2.2.1 直线的点斜式方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.1 直线的点斜式方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 634.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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2.2.1 直线的点斜式方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线，直线l2是直线l1绕点逆时针旋转45°得到的直线．则直线l2的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．与向量平行，且经过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．设，，，，若，那么直线和直线的关系是.（ ）
A．直线直线 B．直线直线
C．直线与直线重合 D．直线直线或直线直线
7．，和围成的三角形内部和边上的整点有（ ）个.
A．35 B．36 C．37 D．38
二、多选题
8．一次函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，函数图像经过一、二、三象限
B．当时，函数图像经过一、三、四象限
C．时，函数图像必经过一、三象限
D．时，函数在实数上恒为增函数
9．若直线，则（ ）
A． B．
C． D．
10．同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．已知直线l与直线互相垂直，直线l与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为 .
12．若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为 ．
13．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为
14．有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm．已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 min．
15．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点、，又，则的欧拉线方程为 .
四、解答题
16．直线的方程为.
(1)证明：直线恒经过第一象限；
(2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围．
17．直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且.
(1)求直线，的方程
(2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围
18．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．
(1)试判断四边形的形状，并给出证明；
(2)求平分线所在直线的方程．
19．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，.
(1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形；
(2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程.
参考答案
1．A
设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
设边上的高所在的直线为，
由已知可得，，所以直线l的斜率.
又过，所以的方程为，
整理可得，.
故选：A.
2．D
根据给定条件，求出直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
依题意，所求直线的斜率为，所以直线方程为.
故选：D
3．C
由直线的点斜式方程即可表示出直线的方程，得到其在轴的截距，列出不等式，即可得到结果.
设直线l的斜率为，则方程为，
令，解得，
故直线l在x轴上的截距为，
∵在x轴上的截距的取值范围是，
∴，解得或.
故选：C.
4．D
根据题意，求得的斜率，利用点斜式写出直线方程即可.
设直线的倾斜角分别为，则，，
故，又点在直线上，
故直线的方程为，整理得：.
故选：D.
5．A
利用点斜式求得直线方程.
依题意可知，所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，即.
故选：A
6．B
由直线的点斜式方程求出直线与直线的方程，即可得出答案.
当时，，，，，
所以，
又因为，两点的直线方程为即，
又因为，两点的直线方程为即，
所以直线直线.
故选：B.
7．C
做出直线的图像，依据图像进行求解.
显然直线，上无整点，
当，，有1个点；
当，，有1个点；
当，，有2个点；
当，，有3个点；
当，，有3个点；
当，，有4个点；
当，，有5个点；
当，，有5个点；
当，，有6个点；
当，，有7个点；
得到37个整点.
故选：C.
8．ABCD
根据一次函数的斜率以及的正负，对选项逐个判断即可；
在一次函数中，若，则图像经过一、二、三象限；
若，则图像经过一、三、四象限；
若，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数上恒为增函数；
故选:ABCD.
9．BD
找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直.
设的斜率分别为，
结合题意易得：，
因为，所以
因为且，所以.
故选：BD.
10．BC
结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，从而得以判断.
因为，，
对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故A错误；
对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确；
对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确．
对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故D错误.
故选：BC.
11．
由两条直线垂直，斜率之积为-1，可得直线l的斜率.再由直线在y轴上的截距为6，可得直线l截距为6，由斜截式可得结果.
因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率.
又因为直线在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为.
故答案为：
12．
根据直线的斜率和在轴上的截距建立不等式组求解即可.
由直线不过第二象限需满足，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
13．
根据图象将函数写成分段函数，根据的坐标，求出两段解析式.
当时,直线段过点,
,∴此时方程为.
当时,直线段过点,,
∴此时方程为.即.
故答案为：
14．35
假设直线方程为，利用待定系数法求得直线方程，代入即可求得结果.
根据题意，不妨设直线方程为，则，解得，
所以直线方程为，当时，即，得，
所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min.
故答案为：35.
