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第一章 三角形的证明 全能提优测评卷
一、单选题
1．如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角等于（ ）
A．30° B．70° C．140° D．125°
3．如图，等腰的周长为16，底边，，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则下列说法中错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．平分
C．的周长为10 D．的周长为12
4．如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
5．已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC．根据尺规作图痕迹，判断直线MN与CB的位置关系（ ）
A．相交，夹角30° B．平行
C．相交，夹角60° D．垂直
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．在和中，，，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．不只是，还有可能是其他值
10．如图，已知钝角中，且，（1）以C为圆心，长为半径画弧；（2）以B为圆心，为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接AE交的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．平分
C． D．BD垂直平分AE
二、填空题
11．如图，在中，的垂直平分线、相交于点O，若，则 ．
12．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是 ．
13．如图，直线与轴和轴分别交于两点，第四象限中有一点，连接，，轴．将沿折叠，使点落在点处．若在轴上存在一点，满足，则点坐标为 ．
14．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
15．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 度.
16．如图，为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为 ．
三、解答题
17．如图，已知，点在上，若，，求的度数．
18．已知为直线上的一点，且为直角，平分．
（1）如图1，若，则等于多少度；
（2）如图2，若平分，且，求的度数．
19．如图，和都是等边三角形，并且，求证：
（1）；
（2）求的度数
20．为了让学生们在课余时间得到实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识，学校在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，如图，经过测量得知：，，，，．求的度数；
21．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．
22．如图，在中，平分，交于点，，，求的度数．
23．如图，矩形的对角线、交于点，，，于点，求的长．
24．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
（1）点运动结束，运动时间______；
（2）当点P到边、的距离相等时，求此时t的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在t的值，使得为等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知，且满足．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，已知点，点关于x轴对称，连接交x轴于E，交的延长线于G，求的值；
（3）如图2，若点，连，试确定的值．
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第一章 三角形的证明 全能提优测评卷
一、单选题
1．如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．已知一个等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角等于（ ）
A．30° B．70° C．140° D．125°
【答案】B
【解析】【解答】解：（180-40）÷2
=140÷2
=70
故答案为：B.
【分析】直接根据等腰三角形的两底角相等以及三角形的内角和定理求解即可得到底角的度数.
3．如图，等腰的周长为16，底边，，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则下列说法中错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．平分
C．的周长为10 D．的周长为12
【答案】D
4．如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
【答案】C
【解析】【解答】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则水池修建的位置应该为P点.
故答案为：C.
【分析】由题意可得点P在∠ABC的角平分线上，且在DE的垂直平分线上，据此解答.
5．已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
6．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC．根据尺规作图痕迹，判断直线MN与CB的位置关系（ ）
A．相交，夹角30° B．平行
C．相交，夹角60° D．垂直
【答案】A
【解析】【解答】解：根据尺规作图的痕迹，得：MN是AC的垂直平分线、AM是的平分线，且交点M在CD上，
∴AM=MC，∠MCA=∠MAC=∠DAM．
∵AB//CD，
∴∠MCA=∠CAB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MCA=30°，∠CMN=60°．
∴直线MN与CB相交，且夹角为30°．
故答案为：A．
【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质可得AM=MC，∠MCA=∠MAC=∠DAM，再利用平行线的性质可得∠MCA=∠CAB，结合矩形的性质可得∠MCA=30°，∠CMN=60°，从而可得直线MN与CB相交，且夹角为30°。
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
8．如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6，
所以A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.
9．在和中，，，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．不只是，还有可能是其他值
【答案】D
10．如图，已知钝角中，且，（1）以C为圆心，长为半径画弧；（2）以B为圆心，为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接AE交的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．平分
C． D．BD垂直平分AE
【答案】B
【解析】【解答】解：根据作图可得AB=EB，AC=EC，
又BC=BC
∴△ABC≌△EBC
∴，
∴
∴是等边三角形，A不符合题意；
∴垂直平分
，D不符合题意；
∴，C不符合题意；
又无法判断 ，
∴AC不一定平分
，B符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形面积、线段垂直平分线、等边三角形的判定即可得解。
二、填空题
11．如图，在中，的垂直平分线、相交于点O，若，则 ．
【答案】10°
12．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是 ．
【答案】
13．如图，直线与轴和轴分别交于两点，第四象限中有一点，连接，，轴．将沿折叠，使点落在点处．若在轴上存在一点，满足，则点坐标为 ．
【答案】
14．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
【答案】42
【解析】【解答】如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝4，
∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，
∴
＝42，
故答案为：42．
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等可证得OE＝OD＝OF，利用三角形的面积公式可证得，再利用△ABC的周长及OD的长，可求出△ABC的面积.
15．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 度.
【答案】10
【解析】【解答】设∠A=x.
∵AB=BC=CD=DE=EF=FG，
∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得
∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x，
则180°-5x=130°，
解，得x=10°.
则∠A=10°.
【分析】根据等腰三角形的性质“等腰三角形两底角相等”和三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可列关于∠A的方程求解.
16．如图，为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为 ．
【答案】
三、解答题
17．如图，已知，点在上，若，，求的度数．
【答案】
18．已知为直线上的一点，且为直角，平分．
（1）如图1，若，则等于多少度；
（2）如图2，若平分，且，求的度数．
【答案】（1）
（2）
19．如图，和都是等边三角形，并且，求证：
（1）；
（2）求的度数
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由()得：，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
在四边形中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据等边三角形性质可得，再根据四边形内角和即可求出答案.
（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由()得：，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
在四边形中，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．为了让学生们在课余时间得到实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识，学校在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，如图，经过测量得知：，，，，．求的度数；
【答案】．
21．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．
【答案】解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=45°，AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°，∴∠BAO=60°，又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，∠BOE= =75°．
【解析】【分析】根据矩形的性质和已知AE平分∠BAD，得到∠AEB=45°，AB=BE，再由∠CAE=15°和矩形的对角线相等，得到△BOA是等边三角形，得到OA=OB=AB，求出∠BOE的度数．
22．如图，在中，平分，交于点，，，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，
平分，
，
又∵，
∴ ．
【解析】【分析】利用三角形内角和求出∠DBC=35°，由角平分线的性质求出 ∠ABD=35°，由平行线的性质可得∠BED=110°。
23．如图，矩形的对角线、交于点，，，于点，求的长．
【答案】1
24．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
（1）点运动结束，运动时间______；
（2）当点P到边、的距离相等时，求此时t的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在t的值，使得为等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或3或或
25．如图，在平面直角坐标系中，已知，且满足．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，已知点，点关于x轴对称，连接交x轴于E，交的延长线于G，求的值；
（3）如图2，若点，连，试确定的值．
【答案】（1）解：由，可得，则，可得，
所以点A的坐标为；
（2）解：如图所示，设与y轴交于点H，
∵，点A的坐标为，∴，∴为等腰直角三角形，
在和中，，
∴，∴，
∵点关于x轴对称，∴，
∵，∴，∴，
在和中，
∴，∴，∴.
（3）解：作点F关于y轴的对称点G，过点A作轴于H，连接，
由题意得，，
在和中，，
∴，∴，
∴为等腰直角三角形，∴．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，列出方程分别求得的值，得到A点的坐标；
（2）根据题意，得到为等腰直角三角形，证得，得到，计算即可；
（3）作点F关于y轴的对称点G，过点A作轴于H，连接，证得，根据全等三角形的性质，即可求解．
（1）解：由题意得，，
则，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）设与y轴交于点H，
∵，点A的坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点关于x轴对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）作点F关于y轴的对称点G，过点A作轴于H，连接，
由题意得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
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