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第二十八章 锐角三角函数 单元复习全优卷
一、选择题
1．若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直高度的长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知中，，、、所对的边分别是、、，且.则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，一次函数的图象与轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点，.若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值（ ）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
8．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡度 i1 =1：2，背水坡CD的坡度i2=1：1，若坡面CD的长度为 米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
9．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：
①m=3；②当∠APB=120°时，a= ；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥
正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题
11． 如图，四边形中，，，，．连接，则的最大值为 ．
12．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，，则点D的坐标为 。
13．如图，在A处看建筑物的顶端D的仰角为，则，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，），则建筑物的高度为 米．
14．已知tan（α+15°）＝ ，则tanα的值为 ．
15．一个斜坡的坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了 米.
16．如图，平行四边形中，于点E，以C为圆心，长为半径画弧，恰好过的中点F，若，则图中阴影部分的面积为 ．
三、综合题
17．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF，求⊙O的半径．
20．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到1m）.
21．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为37°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走8米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为45°，点A、B、C三点在同一水平线上.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高度.
22．如图，已知矩形中.
（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若，，求出的值.
23．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
（1）求点O，M之间的距离.
（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度.
24．已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.
（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在点使为直角三角形 若存在，确定点的坐标：若不存在，请说明理由.
25．如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．
（1）求的长；结果保留根号
（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取
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第二十八章 锐角三角函数 单元复习全优卷
一、选择题
1．若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值及偶次方的非负性可得，且，则，，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
2．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直高度的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点D作于E，
由题意得O米，
在中，，，
∴栏杆端点A上升的垂直距离米，
故答案为：A．
【分析】过点D作于E，在中，利用正弦解题即可．
3．已知中，，、、所对的边分别是、、，且.则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
，
，
故答案为：C.
【分析】利用锐角三角函数的定义，可求出cosA的值.
4．如图，一次函数的图象与轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点，.若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵A、B两点在函数上，
将、代入得
解得，，
∴
设，过点作轴，垂足为，则，
∴
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
联立，得，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的概念可得BO=2OA，结合点A的坐标可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，设C（x1，y1），过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则△ACE∽△ABO，根据相似三角形的性质结合BC=3AC可得CE的值，即y1，代入直线解析式中求出x1，得到点C的坐标，然后代入求出k的值，得到反比例函数的解析式，联立一次函数解析式求出x、y，据此可得点D的坐标.
5．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：点的坐标为，
点为直线上任意一点，如下图所示：
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最大，
此时：，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
，
，
，
，
此时，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据点N的坐标可得点N为直线y=2x+4上任意一点，由图象可知：过点P作AB的垂线，当M、N分别是垂线与AB、⊙P的交点时，MN的长度最大，易得点A、B的坐标，求出AB的值，根据三角函数的概念可得NP，然后利用MN=PN+MP进行计算.
6．如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，
∴sinα=．
故选C．
【分析】因为cosα= 所以利用sin2α+cos2α=1直接解答即可．
7．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【答案】D
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．
故选D．
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．
8．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡度 i1 =1：2，背水坡CD的坡度i2=1：1，若坡面CD的长度为 米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，
∵tanA==1：2，tanB==1：2，
∴AE=2BE，CF=DF，
∵CF2+DF2=CD2，
∴CF2+CF2=（6）2，
∴CF=6米，
∵DC∥AB，
∴四边形EFCD为矩形，
∴BE=CF=6米，
∴AE=12米，
∴AB=米.
故答案为：C.
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，根据题意求出CF=BE=6米，AE=12米，再根据勾股定理即可得出AB的长.