15．
由等腰三角形的外心、重心、垂心均在底边的中垂线上，求出线段的中垂线方程即得所求的欧拉线方程.
因为，则为等腰三角形，
因为等腰三角形的外心、重心、垂心均在底边的中垂线上，
故的欧拉线即为线段的中垂线.
由、可得中点为，的斜率为，
故线段的中垂线的方程为，即.
故答案为：.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）可利用直线经过的定点进行说明；
（2）结合（1）的结论，只要直线的轴上的截距大于即可.
（1），即直线一定过定点，该点在第一象限，于是直线一定经过第一象限.
（2）由于直线经过第一象限的定点，只要该直线在轴上的截距大于即可，而经过轴上的点，则，解得
17．(1)，
(2)
（1）利用两点式求得直线的方程，利用点斜式求得直线的方程.
（2）结合两点连线的斜率的取值范围以及图象求得正确答案.
（1）过点，方程为，整理得，
所以，由于，所以，
所以直线的方程为.
（2）由令，解得，所以，
表示与连线的斜率，，
所以的取值范围是.
18．(1)直角梯形；证明见解析；
(2)．
（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形；
（2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程．
（1）由已知可判断四边形是直角梯形，
证明如下：因为，，，．
由斜率公式得，，，，
所以，，即且不平行，
所以四边形是梯形，
又因为，所以，
综上，四边形是直角梯形；
（2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k，
则有，即，
整理得，，解得或，
又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间，
所以，
则的平分线所在的直线方程为，
即．
19．(1)； 证明见解析；
(2)；
（1）利用平行四边形对边为相等向量求出点的坐标，再有斜率之积证明垂直；
（2）先根据两点求出方程，再求出的角平分线所在直线的斜率，最后由点斜式写出直线方程.
（1）如图所示，
因为四边形是平行四边形，所以，
设，则，解得，所以，
又因为，所以，所以，
所以四边形是矩形；
（2），所以直线，
即 ；
设的角平分线与轴交于点，求得，
所以，又为角平分线，所以，
所以倾斜角，
所以斜率，
所以直线，即.
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2.2.1 直线的点斜式方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线，直线l2是直线l1绕点逆时针旋转45°得到的直线．则直线l2的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．与向量平行，且经过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．设，，，，若，那么直线和直线的关系是.（ ）
A．直线直线 B．直线直线
C．直线与直线重合 D．直线直线或直线直线
7．，和围成的三角形内部和边上的整点有（ ）个.
A．35 B．36 C．37 D．38
二、多选题
8．一次函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，函数图像经过一、二、三象限
B．当时，函数图像经过一、三、四象限
C．时，函数图像必经过一、三象限
D．时，函数在实数上恒为增函数
9．若直线，则（ ）
A． B．
C． D．
10．同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．已知直线l与直线互相垂直，直线l与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为 .
12．若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为 ．
13．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为
14．有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm．已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 min．
15．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点、，又，则的欧拉线方程为 .
四、解答题
16．直线的方程为.
(1)证明：直线恒经过第一象限；
(2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围．
17．直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且.
(1)求直线，的方程
(2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围
18．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．
(1)试判断四边形的形状，并给出证明；
(2)求平分线所在直线的方程．
19．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，.
(1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形；
(2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程.
参考答案
1．A
设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
设边上的高所在的直线为，
由已知可得，，所以直线l的斜率.
又过，所以的方程为，
整理可得，.
故选：A.
2．D
根据给定条件，求出直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
依题意，所求直线的斜率为，所以直线方程为.
故选：D
3．C
由直线的点斜式方程即可表示出直线的方程，得到其在轴的截距，列出不等式，即可得到结果.
设直线l的斜率为，则方程为，
令，解得，
故直线l在x轴上的截距为，
∵在x轴上的截距的取值范围是，
∴，解得或.
故选：C.
4．D
根据题意，求得的斜率，利用点斜式写出直线方程即可.
设直线的倾斜角分别为，则，，
故，又点在直线上，
故直线的方程为，整理得：.
故选：D.
5．A
利用点斜式求得直线方程.
