设，且满足，则的辐角的主值的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据表示的几何意义即可得到主值的范围.
【详解】如图，表示的点在圆心为，半径为的圆内，
为向右平移一个单位长度得到的圆内的点，，
故的辐角的主值的取值范围是.
故答案为：.
解答题
11.将下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案.
（2）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案.
【详解】（1），所以，
对应的点在第一象限，所以，
所以．
（2），所以，
对应的点在第四象限，所以，所以．
12.在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
(1)设，，求证：是实数；
(2)已知，，，求的值；
(3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明；
（2）设，则，由已知，，列等式即可求解；
（3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解.
【详解】（1）设，
，，，
是实数；
（2）设，则，
，，
，①
又，
②，
联立①②，解得，
（3），设，
则，
，，
.
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7.3*复数的三角表示--自检定时练---原卷版
【1】知识清单
(1)复数的三角表示式
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式，如下表：
名称 概念
模r r是复数z的模，)
辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且
三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
(2)辅角的主值
规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
(4)复数乘法运算的三角表示
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+
(5)复数除法运算的三角表示
设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1．复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
2．的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
3.复数化为代数形式为（ ）
A． B．i
C． D．
4.已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5.欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
6.若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
多选题
7.设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知复数，其在复平面内对应点，下列说法中正确的是（ ）
A．复数的三角形式为
B．在复平面内将点绕坐标原点逆时针旋转后到达点，点所对应的复数
C．在复平面内将点绕坐标原点顺时针旋转后到达点，点所对应的复数为，则
D．
填空题
9.已知为虚数单位，，则的辐角主值为 .
10.设，且满足，则的辐角的主值的取值范围是 .
解答题
11.将下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)；
(2)．
12.在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
(1)设，，求证：是实数；
(2)已知，，，求的值；
(3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A C A BC BD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1) (2)
12.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)
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