第一章 空间向量与立体几何 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

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第一章 空间向量与立体几何 章末闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
5．设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
7．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
9．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
10．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
11．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．在三棱锥中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的正切值为 ．
13．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .

14．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ．
15．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是 ．
①直线平面
②三棱锥的体积为定值
③异面直线AP与所成角的取值范围是
④直线与平面所成角的正弦值的最大值为
四、解答题
16．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
17．如图所示，在三棱柱中，，是的中点.
(1)用表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.
18．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
19．如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.

(1)求证：∥平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由
参考答案
1．A
利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
2．C
将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
3．A
根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.
，，
，
，，，.
故选：A.
4．C
利用空间向量四点共面性质求解即可.
由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，
设，
则，解得．
故选：C.
5．D
利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
6．B
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
7．D
利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.
如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以点到直线的距离是.
故选：D.
8．BD
AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
9．ABD
在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；
在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；
在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.
在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
10．BCD
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B.
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
对于A，，故，
故，即直线和所成的角为，故A错误；
对于B，易得四面体为正四面体，
则，故B正确；
对于C，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故点到平面的距离，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确．
故选：BCD
11．A
建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角；
以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，所以，，
所以，
故选：A.
12．
建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角的余弦值，根据同角关系即可求解正切值.
由于BA，BC，BD两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设平面的法向量为，则,
所以 ，取，则，
又平面轴，所以平面的法向量为，
设二面角的平面角为，则，由图可知为锐角，
所以 因此，
故答案为：
13．/
设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解.
设，，，
则构成空间的一个基底，
设，
因为，
所以，
因为，，
所以，即，
即，解得.
故答案为：.
14．/-0.125
根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.
连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
15．①②④
对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
对于①，连接，
，，，平面，平面，
平面，平面，
，同理，，
，平面，平面，
直线平面，故①正确；
对于②，∥，平面，平面，∥平面，
点在线段上运动，点到平面的距离为定值，
又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确；
对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为，
异面直线与所成角的取值范围是，故③错误；
对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，
则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确.
故答案为：①②④
16．(1)证明见解析；
(2)．
（1）根据题意易证平面，从而证得；
（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
17．(1)；
(2)存在，时，.
（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得；
（2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可.
（1）
（2）假设存在点，使，设，
显然.
因为，所以，
即
.
设，又，
即，
解得，
所以当时，.
18．(1)证明见解析；
(2)1
（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
19．(1)详见解析；
(2)；
(3)存在点，此时.
（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直,即可证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解；
（3）假设存在，列出方程求解即可.
（1）证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则
，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
因为，
所以，所以，
又因为平面，
所以∥平面；
（2）解：由（1）知，，
所以点到平面的距离为；
（3）解：假设边上存在点满足条件，，
则，
设直线与平面所成角为，
由题意可得，
化简得，则或（舍去），
即存在点符合题意，此时.
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