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第二章 二次函数 单元综合模拟汇编卷
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．将二次函数y＝ +6x+2化成y＝ +k的形式应为（ ）
A．y＝ ﹣7 B．y＝ +11
C．y＝ ﹣11 D．y＝ +4
3．已知抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），小明得出下列结论：①；②若和都在抛物线上，则；③；④若方程没有实数根，则.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．抛物线y=x2+mx+1的顶点在坐标轴上，则m的值（ ）
A．0 B．﹣2 C．±2 D．0，±2
5．已知二次函数y＝ax2-（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且-1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点(x1，0)与(x2，0)，其中x1＜x2，方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n(m＜n)，则下列判断正确的是（ ）
A．m＜n＜x1＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．x1＋x2＞m＋n D．b2－4ac≥0
7．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y= x2+4x来刻画，下列结论错误的是（ ）
A．山坡可以用正比例函数 来刻画
B．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米
C．水柱落到斜面时距O点的距离为7米
D．水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势
9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，则＞；④；⑤对于任意实数，都有.其中正确的是（ ）
A．②⑤ B．④⑤ C．①③④ D．②④⑤
10．已知二次函数（），经过点P（，12）．当时，的取值范围为．则如下四个值中有可能为的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．定义新运算：对于任意实数，都有，例如．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
12．已知 ，当 时，函数值随x的增大而减小.
13．如图，抛物线向右平移一个单位得到抛物线，则图中阴影部分的面积 ．
14．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为 .
15．利用函数图象求得方程x2+x﹣12=0的解是x1= ，x2= ．
16．已知二次函数 为常数)，当 时，y的最大值是15，则m的值是 ．
三、解答题
17． 已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)．求这个解析式．
18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线l与y轴交于点D，抛物线交y轴于点E，则△DBE的面积是多少？
19．若二次函数y=ax2+bx-3的图象经过(-1，0)和(3，0)两点，求此二次函数的表达式，并指出其顶点坐标和对称轴。
20．春节前，某厂家准备将一件工艺品投放市场，其成本价为60元/件，在试销过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系．
（1）写出y与x的函数关系式．
（2）春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定一种销售策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？
21．某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．求降价多少元时，可使商场每天的利润最大，并求出最大利润．
22．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．
23．抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
24．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
（2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）直线l：（k、t是常数，）与抛物线有且只有一个公共点．
①求直线l所对应的函数表达式；
②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线m：与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标：若不过定点，请说明理由．
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第二章 二次函数 单元综合模拟汇编卷
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．将二次函数y＝ +6x+2化成y＝ +k的形式应为（ ）
A．y＝ ﹣7 B．y＝ +11
C．y＝ ﹣11 D．y＝ +4
【答案】A
【解析】【解答】∵y＝ +6x+2
= +6x+ +2
= ﹣7，
故答案为：A.
【分析】根据配方法的基本步骤，规范配方，后对照选项作出判断.
3．已知抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），小明得出下列结论：①；②若和都在抛物线上，则；③；④若方程没有实数根，则.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），
∴对称轴为直线，，
又对称轴为，
故①不正确，
②对称轴为直线，，
，
和都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大，
故②正确，
对称轴为直线，，
，
，
，
由抛物线过点，则，
，
，
故③正确，
抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），
设抛物线的解析式为，
若方程没有实数根，
即无实根，
，
即.故④正确，
故答案为：B.
【分析】①由A、B两点的纵坐标为0可知这两点为抛物线与x轴的交点，于是可得对称轴x=，结合m的范围可得对称轴在y轴的右侧，根据抛物线的开口向上可知a＞0，于是根据对称轴在y轴的右侧可得a、b异号，则b＜0；
②根据①的结论可得y1＞y2；
③由m的范围和不等式的性质可得0＜＜，结合对称轴的值可得0＜＜，则a＞-b＞0，由题意把点A的坐标代入解析式整理可得2a+c＞0；
④由A、B两点的坐标可设解析式为y=a(x-m)(x+1)，根据方程a(x-m)(x+1)+4=0没有实数根可得b2-4ac＜0，把a、b、c代入不等式并整理可得b2-4ac＜16a.