依题意可知，所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，即.
故选：A
6．B
由直线的点斜式方程求出直线与直线的方程，即可得出答案.
当时，，，，，
所以，
又因为，两点的直线方程为即，
又因为，两点的直线方程为即，
所以直线直线.
故选：B.
7．C
做出直线的图像，依据图像进行求解.
显然直线，上无整点，
当，，有1个点；
当，，有1个点；
当，，有2个点；
当，，有3个点；
当，，有3个点；
当，，有4个点；
当，，有5个点；
当，，有5个点；
当，，有6个点；
当，，有7个点；
得到37个整点.
故选：C.
8．ABCD
根据一次函数的斜率以及的正负，对选项逐个判断即可；
在一次函数中，若，则图像经过一、二、三象限；
若，则图像经过一、三、四象限；
若，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数上恒为增函数；
故选:ABCD.
9．BD
找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直.
设的斜率分别为，
结合题意易得：，
因为，所以
因为且，所以.
故选：BD.
10．BC
结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，从而得以判断.
因为，，
对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故A错误；
对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确；
对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确．
对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；
而的斜率，矛盾，故D错误.
故选：BC.
11．
由两条直线垂直，斜率之积为-1，可得直线l的斜率.再由直线在y轴上的截距为6，可得直线l截距为6，由斜截式可得结果.
因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率.
又因为直线在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为.
故答案为：
12．
根据直线的斜率和在轴上的截距建立不等式组求解即可.
由直线不过第二象限需满足，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
13．
根据图象将函数写成分段函数，根据的坐标，求出两段解析式.
当时,直线段过点,
,∴此时方程为.
当时,直线段过点,,
∴此时方程为.即.
故答案为：
14．35
假设直线方程为，利用待定系数法求得直线方程，代入即可求得结果.
根据题意，不妨设直线方程为，则，解得，
所以直线方程为，当时，即，得，
所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min.
故答案为：35.
15．
由等腰三角形的外心、重心、垂心均在底边的中垂线上，求出线段的中垂线方程即得所求的欧拉线方程.
因为，则为等腰三角形，
因为等腰三角形的外心、重心、垂心均在底边的中垂线上，
故的欧拉线即为线段的中垂线.
由、可得中点为，的斜率为，
故线段的中垂线的方程为，即.
故答案为：.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）可利用直线经过的定点进行说明；
（2）结合（1）的结论，只要直线的轴上的截距大于即可.
（1），即直线一定过定点，该点在第一象限，于是直线一定经过第一象限.
（2）由于直线经过第一象限的定点，只要该直线在轴上的截距大于即可，而经过轴上的点，则，解得
17．(1)，
(2)
（1）利用两点式求得直线的方程，利用点斜式求得直线的方程.
（2）结合两点连线的斜率的取值范围以及图象求得正确答案.
（1）过点，方程为，整理得，
所以，由于，所以，
所以直线的方程为.
（2）由令，解得，所以，
表示与连线的斜率，，
所以的取值范围是.
18．(1)直角梯形；证明见解析；
(2)．
（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形；
（2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程．
（1）由已知可判断四边形是直角梯形，
证明如下：因为，，，．
由斜率公式得，，，，
所以，，即且不平行，
所以四边形是梯形，
又因为，所以，
综上，四边形是直角梯形；
（2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k，
则有，即，
整理得，，解得或，
又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间，
所以，
则的平分线所在的直线方程为，
即．
19．(1)； 证明见解析；
(2)；
（1）利用平行四边形对边为相等向量求出点的坐标，再有斜率之积证明垂直；
（2）先根据两点求出方程，再求出的角平分线所在直线的斜率，最后由点斜式写出直线方程.
（1）如图所示，
因为四边形是平行四边形，所以，
设，则，解得，所以，
又因为，所以，所以，
所以四边形是矩形；
（2），所以直线，
即 ；
设的角平分线与轴交于点，求得，
所以，又为角平分线，所以，
所以倾斜角，
所以斜率，
所以直线，即.
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