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第三章 圆 单元综合全能测评卷
一、单选题
1．已知一个扇形的半径长是 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的顶点均在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
4．在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系为（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
6．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD＝12，AD：AB＝1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．15 -6π C．30 ﹣12π D． π
8．如图， 是 的直径， 是 的弦， ，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
10．⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶ B． ∶ C．3∶2 D．1∶2
二、填空题
11．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝ 厘米.
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，分别以点A、C为圆心，OA长为半径作、交AD于点E、BC于点F．若，，则阴影部分图形的面积为 ．（结果保留）
13．曲线 在直角坐标系中的位置如图所示，曲线 是由半径为2，圆心角为 的 （ 是坐标原点，点 在 轴上）绕点 旋转 ，得到 ；再将 绕点 旋转 ，得到 ；……依次类推，形成曲线 ，现有一点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度，沿曲线 向右运动，则点 的坐标为 ；在第 时，点 的坐标为 ．
14．如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BCD＝130°，则∠BAD＝ ．
15．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，并与圆O的切线分别相交于C、D两点，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于 ．
16．如图，在正方形中，，点P是正方形内一动点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，延长交直线于点M，当点P为的中点时，线段的最小值为 ．
三、解答题
17．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．
18．（1）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数；
（2）下图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，求圆形拱门所在圆的半径．
19． 如图，为的直径，点是弧的中点，点在圆上，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
20．如图，为的直径，C为上一点，，交于E点，，F为上一点，．
（1）求证：是的切线；
（2），求的半径．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．
① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；
② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．
22．如图，等边三角形内接于，为的直径．求和的度数．
23．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．
24．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，设的面积为，的面积为，．求常数的值．
25．（1）如图①，在中，，，则外接圆的半径为______；
（2）如图②，在四边形中，连接，，，，，点是上一动点，连接，求的最小值；
（3）弓形是一个人工湖，其示意图如图③所示，弓形是由弦和劣弧组成，、是两座石桥，交于点，点在上，点在上，，，点是的中点，点到的距离为，．现要对这个人工湖进行扩建，在的上方扩建，点是所在圆的圆心，设计师计划沿线段修建木制小桥，点在上，，动点分别在上，设计师测得．为节约成本，要求修建的木制小桥的总长尽可能的短（即最短），问的值是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的长；若不存在，请说明理由．
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第三章 圆 单元综合全能测评卷
一、单选题
1．已知一个扇形的半径长是 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由扇形的面积公式可得，这个扇形的面积为
故答案为：B.
【分析】根据扇形的面积公式S=进行计算即可.
2．如图，的顶点均在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【答案】A
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8，；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
4．在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
5．已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系为（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
【答案】B
6．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵， ，
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形，
∴，
∵
∴，即是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】连接，先根据菱形的判定与性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质得到，再根据圆周角定理即可求解。
7．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD＝12，AD：AB＝1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．15 -6π C．30 ﹣12π D． π
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OE，OF.
∵BD＝12，AD：AB＝1：2，
∴AD＝4 ，AB＝8 ，∠ABD＝30°，
∴S△ABD＝ ＝24 ，S扇形DOE＝ ＝6π，S△OEB＝ ＝9 ，
∵两个阴影的面积相等，
∴阴影面积＝2×（24 ﹣6π﹣9 ）＝30 ﹣12π.
故答案为：C.
【分析】连接OE，OF.在Rt△ADB中，BD＝12，AD：AB＝1：2，从而解得AD＝4 ，AB＝8 ，∠ABD＝30°，利用三角形面积公式及扇形面积公式分别求出△ABD，△OEB，扇形DOE的面积，利用阴影面积＝2×（△ABD面积-扇形DOE的面积-△OEB面积）即可求出结论.
8．如图， 是 的直径， 是 的弦， ，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，A、B不符合题意，
在Rt△ADB中，BD= AD=3，AB=2AD=2 ，C符合题意，选项D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理可得∠ADB=90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠BAD=90°-∠B=60°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BD= AD=3，AB=2AD，据此逐一判断即可.
9．如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ = = ，
∴∠BOC= ×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2 ，
∴AC=2CD=4 ，
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，
即（4 ）2+（ AB）2=AB2，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．
故选D．
【分析】连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．
10．⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶ B． ∶ C．3∶2 D．1∶2
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，
∵∠COD=90°，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴CD=，
∵∠AOH=60°，
∴AH=OA×sin60°=R，
∴AB=2AH=R，
内接三角形与内接正方形的边长之比为=R：R=；
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，利用等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质分别求出内接正三角形和内接正方形的边长，最后求比值即可.
二、填空题
11．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝ 厘米.
【答案】
【解析】【解答】据垂径定理可以得到在直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半，可以得到OC=6，根据勾股定理可以求的CE=3 ，CD=6 .
【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点.