9．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：
①m=3；②当∠APB=120°时，a= ；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥
正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵点A（﹣m，0）、B（1，0）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴ ，
由①﹣②得
am2﹣bm﹣a﹣b=0，
即（m+1）（am﹣a﹣b）=0．
∵A（﹣m，0）与B（1，0）不重合，
∴﹣m≠1即m+1≠0，
∴m= ，
∴点C的坐标为（0，3a﹣3b），
∵点C在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=3a﹣3b，
代入②得a+b+3a﹣3b=0，即b=2a，
∴m= =3，故①正确；
②∵m=3，∵A（﹣3，0），
∴抛物线的解析式可设为y=a（x+3）（x﹣1），
则y=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4a）．
根据对称性可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，
则有PG⊥x轴，
∴PG=AG tan∠PAG=2× = ，
∴4a= ，
∴a= ，故②正确；
③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，
在Rt△MHB中，∠MBH=60°，
则有MH=4sin60°=4× =2 ，BH=4cos60°=4× =2，
∴点M的坐标为（3，2 ），
当x=3时，y= （3+3）（3﹣1）=2 ，
∴点M在抛物线上，故③正确；
④∵点N在抛物线上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．
当△ABN为直角三角形时，∠ANB=90°，
此时点N在以AB为直径的⊙G上，
因而点N在⊙G与抛物线的交点处，
要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，
则有PG≥2，即4a≥2，也即a≥ ，故④正确．
故选D．
【分析】①把A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到①式和②式，将两式相减即可得到m= ，即可得到C（0，3a﹣3b），从而得到c=3a﹣3b，代入②式，就可解决问题；②设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，则有PG⊥x轴，只需求出点P的坐标就可解决问题；③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，只需求出点M的坐标，然后验证点M是否在抛物线上，就可解决问题；④易知点N在抛物线上且△ABN为直角三角形时，只能∠ANB=90°，此时点N在以AB为直径的⊙G上，因而点N在⊙G与抛物线的交点处，要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，只需根据点与圆的位置关系就可解决问题．
10．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，
在Rt△DHE中，EH2=52-x2，
在Rt△CHE中，EH2=62-（4-x）2，
∴52-x2=62-（4-x）2，解得x= ，
∴EH= ，
在Rt△EDH中，tan∠HDE= ，
即∠CDE的正切值为3 ．
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得出△ADE为等边三角形，从而得DE=AD=5.过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，在Rt△DHE和Rt△CHE中，利用勾股定理课求出x的值，从而求出EH的值，在Rt△EDH中，利用三角函数可求出答案.
二、填空题
11． 如图，四边形中，，，，．连接，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
如图，过点C作CD的垂线，截取，连接BE、DE，
∵CD=3，
∴，
∴，
∵tan∠ABC=2，
∴，
∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE=90°-∠ACE，
∴，
∴，
即，
∴，
当B、E、D三点共线时，BD取最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】过点C作CD的垂线，截取，连接BE、DE，根据勾股定理求出DE的长，证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出BE的值，根据，当B、E、D三点共线时，BD取最大值，即可得到答案.
12．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，，则点D的坐标为 。
【答案】
【解析】【解答】解：在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点在函数上，
将、代入得
解得，，
∴
设，过点作轴，垂足为，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
联立，
得，
∴，，
故答案为：
【分析】先根据，得到点B的坐标，再运用待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而即可用比例求出点C的坐标，从而可得反比例函数表达式；过点作轴，垂足为，则，根据反比例函数与一次函数的交点问题联立解析式即可求解。
13．如图，在A处看建筑物的顶端D的仰角为，则，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，），则建筑物的高度为 米．
【答案】7
【解析】【解答】解：，
，
又，，，
，
解得．
故答案为：7
【分析】先根据题意得到，再根据正切函数结合题意即可求出CD.
14．已知tan（α+15°）＝ ，则tanα的值为 ．
【答案】1
【解析】【解答】∵tan60°＝ ，
∴α+15°＝60°，
解得：α＝45°，
∴tanα＝1，
故答案为：1．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
15．一个斜坡的坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了 米.
【答案】20
【解析】【解答】解：
由题意得，BC：AC=1：2，
∴BC：AB=1：，
∵AB=100m，
∴BC=20m．
故答案为：20．
【分析】由题意得，BC：AC=1：2，则BC：AB=1：，代值计算即可求出答案.
