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第十七章 勾股定理 全真模拟提升卷
一、选择题
1．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，9，12 D．5，8，10
2．在中，，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在边长为1的正方形网格中，点A、B都在格点上，则线段AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作，左下不重叠部分的面积记作，若，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5． 在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（ ）
A． B．
C． D．
6．一个直角三角形的模具，其中两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为（ ）
A．5cm B．4cm C．cm D．5cm或cm
7．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
8．已知三角形的三边长a，b，c满足 ，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
9．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
10．△ABC中，AB=17，AC=10，高AD=8，则△ABC的周长是（ ）
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
二、填空题
11．如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米．
12．如图，已知点，点分别是等边三角形中，边的中点，，点是上的动点，则的最小值 ．
13． 如图一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为2cm的长方体纸箱A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是 cm
14．如图，铁路和公路在点O处交汇，，公路上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 s．
15． 如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ．
16．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
三、综合题
17．如图1，在中，，．
（1）求的面积．
（2）若P是边上的一点（不与点A，B重合），过点P作于点D，于点E，得到图2，移动点P的位置，的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
18．如图，已知等腰三角形.
（1）作，垂足为.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求的面积.
19．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积及AC边上的高．
20．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B=90°，BC=3，AB=4，CD=5，AD=．
求证：
（1）AC=CD；
（2）△ACD是直角三角形．
21．
（1）如图1，在中，，求的面积．
（2）如图2，在中，，求的面积．
22．如图，四边形ABCD中， ， ， ， ， ．
（1）求BD的长；
（2）求证： 是直角三角形．
23．如图是长、宽、高的长方体容器．
（1）求底面矩形的对角线的长；
（2）长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
24．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路、和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，
千米．
（1）求公路的长度；
（2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的总费用．
25．定义：如图，点M，N把线段分割成．若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N把线段分割成，若，，，则点M，N 是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
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第十七章 勾股定理 全真模拟提升卷
一、选择题
1．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，9，12 D．5，8，10
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形.
2．在中，，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 在中，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和求出∠C=90°，再利用勾股定理的逆定理判断求解即可。
3．在边长为1的正方形网格中，点A、B都在格点上，则线段AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，
构造直角三角形ABC，AC=3，BC=4，
∴AB=，
故答案为：C.
【分析】先利用网格构造直角三角形，再利用勾股定理求出AB的长即可.
4．勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作，左下不重叠部分的面积记作，若，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设AC=a，CB=b，AB=c，则面积为的矩形的长和宽分别为c-a，c-b，面积为的正方形边长为a+b-c，
∴，，，
∴，
故答案为：B
【分析】设AC=a，CB=b，AB=c，根据勾股定理结合整式的乘法即可得到，，，进而即可求解。
5． 在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，∴△ABC不是直角三角形，∴C符合题意；
D、∵，∴△ABC是直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
6．一个直角三角形的模具，其中两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为（ ）
A．5cm B．4cm C．cm D．5cm或cm
【答案】D
【解析】【解答】解：①当4是直角边时，斜边=，此时第三边为5；
②当4为斜边时，此时第三边=
综上可得第三边的长度为5或．
故答案为：D．
【分析】分两种情况，再利用勾股定理求解即可。
7．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
【答案】B
【解析】【解答】解：根据勾股定理得出：AB＝
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的性质可得EF=AB=5，再利用勾股定理可知阴影部分的面积等于正方形的面积即可。
8．已知三角形的三边长a，b，c满足 ，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴该三角形的形状为直角三角形.
故答案为：D.
【分析】先根据非负数的性质求出abc的值，再根据勾股定理逆定理判断即可.
9．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【答案】C
【解析】【解答】A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意.
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意.
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意.
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时满足两较小边的平方和是否等于最长边的平方.
10．△ABC中，AB=17，AC=10，高AD=8，则△ABC的周长是（ ）
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
【答案】C
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝ ＝15，
CD＝ ＝6，
∴BC＝BD＋CD＝15＋6＝21，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝17＋10＋21＝48；
②如图2所示：
同①得：BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝17＋10＋9＝36；
综上所述：△ABC的周长为48或36，
故答案为：C．
【分析】由题意得出∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理求出BD、CD，分两种情况，容易得出BC的长．
二、填空题
11．如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，彩带最短为长方形对角线AB'长度，
∵圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米，
∴A'B'=5米，AA''=4米
∴米，
即彩带最短需要米.
故答案为：．
【分析】将曲面问题变为平面问题，故将圆柱侧面沿AB展开，可得彩带最短为长方形对角线AB'长度，进而根据勾股定理计算可得答案.
12．如图，已知点，点分别是等边三角形中，边的中点，，点是上的动点，则的最小值 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接EC交AD于点F
∵在等边三角形ABC中，∠B=60°，D，E分别为BC，AB边的中点，
∴AC=2DE=10，CE⊥AB，AD⊥BC
∴BF=CF
∴BF+EF的最小值为CF+EF=CE
在Rt△BCE中，
即F+EF的最小值为.
故答案为：.
【分析】先连接CE，推出BF+EF的最小值为CE，因为D，E为三角形的中点，得出AC=10，再根据等腰三角形三线合一，得出CE⊥AB，最后根据勾股定理求出CE即可.
