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第十六章 二次根式 单元综合达标卷
一、选择题
1．若二次根式 有意义， 则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次根式 的值为 2 ， 则 的值是（ ）
A．-9 B．-3 C．9 D．-15
3．下列计算中 ，错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则有（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果估计在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
6．已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．25
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A． B．b C． D．
9．若，则的值是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
10．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题
11．若最简二次根式与可以合并，则 ．
12．已知，，求的值为 ．
13．若规定符号“*”的意义是，则的值是 .
14．已知﹣1＜x＜3，化简：﹣|x+1|＝ ．
15．已知y= ，则 = ．
16．已知 的小数部分是a，则 的值是 .
三、综合题
17．若 ，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．如图，矩形内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1.
（1）求图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；
（2）若，，求阴影部分的面积.
19．已知：，.
（1）直接写出： ， ；
（2）求的值.
20．计算：
（1）；
（2）．
21．有这样一道题：先化简，再求值：a+，其中a＝1000．小亮和小芳分别给出了不同的解答过程．
小亮的解答是：原式＝a+＝a+1-a＝1．
小芳的解答是：原式＝a+＝a-（1-a）＝2a-1＝2×1000-1＝1999．
（1） 的解答是错误的；
（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝-200．
22．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求|m－1|＋(m＋)2的值．
23．如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为.
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积.
24．解答下列各题：
（1）计算：
（2）设实数 的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(2a-b)的值.
25．在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
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第十六章 二次根式 单元综合达标卷
一、选择题
1．若二次根式 有意义， 则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得x-1≥0，
∴x≥1，
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合题意即可求解。
2．已知二次根式 的值为 2 ， 则 的值是（ ）
A．-9 B．-3 C．9 D．-15
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次根式 的值为 2 ，
∴，
∴a=-9，
故答案为：A
【分析】先根据二次根式的值得到，进而即可得到a的值。
3．下列计算中 ，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，故A选项正确；
B、，故B选项正确；
C、中，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】A选项，先利用二次根式的乘法法则，得到，再利用二次根式的化简，得到结果；
B选项，先利用二次根式的除法法则，得到，再得到结果；
C选项，先利用二次根式的乘法法则，得到，再利用二次根式的化简，得到结果；
D选项，先利用二次根式的除法法则，得到，再利用分母有理化，得到结果。
4．已知 ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】m=（- ）×（-2 ），
= ，
= ×3 =2
= ，
∵ ，
∴5＜ ＜6，
即5＜m＜6，
故答案为：A．
【分析】求出m的值，求出2 ）的范围5＜m＜6，即可得出选项．
5．计算的结果估计在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
【答案】A
【解析】【解答】解： =4+，
∵3＜＜4，
∴7＜4+＜8，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的混合运算先求值，再估算即可.
6．已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵=是整数，
∴正整数n的最小值为2.
故答案为：C.
【分析】将化为，然后结合其为整数就可得到正整数n的最小值.
7．若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．25
【答案】A
【解析】【解答】
解： ∵===
∴5+1=a+1
∴a=5
故正确答案是：A
【分析】根据二次根式的加法法则和性质，惊醒计算即可求解。
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A． B．b C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴
．
故答案为：B．
【分析】结合数轴先求出，再化简求解即可。
9．若，则的值是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将待求式子完全平方后整体代入算出结果，进而再求算术平方根即可.
10．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】【解答】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
【分析】根据根号下的数是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案。
二、填空题
11．若最简二次根式与可以合并，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵
又∵最简二次根式与可以合并，
∴
解得：．
故答案为：3．
【分析】本题考查二次根式的加法，同类二次根式，最简二次根式的含义．先化简根式可得，再根据同类二次根式概念可列出方程，解方程可求出m的值．
12．已知，，求的值为 ．
【答案】-112
【解析】【解答】解：∵，
∴ =，
故答案为：-112.
【分析】先分解因式，再将x、y的值代入，利用平方差公式和完全平方公式计算即可.
13．若规定符号“*”的意义是，则的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解： =2（-1）-（-1）2= =
故答案为：.
【分析】根据规定符号的意义列式子，进而根据二次根式混合运算的运算顺序：先根据单项式乘多项式法则及完全平方公式计算，再计算有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
14．已知﹣1＜x＜3，化简：﹣|x+1|＝ ．
【答案】﹣2x+2
【解析】【解答】解：；
∵，∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质进行化简计算即可.