16．如图，平行四边形中，于点E，以C为圆心，长为半径画弧，恰好过的中点F，若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥BC，垂足不H，如图所示，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵FH⊥BC，BE⊥AD，
∴BE∥HF，
∴四边形EFHB是平行四边形，
∵，，
∴四边形HBEF是矩形，
，
∵
∴，
，
在平行四边形ABCD中，
，，
∴，
．
故答案为．
【分析】过点F作EH⊥BC于，先证四边形EFHB是矩形，则FH=BE=2；再证CF=BC=4，然后根据解直角三角形求得∠BCF=30°，再求出AF=2，最后根据即可解答．
三、综合题
17．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）
【答案】（1）解：如图：
由题意得：，，，，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：过点B作，垂足为G，
在中，千米，，
（千米），
在中，，
（千米），
两地的距离为千米．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据补角可得，再根据边之间关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）过点B作，垂足为G，根据正弦定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）解： ，轴于点，，，
，
解得：，
点是线段的中点，
，
，
，
反比例函数解析式为：，
把点代入，得：，
，
设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
一次函数解析式为：；
（2）解：
【解析】【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义结合已知条件得到，进而得到HC，再根据勾股定理求出AH即可得到点A的坐标，进而根据待定系数法即可求出反比例函数解析式，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积结合点的坐标代入即可求解。
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF；
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CEEF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE，
∴，
∴AE＝10，
∴AC8，
∵sin∠ABC，
∴AB，
∴OAAB．
即⊙O的半径为．
【解析】【分析】（1）首先根据圆的切线性质得出FA⊥AB，进而得出∠F+∠B＝90°，然后根据直径所对的圆周角是90°得出∠ACB＝90°，由此可得出∠CAE+∠CEA＝90°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，即可得出∠B+∠CEA＝90°，根据同角的余角相等得出∠F＝∠CEA，最后根据等角对等边可得AE＝AF；
（2）首先根据等腰三角形的三线合一得出CF＝CEEF＝6，由等角的同名三角函数值相等，将sin∠ABF=转化成sin∠CAE==，从而可求出AE=10，利用勾股定理求出AC=8，最后根据∠ABC的正弦函数求出该圆的直径AB=，由此即可求出该圆的半径.
20．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到1m）.
【答案】（1）解：∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，.
在中，，，
∵，，.
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米.
（2）解：过点作于点，设，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，，
解得.
∴（米）
答：房屋的高约是14米.
【解析】【分析】（1）由轴对称图形的性质得AG⊥EF，EG=EF=6，由平行线的性质得∠AEG=∠ACB=35°，在Rt△AEG中，由∠AEG的正切函数可求出AG；
（2） 过点E作EH⊥CB于点H，设EH=x， 在Rt△EDH中，由正切函数的定义可表示出DH的长，在Rt△ECH中由∠ECH的正切函数可表示出CH，根据CD=CH-DH=8建立方程，可求出x的值，进而根据矩形的性质及AB=AG+BG求出房屋的高度.
21．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为37°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走8米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为45°，点A、B、C三点在同一水平线上.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高度.
【答案】（1）解：由题意：四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝8米，AD＝BE＝1.5米，
在Rt△DEH中，
∵∠EDH＝37°，
∴HE＝DE tan37°≈8×0.75＝6米.
∴BH＝EH+BE＝7.5米
（2）解：设GF＝x米，在Rt△GEF中，∠GEF＝45°，
∴EF＝GF＝x，
在Rt△DFG中，tan37°＝≈0.75，
∴x≈24，
∴CG＝CF+FG＝25.5米，
答：教学楼CG的高度为25.5米.