4．抛物线y=x2+mx+1的顶点在坐标轴上，则m的值（ ）
A．0 B．﹣2 C．±2 D．0，±2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵y=x2+mx+1=（x+ ）2+1﹣ ，
∴顶点坐标为（﹣ ，1﹣ ），
∵顶点在坐标轴上，
∴﹣ =0或1﹣ =0，解得m=0或m=2或m=﹣2，
故选D．
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，可求得其顶点坐标，再由条件可得到关于m的方程，可求得m的值．
5．已知二次函数y＝ax2-（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且-1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
当时：，
∵，得，
∴点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
当时，有最小值为，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可．
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点(x1，0)与(x2，0)，其中x1＜x2，方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n(m＜n)，则下列判断正确的是（ ）
A．m＜n＜x1＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．x1＋x2＞m＋n D．b2－4ac≥0
【答案】B
【解析】【解答】当a＞0时，如图1，∵方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝a的交点在x轴上方，其横坐标分别为m，n，
∴m＜x1＜x2＜n；
当a＜0时，如图2，∵方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝a的交点在x轴下方，其横坐标分别为m，n，
∴m＜x1＜x2＜n，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，当a＞0时，如图1，方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n，二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝a的交点在x轴上方，其横坐标分别为m，n，从而得出答案；当a＜0时，如图2，方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n；二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝a的交点在x轴下方，其横坐标分别为m，n，根据图像得出答案。
7．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
8．如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y= x2+4x来刻画，下列结论错误的是（ ）
A．山坡可以用正比例函数 来刻画
B．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米
C．水柱落到斜面时距O点的距离为7米
D．水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势
【答案】C
【解析】【解答】解：A.∵山坡AB：OB=1：2，
∴斜坡可以用正比例函数y= x刻画，不符合题意；
B.当y=1.875时，即 x2+4x=1.875，
解得：x1=0.5，x2=7.5，
∴若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米，不符合题意；
C.解方程组 得， ， ，
∴当小球落在斜坡上时，它离O点的水平距离是7m，符合题意；
D.∵y= x2+4x=- （x-4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，则＞；④；⑤对于任意实数，都有.其中正确的是（ ）
A．②⑤ B．④⑤ C．①③④ D．②④⑤
【答案】D
【解析】【解答】①根据图象可知：，
∵对称轴是直线，
即，
，
，故①错误；
②方程，即为二次函数与轴的交点，
根据图象已知一个交点，关于对称，
∴另一个交点，故②正确；
③∵对称轴是直线，
∴点离对称轴更近，
∴，故③错误.
④，
∴，
，
根据图象，令
，
∴
，
，故④正确；
⑤∵对称轴是直线，
∴当时，y值最小，即为，
∴当时，，
即，
∴，故⑤正确；
综上②④⑤正确，
故答案为：D．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质.根据图象可知：，又知对称轴是直线，所以 即，又因为所以，故，即可判断①；方程，即为二次函数与轴的交点，根据图象已知一个交点，关于对称，根据对称性可得：另一个交点；
根据图象可知对称轴是直线又因为，所以点离对称轴更近，故；由①可知：，所以，根据图象，令所以 ，所以又因为，所以；根据图像可得：对称轴是直线，所以当时，y值最小，即为，因此当时，，即.
10．已知二次函数（），经过点P（，12）．当时，的取值范围为．则如下四个值中有可能为的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵当时，即，x的取值范围为或，
∴或是方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
又∵，x的取值范围为或，
∴，
∴，
∵函数经点，
∴，
∴，
∴，
结合选项可得，m可能取值为2，
故答案为：A.
【分析】由，x的取值范围为或，可以得出或是方程的两个根，则，再由，可得，即，将点代入函数解析式可得，结合选项判断可能人取值，即可得解．
二、填空题
11．定义新运算：对于任意实数，都有，例如．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
【答案】或
12．已知 ，当 时，函数值随x的增大而减小.
【答案】＜-1
【解析】【解答】抛物线y=3(x+1)2 2，可知a=3>0，开口向上，
对称轴x= 1，
∴当x< 1时，函数值y随x的增大而减小。
故答案为：< 1.
