第一章 空间向量与立体几何 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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第一章 空间向量与立体几何 章末拓展试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A． B． C．4 D．2
3．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
7．如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A． B． C． D．
8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图所示，正方体中，分别在上，且，则正确的选项为（ ）
A．至多与之一垂直 B．
C．与相交 D．与平行
10．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为
三、填空题
11．在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ．
12．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 .
13．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔分别为1，3，正广 为 ， 平面，则邪田的邪长为 ；邪所在直线与平面 所成角的大小为 .
14．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
四、解答题
15．如图，正三棱柱中，底面边长为.
(1)设侧棱长为，求证：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长．
16．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
17．已知空间三点，设．
(1)若，，求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)若与互相垂直，求k．
18．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．
(1)若，求的斜坐标；
(2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
参考答案
1．A
根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.
对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；
对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；
对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；
对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.
于是四个选项都是错的.
故选：A
2．C
根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
3．D
在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
4．C
利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
因点Q在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
5．B
建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.
分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.
6．A
证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
7．C
利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得.
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
∴，令，可得，
又，
设直线与平面所成的角为，则
，又，
∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大.
故选：C.
8．D
分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
9．BD
建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴 轴 轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为3，则；
，
，
，B正确，A错误；
由，故D正确，C错误．
故选：BD.
10．BCD
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.
如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
则，，，，，，
A选项：，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，
直线与底面所成的角不为，故A错误；
B选项：，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，
平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；
C选项，，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D选项，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直线与平面的距离为：，故D正确；
故选：BCD.
11．
由已知求出，再由平面的一个法向量为，可得，求出，从而可求出直线的一个方向向量.
，
又平面的一个法向量为，，解得，
∴直线的一个方向向量为．
故答案为：
12．
根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
解：因为三棱柱的侧棱与底面垂直，，
所以两两垂直，
所以以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
所以，，，，
所以，
由题知平面，故是平面的法向量，
所以，
设直线与平面所成的角为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当直线与平面所成的角最大时，.
故答案为：
13．
过点作，垂足为，在Rt中，可求BC长，即为邪长，又由题意可证平面，得到 即为所求，在Rt中，求得正切值，可得角.
过点作，垂足为，延长，使得（如图）
由题意可得，则
由题意知，所以，所以.因为 平面，所以，又，所以 平面 ，则 是直线 与平面 所成角的平面角， ，所以
故答案为
14．
点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；
（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.
（1）由已知得，，
平面，
，，
又是正三角形，
,
；
；
（2）由（1）得，
又，
，
，
解得，
即侧棱长为.
16．(1)
(2)
（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
17．(1)或
(2)
(3)或
（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．
（1）因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
（2）因为
所以与的夹角的余弦值为；
（3）因为与互相垂直，
所以
或.
18．(1)；
(2)；
(3).
（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可；
（2）利用空间向量计算点面距离即可；
（3）利用空间向量计算面面夹角即可.
（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，
即，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为；
（2）由上易知，
设面的一个法向量为，则有，
取，即，
所以点到平面的距离为；
（3）由上可知，
设面的一个法向量为，则有，
取，即，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值.
19．(1)
(2)①；②3
（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；
②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值.
（1），
的斜坐标为．
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
②由题，
由，知，
由，知：
，
，解得，
则．
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第一章 空间向量与立体几何 章末拓展试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A． B． C．4 D．2
3．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
7．如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A． B． C． D．
8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图所示，正方体中，分别在上，且，则正确的选项为（ ）
A．至多与之一垂直 B．
C．与相交 D．与平行
10．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为
三、填空题
11．在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ．
12．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 .
13．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔分别为1，3，正广 为 ， 平面，则邪田的邪长为 ；邪所在直线与平面 所成角的大小为 .
14．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
四、解答题
15．如图，正三棱柱中，底面边长为.
(1)设侧棱长为，求证：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长．
16．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
17．已知空间三点，设．
(1)若，，求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)若与互相垂直，求k．
18．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．
(1)若，求的斜坐标；
(2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
参考答案
1．A
根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.
对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；
对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；
对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；
对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.
于是四个选项都是错的.
故选：A
2．C
根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
3．D
在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
4．C
利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
因点Q在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
5．B
建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.
分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.
6．A
证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
7．C
利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得.
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
∴，令，可得，
又，
设直线与平面所成的角为，则
，又，
∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大.
故选：C.
8．D
分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
9．BD
建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴 轴 轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为3，则；
，
，
，B正确，A错误；
由，故D正确，C错误．
故选：BD.
10．BCD
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.
如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
则，，，，，，
A选项：，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，
直线与底面所成的角不为，故A错误；
B选项：，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，
平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；
C选项，，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D选项，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直线与平面的距离为：，故D正确；
故选：BCD.
11．
由已知求出，再由平面的一个法向量为，可得，求出，从而可求出直线的一个方向向量.
，
又平面的一个法向量为，，解得，
∴直线的一个方向向量为．
故答案为：
12．
根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
解：因为三棱柱的侧棱与底面垂直，，
所以两两垂直，
所以以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
所以，，，，
所以，
由题知平面，故是平面的法向量，
所以，
设直线与平面所成的角为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当直线与平面所成的角最大时，.
故答案为：
13．
过点作，垂足为，在Rt中，可求BC长，即为邪长，又由题意可证平面，得到 即为所求，在Rt中，求得正切值，可得角.
过点作，垂足为，延长，使得（如图）
由题意可得，则
由题意知，所以，所以.因为 平面，所以，又，所以 平面 ，则 是直线 与平面 所成角的平面角， ，所以
故答案为
14．
点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；
（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.
（1）由已知得，，
平面，
，，
又是正三角形，
,
；
；
（2）由（1）得，
又，
，
，
解得，
即侧棱长为.
16．(1)
(2)
（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
17．(1)或
(2)
(3)或
（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．
（1）因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
（2）因为
所以与的夹角的余弦值为；
（3）因为与互相垂直，
所以
或.
18．(1)；
(2)；
(3).
（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可；
（2）利用空间向量计算点面距离即可；
（3）利用空间向量计算面面夹角即可.
（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，
即，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为；
（2）由上易知，
设面的一个法向量为，则有，
取，即，
所以点到平面的距离为；
（3）由上可知，
设面的一个法向量为，则有，
取，即，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值.
19．(1)
(2)①；②3
（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；
②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值.
（1），
的斜坐标为．
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
②由题，
由，知，
由，知：
，
，解得，
则．
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