【解析】【分析】（1）由题意可得：四边形ABED是矩形，则DE＝AB＝8米，AD＝BE＝1.5米，根据三角函数的概念可求出HE的值，然后根据BH＝EH+BE进行计算；
（2）设GF＝x米，则EF＝GF＝x，根据三角函数的概念可得x的值，然后根据CG＝CF+FG进行计算.
22．如图，已知矩形中.
（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若，，求出的值.
【答案】（1）解：如图
（2）解： EC平分
矩形ABCD
，
在中由勾股定理得
在中得
.
【解析】【解答】解：（1）解：以点C为圆心，CD长为半径画圆，作BC的垂直平分线，以BC的垂直平分线与BC的交点为圆心，BC长为直径画圆，与圆C相交，连接点B与交点并延长交AD于点E，交点E即为所求.
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求解；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC=∠BCE，于是由等角对等边可得BC=BE，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的值，由线段的构成ED=AD-AE可求得ED的值，在直角三角形CDE中，根据锐角三角函数=可求解.
23．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
（1）求点O，M之间的距离.
（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度.
【答案】（1）解：如图，过点O作、的平行线，交于H，
由题意可知，点O是的中点，
∵，
∴，
∴点H是的中点，
∵，
∴，
∴，
又∵由题意可知：
∴，
∴，
解得，
∴点O、M之间的距离等于；
（2）解：过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，
∵，
∴，
∵由题意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴叶片外端离地面的最大高度等于.
【解析】【分析】（1）过点O作AC，BD的平行线，交CD于点H，可证得OH∥AC∥BD，利用点O是AB的中点可证得HC=HD，利用点H是CD的中点，可求出CH的长，根据MH=MC+CH，可求出MH的长；利用已知可证得∠OHM=∠BDC=α，利用解直角三角形求出MO的长.
（2）过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ于点I，延长MO，使OK=OB，利用垂直的定义和余角的性质，可证得∠BOI=∠JBI，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BIO∽△JIB，利用相似三角形的性质可表示出BI，OI的长；再证明四边形OHDJ是平行四边形，可求出JO的长，根据OJ=OI+IJ，可求出IJ，BI，OI的长；利用勾股定理求出OB的长，可得到OK的长，然后根据MK=MO+OK，代入计算求出MK的长.
24．已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.
（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在点使为直角三角形 若存在，确定点的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将代入的解析式得：，
.
将代入的解析式得：，
解得，
即.
将点和点的坐标代入，得：
，
解得：.
抛物线的解析式为.
，
.
（2）解：①当时，如图所示：
时，
.
又
.
.
，，
.
②当时，则.
∴
，
即 ，
解得：.
，
.
综上所述，点的坐标为或.
【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+3中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点B、A的坐标，将点A、B的坐标分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式，进而将抛物线的解析式配成顶点式可得点D的坐标；
（2）①当∠DNA=90°时，根据坐标与图形的性质可得点N的坐标，从而利用勾股定理算出AD即可；②当∠N'DA=90°时，由同角的余角相等得∠DN'A=∠NDA，由等角的同名三角函数值相等得 ， 据此可求出AN'的长，结合点A的坐标，即可求出点N'的坐标.
25．如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．
（1）求的长；结果保留根号
（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取
【答案】（1）解：作，交的延长线于点，
则，
，，
，，
，，
米，
米，米，
米，
即的长为米；
（2）解：设水池的深为米，则米，
由题意可知：，米，
米，米，
，
，
解得，
即水池的深约为米．
【解析】【分析】（1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由平行线的判定可得AF∥MN∥M N ，由平行线的性质可得∠ABM=∠BAF，∠ACM =∠CAF，在Rt ABF中，由锐角三角函数tan∠BAF=可求得BF的值，同理在Rt ACF中，可求得CF的值；然后由线段的构成BC=CF-BF可求解；
（2）设水池的深为米，则米，在Rt BND和Rt CEN 中，由锐角三角函数可求得DN和N E的值，根据线段的构成DN+DE=BC+N E可得关于x的方程，解方程可求解.
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