15．已知y= ，则 = ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵y= + +4，
∴ ，
解得x= ，
∴y=4，
∴原式= = ．
故答案为： ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．
16．已知 的小数部分是a，则 的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的整数部分为3，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】利用估算无理数的大小，可知，由此可得到的整数部分，即可得到a的值，然后将a的值代入代数式进行化简.
三、综合题
17．若 ，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵ ，，
∴ ，，
∴
（2）解：∵ ，，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据题意求出a+b和a-b，再利用平方差公式进行计算即可；
（2）根据题意求出a+b和a-b，再利用完全平方公式进行计算即可。
18．如图，矩形内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1.
（1）求图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；
（2）若，，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：由题意知， ， ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
将 ， ， 代入 中得， ，
∴阴影部分的面积为 .
【解析】【分析】（1）由图易得AB=m+n+1，BC=m，进而结合正方形、矩形的面积计算方法，利用割补法，由阴影部分的面积=长为m、宽为（n+1）的矩形的面积减去两个边长分别为n与1的正方形的面积，列式计算即可；
（2）由 可得 ，则 ，进而代入可得 ，最后将n2、n、m分别代入（1）化简的结果计算求解即可.
19．已知：，.
（1）直接写出： ， ；
（2）求的值.
【答案】（1）1；4
（2）解：
由（1）得：
原式
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴
故答案为：1，4；
【分析】（1）根据平方差公式可得ab的值，由二次根式的减法法则可得a+b的值；
（2）对待求式通分可得 ，然后代入进行计算.
20．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
=6；
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的运算法则计算即可。
21．有这样一道题：先化简，再求值：a+，其中a＝1000．小亮和小芳分别给出了不同的解答过程．
小亮的解答是：原式＝a+＝a+1-a＝1．
小芳的解答是：原式＝a+＝a-（1-a）＝2a-1＝2×1000-1＝1999．
（1） 的解答是错误的；
（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝-200．
【答案】（1）小亮
（2）解：∵，
∴，
则原式=a+
=a+2|a-3|
=a-2a+6
=6-a，
当a=-200时，
原式=6+200=206．
【解析】【解答】解：(1)∵a=1000，
∴1-a=1-1000=-999＜0，
∴，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可；
（2）根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可。
22．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求|m－1|＋(m＋)2的值．
【答案】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2.
∵点A表示－，点B表示m，
∴m＝－＋2.
（2）解：|m－1|＋(m＋)2＝|－＋2－1|＋(－＋2＋)2＝|－＋1|＋4＝－1＋4＝＋3.
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式求出m＝－＋2即可；
（2）将m的值代入代数式|m－1|＋(m＋)2变形为|－＋2－1|＋(－＋2＋)2，再计算即可。
23．如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为.
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积.
【答案】（1）解：由题意可知：长方体盒子的容积为：
，
答：长方体盒子的容积为.
（2）解：长方体盒子的侧面积为：
，
答：这个长方体盒子的侧面积为.
【解析】【分析】（1）无盖的长方体盒子的长、宽为cm，高为cm，根据长方体的容积=长×宽×高，据此计算即可；
（2）长方体盒子的侧面是4个全等的长方形，其长为cm，高为cm，根据长方形的面积=长×宽进行计算即可.
24．解答下列各题：
（1）计算：
（2）设实数 的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(2a-b)的值.
【答案】（1）解：原式=
（2）解：
∴ 的整数部分为a=2，小数部分为b= 2，
【解析】【分析】（1）先根据二次根式乘法法则和除法法则及二次根式性质化简计算，然后再合并同类二次根式得到答案.
（2）先求出a、b，然后再利用平方差公式化简原式，最后代入即可求出答案.
25．在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
【答案】（1）解：设“ ”表示的数为 ，则 ，
∴ ，
∴“ ”表示的数为 ；
（2）解：依题意，原式为 ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
∵ ，
∴
∴当“ ”表示“ ”时，算式的结果最大．
【解析】【分析】
（1）本题考查二次根式的混合运算；
（2）本题考查二次根式的混合运算以及分类讨论思想。
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