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第一章 直角三角形的边角关系 单元综合达标卷
一、单选题
1．如图，小丽为了测量校园里教学楼的高度．将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度约是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝2 ，则tan∠CAD的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinB是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，过点A和两弧的交点作射线，交BC于点D，则（ ）
A． B． C． D．
5．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为了测量河岸，两地的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么，两地的距离等于（ ）
A． B． C． D．
8．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树垂直于水平平台，通往平台有一斜坡，、在同一水平地面上，、、、、均在同一平面内，已知米，米，米，斜坡的坡度是，李同学在水平地面处测得树冠顶端的仰角为，则樱花树的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．15米 B．13米 C．12米 D．9米
9．如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，将线段绕点B旋转至，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③ ＝
④AD=BD cos45°．其中正确的一组是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
二、填空题
11．计算：cos45°= .
12． 计算： ．
13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米的竹竿影长为2米，则电线杆的高度为 。
14．某飞机的飞行高度为1500m，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与这地面控制点的距离为 m．
15．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
16．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，沿着翻折得到，交于点，则的值为 ．
三、解答题
17．图1是某种路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图．为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于点A，B，灯臂与支架交于点C．已知，，，求灯臂的长．（结果精确到；参考数据：，，）
18．图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中，，，，，现由于故障，不能完全升起，最大为．
（1）求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．
（2）若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？
（参考数据：，，）
19．某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． 支杆与悬杆之间的夹角为．
（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
20．2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角，降落伞底面圆A点处的仰角．已知半径长14米，拉绳长50米，返回舱高度为2米，求返回舱底部离地面的高度约为多少米（精确到1米）（参考数据：，，）
21．如图，一桥梁建设工地上有一架吊车，底座高AB=1.5米，吊臂长BC=18米，它与地面保持成30°角，现要将一个底面圆直径为8米，高为2米的圆柱体的钢筋混凝土框架，安装到离地面高度为6米的桥基上，问这架吊车能否完成这安装任务？请说明理由．（说明：图中钢索CO吊在长方体框架的上底面的中心处）
22．智能手机如果安装了一款测量软件后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准雕像底部按键，再对准雕像顶部按键，即可测量出雕像的高度．测量者AB所用数学原理如图②所示，测量者AB与雕像CD都垂直于地面BE，若手机显示AC＝20m，AD＝32m，∠CAD＝37°，求此时雕像CD的高．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
23．为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆10米的C处，用高1.2米的测角仪CD测得旗杆顶部A的仰角为40°，求旗杆AB的高．（精确到0.1米）
（供选用的数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
24．如图，矩形交反比例函数于点D，已知点，点，．
（1）求k的值；
（2）若过点D的直线分别交x轴，y轴于R，Q两点，，求该直线的解析式；
（3）若四边形有一个内角为，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y轴负半轴上运动，点Q在x轴正半轴上运动，若四边形为“角分四边形”，求点P与点Q的坐标．
25．我们约定：图象关于y轴对称的函数称为“Even函数”．例如：函数y＝x2的图象关于y轴对称，则称函数y＝x2是“Even函数”．
（1）下列函数是“Even函数”的有_______（填序号）；
①y＝﹣x2+2020；
②y＝2x+3；
③y＝；
④y＝2x2﹣5x．
（2）已知二次函数y＝kx2+(k2﹣1)x+4（k为常数）是“Even函数”，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为M，点P是抛物线的对称轴上的一个动点．连接PB，求PM+PB的最小值．
（3）将（2）中“Even函数”图象进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）的图象，其图象与y轴交于点C，与x轴交点A'、B'之间的距离为4，且以A'B'为直径的圆恰好经过点C，求a，b，c的值．
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第一章 直角三角形的边角关系 单元综合达标卷
一、单选题
1．如图，小丽为了测量校园里教学楼的高度．将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝2 ，则tan∠CAD的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC=
= ，
∴tan∠CAD= =2.
故答案为：A.
【分析】根据中线的定义可求出CD的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠CAD的值.
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinB是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC= = =12，
则sinB= = ．
故选C．
【分析】利用勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义求解．
4．如图，在中，，，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，过点A和两弧的交点作射线，交BC于点D，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB垂足为H，
∵，，
∴∠B=60°，
由作图知：AD平分∠BAC，
∵∠C=90°，DH⊥AB，
∴DH=CD，
∴sinB=sin60°=.
故答案为：B.
【分析】过点D作DH⊥AB垂足为H，由角平分线的性质可得DH=CD，由三角形内角和求出∠B=60°，利用sinB=即可求解.
5．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故答案为：B．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据，求出，再求出的长即可。
6．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7．如图，为了测量河岸，两地的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么，两地的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：在中，，
，
故答案为：A.
【分析】由即可求解.
8．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树垂直于水平平台，通往平台有一斜坡，、在同一水平地面上，、、、、均在同一平面内，已知米，米，米，斜坡的坡度是，李同学在水平地面处测得树冠顶端的仰角为，则樱花树的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．15米 B．13米 C．12米 D．9米
【答案】C
9．如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，将线段绕点B旋转至，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③ ＝
④AD=BD cos45°．其中正确的一组是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】B
【解析】【解答】①∵△ABD为直角三角形，
∴BD2=AD2+AB2 ，
∴BD≠AD2+AB2 ，错误；
②根据折叠性质可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS），正确；
③根据②可以得到△ABF≌△EDF，∴ ＝ =1，正确；
④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD cos45°，错误.
综上，正确的有 ②③ .
故答案为：B.