13． 如图一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为2cm的长方体纸箱A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是 cm
【答案】
【解析】【解答】解：当如图1所示时，
（cm），
当如图2所示时，
（cm），
当如图3所示时，
（cm），
∵，
∴它所行走的最短路径的长是cm．
故答案为：．
【分析】先分三种情况将图形展开，再根据两点之间线段最短，分别利用勾股定理计算，再比较大小即可．
14．如图，铁路和公路在点O处交汇，，公路上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 s．
【答案】9
【解析】【解答】解：过A作AB⊥MN，在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，
∴∠ACO=90°，BC=CD.
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=OA=120（米），
∴（米），
∴BD=2BC=180米.
∵72千米/小=20米/秒，
∴影响时间应是180÷20=9（秒）.
故答案为：9.
【分析】先利用含有30度角的直角三角形的性质求出AC，再利用勾股定理求得BC，就可求得影响的距离BD，除以速度即可求得影响的时间.
15． 如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】利用格点S△ABC=4×4---=，而AB=，
S△ABC=，即有得CD=.
故答案为.
【分析】根据面积割补法得△ABC的面积，求出AB=5的长，根据S△ABC=即可得到CD的长.
16．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
【答案】25
【解析】【解答】解：正方形A的面积=9+16=25.
故第1空答案为：25
【分析】根据勾股定理已知两直角边的平方，直接求出来斜边的平方即可。
三、综合题
17．如图1，在中，，．
（1）求的面积．
（2）若P是边上的一点（不与点A，B重合），过点P作于点D，于点E，得到图2，移动点P的位置，的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点C作，垂足为D，
，
，
在中，，，
，
，
∵，
∴是等腰三角形，
，
的面积为．
（2）解：不会变化，理由如下：
连接，
，
，
，
，
的值不会变．
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为D，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=BC=2，由勾股定理求BD=2，根据等腰三角形的性质可得AB=2BD=4，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）不会变化，理由：根据 = 4，可求出PD+PE=2，即可判断.
18．如图，已知等腰三角形.
（1）作，垂足为.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求的面积.
【答案】（1）解：如图于为所作；
（2）解：在中，，
设，则，
在中，
，解得
，
，
.
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，BC为半径画弧与AB相交于两个点，再分别别以两交点为圆心大于两交点间距离的一半的长度为半径画弧，交于一点，连接交点与点C，CD⊥AB于点D；
（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理算出CD的长，设AD=x，则AC=AB=AD+DB=x+5，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而求出AB的长，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
19．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积及AC边上的高．
【答案】（1）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
每个小正方形方格的边长为1，，
，即
，∴∠ABC＝90°，即△ABC为直角三角形；
（2）解：如图，作AC边上的高BD，则△ABC的面积=，
∵∠ABC＝90°，∴△ABC的面积==，
∴，解得：．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）结合图形，利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B=90°，BC=3，AB=4，CD=5，AD=．
求证：
（1）AC=CD；
（2）△ACD是直角三角形．
【答案】（1）证明：∵∠B=90°，BC=3，AB=4，∴AC==5，∵CD=5，∴AC=CD．
（2）解：∵AC=CD=5 ，AD=，∴AC +CD =5 +5 =50，AD =，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC=5，即得AC=CD；
（2）根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
21．
（1）如图1，在中，，求的面积．
（2）如图2，在中，，求的面积．
【答案】（1）解：，
，
，
的面积为；
（2）解：如图，过点C作，交延长线于点D，
，
，
，
，
，
，
的面积为．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AD和BD的长，再利用线段的和差求出AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）过点C作，交延长线于点D，先利用勾股定理求出CD的长，再利用三角形的面积公式求出答案即可。
22．如图，四边形ABCD中， ， ， ， ， ．
（1）求BD的长；
（2）求证： 是直角三角形．
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2
∴BD＝
（2）证明：∵CD＝12，BC＝13，BD＝5
∴ ＝ =CB2
∴△BCD是直角三角形．
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理可得BD的长；
（2）根据已知条件可得CD2+BD2=BC2，然后根据勾股定理逆定理进行证明.
23．如图是长、宽、高的长方体容器．
（1）求底面矩形的对角线的长；
（2）长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
【答案】（1）解：∵、，∠ABC=90°，
∴对角线的长=cm；
（2）解：如图所示：
连接BD、ED，
在Rt△BCD中，
∵、，∠ABC=90°，
∴BD=cm；
在Rt△EBD中，ED＝cm．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）连接BD、ED，在Rt△BCD中， 由勾股定理求出BD=5， 在Rt△EBD中，再次利用勾股定理求出ED即可.
24．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路、和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，
千米．
（1）求公路的长度；
（2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的总费用．
【答案】（1）解：∵，∴
∵在中，，，
∴．
∴（千米）．
答：公路的长度是千米．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴（千米）．
∴修建公路的费用为（万元）．
答：修建公路的费用为万元．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出CD的长即可；
（2）根据，，可得，再将数据代入求出即可。
25．定义：如图，点M，N把线段分割成．若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N把线段分割成，若，，，则点M，N 是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
【答案】（1）解：点M，N是线段 的勾股分割点，理由如下：
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴以 为边的三角形是直角三角形，
∴点M，N是线段 的勾股分割点；
（2）解：设 ，
则 ，
①当 是斜边时，
∵点M，N是线段 的勾股分割点，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
②当 是斜边时，
∵点M，N是线段 的勾股分割点，
∴ ，
∴ ，
解得：
综上所述， 或10
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）设 ，则MN=24-AM-BN=18-x，分三种情况： ①当 是斜边时， ②当 是斜边时， 根据勾股分割点的定义进行判断即可.
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