【分析】抛物线的解析式是顶点式，故可直接判处出开口方向向下，对称轴直线x= 1，时函数值y随x的增大而减小，对应的图像在对称轴的左侧，故x< 1。
13．如图，抛物线向右平移一个单位得到抛物线，则图中阴影部分的面积 ．
【答案】2
14．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为 .
【答案】±6
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
即m2﹣36＝0，
解得m＝±6.
故答案为：±6.
【分析】由抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，可知抛物线与x轴只有唯一一个交点，故b2﹣4ac=0，从而列出方程，求解即可得到答案.
15．利用函数图象求得方程x2+x﹣12=0的解是x1= ，x2= ．
【答案】-4；3
【解析】【解答】解：∵方程x2+x﹣12=0的解就是函数y=x2+x﹣12的图象与x轴的交点的横坐标，
而y=x2+x﹣12的图象如图所示：
∴y=x2+x﹣12的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）、（3，0），
∴方程x2+x﹣12=0的解是x1=﹣4，x2=3．
【分析】由于函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，求解答此题．
16．已知二次函数 为常数)，当 时，y的最大值是15，则m的值是 ．
【答案】6和-19
【解析】【解答】解：二次函数y=-x2+mx+m=-（x- ）2+ +m，
当4＜ 时，即m＞8，
在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m，得m=6.2（舍去）；
当 ＜-2时，即m＜-4，
在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m，得m=-19，
当-2≤ ≤4时，即-4≤m≤8，
在-2≤x≤4时，x= 时取得最大值，则15= +m，得m1=6，m2=-10（舍去），
由上可得，m的值是6和-19，
故答案为：6和-19．
【分析】根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
三、解答题
17． 已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)．求这个解析式．
【答案】解：设解析式为y＝a(x－h)2＋k
∵h=1 k=－4
∴y＝a(x－1)2－4
把（0，－3）代入，得
－3＝a(x－1)2－4
a=1
解析式为：y＝(x－1)2－4．
或＝x2－2x－3．
【解析】【分析】利用待定系数法（顶点式）求解析式即可.
18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线l与y轴交于点D，抛物线交y轴于点E，则△DBE的面积是多少？
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-4x+3；（2）6．
19．若二次函数y=ax2+bx-3的图象经过(-1，0)和(3，0)两点，求此二次函数的表达式，并指出其顶点坐标和对称轴。
【答案】解：∵二次函数y=ax2+bx-3的图象经过(-1，0)和(3，0)两点，
∴
∴a=1，b=-2∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4
顶点坐标为(1，-4)，对称轴为x=1
【解析】【分析】利用待定系数法求二次函数的解析式，把点 (-1，0)和(3，0) 代入解析式，得出关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，得出二次函数的解析式，化成顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴.
20．春节前，某厂家准备将一件工艺品投放市场，其成本价为60元/件，在试销过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系．
（1）写出y与x的函数关系式．
（2）春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定一种销售策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？
【答案】（1）；
（2）当售价定为125时，利润最大，最大利润为9750元．
21．某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．求降价多少元时，可使商场每天的利润最大，并求出最大利润．
【答案】解：设降价元出售，利润为，
，
当时，取得最大值，此时，
即降价元时，可使商场每天的利润最大，最大利润是元．
【解析】【分析】根据“利润=售价乘以出售件数”可以得到利润与降价之间的函数关系式，从而可以解答本题．
22．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．
【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系，此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D，设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），∵抛物线经过点B（50，150），可得 150=a（50﹣100）（50+100）．解得 ，∴ ．即得到抛物线的解析式为 ，顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米．
【解析】【分析】根据图形数值和抛物线与x轴的交点为C、D，抛物线经过点B，求出抛物线的解析式，顶点坐标，求出拱门的最大高度.
23．抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
【答案】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∴抛物线的对称轴方程为直线x= ，
∵当x= 时，y= ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）；
【解析】【分析】根据题意，利用待定系数法，计算得到二次函数的解析式，求出答案即可。
24．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
（2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 和
(2) 点的坐标为
(3) ①顶点为或顶点为；②存在，或或
25．已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）直线l：（k、t是常数，）与抛物线有且只有一个公共点．
①求直线l所对应的函数表达式；
②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线m：与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标：若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②直线过定点
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