【分析】①由于△ABD为直角三角形，由勾股定理可得BD2=AD2+AB2；②根据矩形的性质结合折叠的性质DE=CD=AB，利用角角边定理可证△ABF≌△EDF；③由于△ABF≌△EDF，对应边之比等于1；④用三角函数的定义可得AD≠BD cos45°.
二、填空题
11．计算：cos45°= .
【答案】
【解析】【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45°= ，
故答案为： .
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
12． 计算： ．
【答案】
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再利用绝对值的性质化简即可.
13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米的竹竿影长为2米，则电线杆的高度为 。
【答案】（14+2 ）米
【解析】【解答】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．
DE=8sin30°=4；
CE=8cos30°=4 ；
∵测得1米杆的影长为2米．
∴EF=2DE=8
∴BF=BC+CE+EF=20+4 +8=28+4
∴电线杆AB的长度是 （28+4 ）=14+2 米．
【分析】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．根据锐角三角函数的定义得出DE，CE的长，根据同一时刻，同一地点物体与影长的比是一个定值，从而得出EF=2DE=8 ，进一步得出电线杆的影长BF及电线杆的长度。
14．某飞机的飞行高度为1500m，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与这地面控制点的距离为 m．
【答案】1000
【解析】【解答】解：设此时飞机与地面控制点的距离为x米．
sin60°= ，
x=1000．
故答案为：1000．
【分析】因为俯角为60°，飞机在1500米的上空，设此时飞机与地面控制点的距离为x米，根据三角函数可求距离．
15．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
【答案】
16．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，沿着翻折得到，交于点，则的值为 ．
【答案】
三、解答题
17．图1是某种路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图．为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于点A，B，灯臂与支架交于点C．已知，，，求灯臂的长．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】支架的长约为．
18．图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中，，，，，现由于故障，不能完全升起，最大为．
（1）求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．
（2）若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？
（参考数据：，，）
【答案】（1）约3.3m
（2）一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m不能在升降杆故障时进入停车场
19．某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． 支杆与悬杆之间的夹角为．
（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）灯泡悬挂点D距离地面的高度为
（2）的长为
20．2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角，降落伞底面圆A点处的仰角．已知半径长14米，拉绳长50米，返回舱高度为2米，求返回舱底部离地面的高度约为多少米（精确到1米）（参考数据：，，）
【答案】1614米
21．如图，一桥梁建设工地上有一架吊车，底座高AB=1.5米，吊臂长BC=18米，它与地面保持成30°角，现要将一个底面圆直径为8米，高为2米的圆柱体的钢筋混凝土框架，安装到离地面高度为6米的桥基上，问这架吊车能否完成这安装任务？请说明理由．（说明：图中钢索CO吊在长方体框架的上底面的中心处）
【答案】解：在Rt△CBE中，CB=18，∠CBE=30°，
∴CE=9，
在Rt△CGO中，OG=4，∠CGO=30°，
∴CO= ，
∴h=9+1.5﹣﹣2=8.5﹣≈6.19＞6．
答：这架吊车能完成这安装任务．
【解析】【分析】在Rt△CBE中利用三角函数求得CE的长，然后在Rt△CGO中求得CO的长，则h的长度即可求得，与6m比较大小即可判断．
22．智能手机如果安装了一款测量软件后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准雕像底部按键，再对准雕像顶部按键，即可测量出雕像的高度．测量者AB所用数学原理如图②所示，测量者AB与雕像CD都垂直于地面BE，若手机显示AC＝20m，AD＝32m，∠CAD＝37°，求此时雕像CD的高．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
【答案】解：过点C作CF⊥AD，垂足为F，如图，
在Rt△ACF中，AC=20m，∠CAD=37°
∴sin∠CAD= ，cos∠CAD= ，
∴CF=12m，AF=16m，
∵AD=32m，
∴DF=AD-AF=32-16=16m
∴点F是AD的中点，
又CF是AD边上的高，且CF为AD边上的中线
∴△ACD是等腰三角形，
∴CD=AC=20m．
∴雕像CD的高为20m．
【解析】【分析】利用锐角三角函数解析式计算求解即可。
23．为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆10米的C处，用高1.2米的测角仪CD测得旗杆顶部A的仰角为40°，求旗杆AB的高．（精确到0.1米）
（供选用的数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】解：由题意得DE=10，∠ADE=40°，AE=DEtan40°=8.4米；
AB=AE+CD=AE+BE≈9.6m．
答：旗杆高度约9.6m
【解析】【分析】由题意得DE=10，∠ADE=40°，AE=DEtan40°，旗杆高度=AE+BE．
24．如图，矩形交反比例函数于点D，已知点，点，．
（1）求k的值；
（2）若过点D的直线分别交x轴，y轴于R，Q两点，，求该直线的解析式；
（3）若四边形有一个内角为，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y轴负半轴上运动，点Q在x轴正半轴上运动，若四边形为“角分四边形”，求点P与点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或 或
25．我们约定：图象关于y轴对称的函数称为“Even函数”．例如：函数y＝x2的图象关于y轴对称，则称函数y＝x2是“Even函数”．
（1）下列函数是“Even函数”的有_______（填序号）；
①y＝﹣x2+2020；
②y＝2x+3；
③y＝；
④y＝2x2﹣5x．
（2）已知二次函数y＝kx2+(k2﹣1)x+4（k为常数）是“Even函数”，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为M，点P是抛物线的对称轴上的一个动点．连接PB，求PM+PB的最小值．
（3）将（2）中“Even函数”图象进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）的图象，其图象与y轴交于点C，与x轴交点A'、B'之间的距离为4，且以A'B'为直径的圆恰好经过点C，求a，b，c的值．
【答案】（1）①③；（2）；（3）或
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