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，分别以点A、C为圆心，OA长为半径作、交AD于点E、BC于点F．若，，则阴影部分图形的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD∥BC，OA=OC=AC=3，
∴∠ACB=∠EAO=50°，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】由于阴影部分图形是两个全等的扇形，由于扇形的半径和圆心角已知，直接利用扇形面积计算公式即可。
13．曲线 在直角坐标系中的位置如图所示，曲线 是由半径为2，圆心角为 的 （ 是坐标原点，点 在 轴上）绕点 旋转 ，得到 ；再将 绕点 旋转 ，得到 ；……依次类推，形成曲线 ，现有一点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度，沿曲线 向右运动，则点 的坐标为 ；在第 时，点 的坐标为 ．
【答案】（ ，0）；（ ，0）
【解析】【解答】如图，设 的圆心为J，过点J作JK⊥OA于K．
由题意JO=JA=2，∠AJO=120°，
∵JK⊥OA，
∴OK=KA，∠OJK=∠AJK=60°，
∴KO=KA=OJ sin60°= ，
∴OA=2 ，
∴A（2 ，0），
∵ 的长= ，点P的运动路径=2020π，
又∵2020π÷ π=1515，
∴点P在x轴上，OP的长=1515×2 =3030 ，
∴此时P（3030 ，0）．
故答案为（2 ，0），（3030 ，0）．
【分析】如图，设 的圆心为J，过点J作JK⊥OA于K．解直角三角形求出OA的长，即可得出点A的我这边，再求出点P的运动路径，判断出点P的位置，求出OP即可得出即可。
14．如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BCD＝130°，则∠BAD＝ ．
【答案】100°
【解析】【解答】解：如图，作圆周角∠BED，
∵四边形ACDE是圆内接四边形，
∴∠BCD+∠BED=180°，
∵∠BCD＝130°，
∴∠BED＝50°，
∴∠BAD=2∠BED＝100°，
故答案为：100°.
【分析】作圆周角∠BED，根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BED=180°，从而得出∠BED＝50°，即可得出∠BAD=2∠BED=100°.
15．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，并与圆O的切线分别相交于C、D两点，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于 ．
【答案】14
【解析】【解答】如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB=7cm；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm；
故△PCD的周长是14cm．
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
16．如图，在正方形中，，点P是正方形内一动点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，延长交直线于点M，当点P为的中点时，线段的最小值为 ．
【答案】
三、解答题
17．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．
【答案】米
18．（1）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数；
（2）下图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，求圆形拱门所在圆的半径．
【答案】（1）；（2）．
19． 如图，为的直径，点是弧的中点，点在圆上，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明： 连接，，如图：
点是弧的中点，
，
，
又，
，
，
，，
，，
又，
，即，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：过作于，如图：
，
，
，
设，，半径为，
则，
在中，，
，
解得，
，
，
，即，
，
．
【解析】【分析】（1）连接OD，OC，利用弧的中点的性质可证得∠COF=90°=∠OCF+∠OFC，利用等腰三角形的性质得，，再结合对顶角定理可证得，即可得到结论.
（2）过作于，根据圆周角定理可得，解直角三角形得，设，，半径为，在中利用勾股定理得到，从而可得OH，再次解直角三角形，得到，代替数值即可求得OD的长，于是可得直径.
20．如图，为的直径，C为上一点，，交于E点，，F为上一点，．
（1）求证：是的切线；
（2），求的半径．
【答案】（1）解：解：连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：延长交与点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，，
∴，
∴，即圆的半径为．
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理，推出，结合平行的判断可得，进而得到，即可得证；
（2）延长交与点，得到，根据垂径定理得，勾股定理求出，设的半径为，在中，利用勾股定理得，计算求解即可．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．
① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；
② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．
【答案】（1）；点
（2）①；②的值为或
22．如图，等边三角形内接于，为的直径．求和的度数．
【答案】
23．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE= BC= ，
∵CE CB=CD CA，AC=AB=4，
∴ 2 =4CD，
∴CD= ．
【解析】【分析】（1）由ED=EC等边对等角可得∠EDC=∠C，再根据∠EDC=∠B等量代换可得∠B=∠C，等角对等边得出AB=AC。
（2）连接AE，根据直径所对的圆周角是90°，易知AE⊥BC，再由（1）知AB=AC，求得BE，再根据三角形相似可得CD。
24．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，设的面积为，的面积为，．求常数的值．
【答案】（1）证明：过点作，垂足为，如图，
以点为圆心，长为半径的与相切于点，
，
平分，，
是的半径，又，是的切线；
（2）解：由（1）知，
根据勾股定理，得，
，均为的切线，切点分别为和，
设的半径为，则，，，
在中，根据勾股定理，得，即，
解得，即．
．
【解析】【分析】（1）过点O作，根据角平分线的性质定理可得OE=OB，再根据切线的判定定理求证即可；
（2）用勾股定理求出BC的长度，设的半径为，用r的代数式表示线段OE、OC的长度，在中，用勾股定理建立方程求解即可．
25．（1）如图①，在中，，，则外接圆的半径为______；
（2）如图②，在四边形中，连接，，，，，点是上一动点，连接，求的最小值；
（3）弓形是一个人工湖，其示意图如图③所示，弓形是由弦和劣弧组成，、是两座石桥，交于点，点在上，点在上，，，点是的中点，点到的距离为，．现要对这个人工湖进行扩建，在的上方扩建，点是所在圆的圆心，设计师计划沿线段修建木制小桥，点在上，，动点分别在上，设计师测得．为节约成本，要求修建的木制小桥的总长尽可能的短（即最短），问的值是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在最小值，最小值为，此时的长为
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