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第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 同步测试卷
一、单选题
1．已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．2
2．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的不等式组 的解中有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．34．定义一种法则“”如下：，如：，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（ ）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
6．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校物理兴趣小组的同学购买了一根长度为 的导线，将其全部截成 和 两种长度的线用于实验操作 (每种长度的导线至少一根)， 则截取方案共有（ ）
A．5 种 B．6 种 C．7 种 D．8 种
7．若a＞b，则下列变形中正确的是（ ）
A．a+1＜b+1 B．ac2＞bc2
C．ac＞bc D．﹣a+3＜﹣b+3
8．爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是90米（人员要撤到90米及以外的地方）已知人员撒离速度是6米/秒，导火索燃烧速度是8厘米/秒．假设爆破员从煤破点处开始撤离，为了确保安全，这次爆破的导火索至少为（ ）
A．118厘米 B．120厘米 C．122厘米 D．124厘米
9．定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法：
①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3；
②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2；
③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．不等式组的解集为 ．
12．若关于x的不等式组的解集是，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
13．若使关于x的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解是负数，则符合题意的所有整数之和为 ．
14．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变、不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：
一般地，如果．那么a+c b+d．（用“＞”或“＜”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？
已知 用“＜”或“＞”填空
5+2 3+1
﹣3﹣1 ﹣5﹣2
1﹣2 4+1
15．如果点P 在第二象限，则关于x的不等式 的解集是 ．
16．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41
三、解答题
17．求不等式组的整数解．
18．为进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，购买2个足球和1个篮球共需花费210元．
（1）足球和篮球的单价各是多少元
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，且要求购买足球的总费用不超过购买篮球的总费用，那么学校最少要准备多少资金
19．已知：如图，直线与y轴交点坐标为，直线与x轴交点坐标为，两直线交点为，解答下面问题：
（1）求出直线、的解析式；
（2）求直线、与x轴围成的三角形的面积；
（3）请列出一个二元一次方程组，要求能够根据图象所提供的信息条件直接得到该方程组的解为；
（4）根据图像当x为何值时，、表示的两个一次函数的函数值都大于0？
20．把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，求猴子的只数和花生的颗数.
21．解不等式组，并写出它的所有整数解.
22．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
23．已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D．
（1）直接写出方程组的解；
（2）求△PCD的面积；
（3）请根据图象直接写出当＞时x的取值范围．
24．求满足条件|2a+7|+|2a-1|=8的整数a的个数.
25．阅读下列材料并回答问题：
我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解．
例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或．
例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或．
例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．
回答问题：
（1）解方程：；
（2）解不等式：；
（3）解方程：；
（4）若对任意的都成立，求的取值范围．
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第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 同步测试卷
一、单选题
1．已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
2．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．已知关于x的不等式组 的解中有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．3【答案】C
【解析】【解答】解：依题可得：
4＜m≤5，
故答案为：C.
【分析】根据不等式组的整数解得出m的范围.
4．定义一种法则“”如下：，如：，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】根据题意可得，
∵（2m－5） 3＝3，
∴2m﹣5≤3，
解得：m≤4
故答案为：B．
【分析】根据定义新运算可得关于m的不等式，求出m的范围即可.
5．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（ ）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
【答案】C
【解析】【解答】解：把A（m，3）代入y=2x，得：2m=3，解得：m= ；
根据图象可得：不等式2x＞ax+4的解集是：x＞ ．
故选C．
【分析】首先把（m，3）代入y=2x求得m的值，然后根据函数的图象即可写出不等式的解集．
6．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校物理兴趣小组的同学购买了一根长度为 的导线，将其全部截成 和 两种长度的线用于实验操作 (每种长度的导线至少一根)， 则截取方案共有（ ）
A．5 种 B．6 种 C．7 种 D．8 种
【答案】C
【解析】【解答】解：设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据题意得
∵y是正整数，
∴y的值为1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，即截取方案共有7种.
故选： C.
【分析】设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据“长度为150cm的导线”列出二元一次方程，求正整数解即可.
7．若a＞b，则下列变形中正确的是（ ）
A．a+1＜b+1 B．ac2＞bc2
C．ac＞bc D．﹣a+3＜﹣b+3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵a＞b，
∴a+1＞b+1，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，c＝0时，
∴ac2＝bc2＝0，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，c≤0时，
∴ac≤bc，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+3＜﹣b+3，
∴选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质对每个选项一一判断求解即可。
8．爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是90米（人员要撤到90米及以外的地方）已知人员撒离速度是6米/秒，导火索燃烧速度是8厘米/秒．假设爆破员从煤破点处开始撤离，为了确保安全，这次爆破的导火索至少为（ ）
A．118厘米 B．120厘米 C．122厘米 D．124厘米
【答案】B
【解析】【解答】设这次爆破的导火索为x厘米才能确保安全．根据安全距离是90米（人员要撤到90米及以外的地方），可列不等式：
解得：
故答案为：B．
【分析】可列出一元一次不等式，得到答案。
9．定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法：
①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3；
②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2；
③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
10．关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
二、填空题
11．不等式组的解集为 ．
【答案】
12．若关于x的不等式组的解集是，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：解不等式组得，，又知道不等式组的解集为x＞4，∴a+1≤4，∴a≤3，将方程组中①+②，得，4（y+z）=2+2a，∴∴，∴a≥-1，∴-1≤a≤3，∴满足条件的整数a有：-1、0、1、2、3，∴-1+0+1+2+3=5。
故第1空答案为：5.
【分析】首先根据不等式组的解集及方程组的解所满足的条件，求得a的取值范围，求出满足条件的整数解，再求和即可。
13．若使关于x的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解是负数，则符合题意的所有整数之和为 ．
【答案】
14．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变、不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：
一般地，如果．那么a+c b+d．（用“＞”或“＜”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？
已知 用“＜”或“＞”填空
5+2 3+1
﹣3﹣1 ﹣5﹣2
1﹣2 4+1
【答案】＞；＞；＞；＜
【解析】【解答】解：＞，
证明：∵a＞b，
∴a+c＞b+c，
又∵c＞d，
∴b+c＞b+d，
∴a+c＞b+d．
【分析】根据有理数的运算法则完成表格的填写；
根据不等式的性质进行证明．
15．如果点P 在第二象限，则关于x的不等式 的解集是 ．
【答案】x＜﹣1
【解析】【解答】解：∵点P 在第二象限，
∴3﹣m＜0，
解得：m＞3，
∵ ，
∴ ，
∵m＞3，
∴2﹣m＜0，
∴x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
【分析】根据点的坐标和所在的象限得出3-m<0，求出m>3，解出不等式求出，再根据不等式的性质得出即可。
16．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41
【答案】28
【解析】【解答】解：由题意可得：
移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；
移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；
移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；
移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；
移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；
移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；
…
∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；
移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．
①当3n﹣2≥41时，
解得：n≥
∵n是正整数，
∴n最小值为15，此时移动了29次．
②当3n﹣1≥41时，
解得： n≥14．
∵n是正整数，
∴n最小值为14，此时移动了28次．
纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：28．
【分析】根据题意得到移动1次后该点对应的数到原点的距离为1；移动2次后该点对应的数到原点的距离为2；移动3次后该点对应的数到原点的距离为4；···按次规律动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1；由到原点的距离不小于41，列出不等式，求出不等式的值.
三、解答题
17．求不等式组的整数解．
【答案】不等式组的整数解是3，4．
18．为进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，购买2个足球和1个篮球共需花费210元．
（1）足球和篮球的单价各是多少元
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，且要求购买足球的总费用不超过购买篮球的总费用，那么学校最少要准备多少资金
【答案】（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元.依题意，得，
解得，
.
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元.
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买(200-m)个篮球，依题意得
60m≤90(200-m)，
解得m≤120，
则在满足购买足球的总费用不超过购买篮球的总费用的情况下，购买120个足球，80个篮球时学校需要准备的资金最少，
需要准备的最少资金为120X60+80X90=14400(元).
答：学校最少要准备14400元.
【解析】【分析】（1）根据足球的单价×2+蓝球的单价=210，列等式求解即可；
（2）根据购买足球的总费用不超过购买篮球的总费用，即购买足球的总费用≤购买篮球的总费用，列不等式解得购买篮球的数量解集；再根据学校最少要准备多少资金，可以取得购买足球和篮球的具体数量；最后根据总费用=足球数量×足球的单价+篮球数量×篮球的单价，即可求出总费用.
19．已知：如图，直线与y轴交点坐标为，直线与x轴交点坐标为，两直线交点为，解答下面问题：
（1）求出直线、的解析式；
（2）求直线、与x轴围成的三角形的面积；
（3）请列出一个二元一次方程组，要求能够根据图象所提供的信息条件直接得到该方程组的解为；
（4）根据图像当x为何值时，、表示的两个一次函数的函数值都大于0？
【答案】（1）直线：，直线：
（2）1.25
（3）方程组的解为：
（4）
20．把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，求猴子的只数和花生的颗数.
【答案】解：设猴子有x只，则花生有（3x+8）颗，由题意得：
0＜（3x+8）-5（x-1）＜5，
解得：4＜x＜6.5，
∵x取整数，
∴x=5或6，
①当x=5时，3x+8=3×5+8=23（颗），
②当x=6时，3x+8=3×6+8=26（颗），
答：①若有5只猴子，则花生23颗．
②若有6只猴子，花生26颗
【解析】【分析】设猴子有x只，则花生有（3x+8）颗，根据关键语句“如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，但分得到花生”可得不等式：0＜（3x+8）-5（x-1）＜5，解不等式即可．
21．解不等式组，并写出它的所有整数解.
【答案】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：，
它的所有整数解为：-2，-1，0
【解析】【分析】根据解一元一次不等式组步骤，分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据”同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到“，即可得出不等式组的解集，进而找出解集范围内的整数解即可.
22．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
【答案】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球．
【解析】【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”列出不等式组，再求解即可.
23．已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D．
（1）直接写出方程组的解；
（2）求△PCD的面积；
（3）请根据图象直接写出当＞时x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
24．求满足条件|2a+7|+|2a-1|=8的整数a的个数.
【答案】解：由题意可知，当2a<-7时，即a<时，-2a-7+1-2a=8，解得a=(不符合题意，舍去)；
-7≤2a≤1时，即时，2a+7+1-2a=8成立，因为a为整数，当a=-3，-2，-1，0时满足条件；
当2a>1时，即a>时，2a+7+2a-1=8，解得a=(不符合题意，舍去)；
综上所述，满足条件的整数a有4个.
【解析】【分析】分2a<-7，-7≤2a≤1，2a>1三种情况，对方程进行化简，求出a的值，进而可知满足条件的整数a的个数.
25．阅读下列材料并回答问题：
我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解．
例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或．
例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或．
例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．
回答问题：
（1）解方程：；
（2）解不等式：；
（3）解方程：；
（4）若对任意的都成立，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）或
（3）或
（4）
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