2.2.2 直线的两点式方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.2 直线的两点式方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 616.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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2.2.2 直线的两点式方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A． B．
C． D．
2．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
3．过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或或
4．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
6．下列说法错误的是（ ）
A．过定点的直线都可用方程表示
B．过定点的直线都可用方程表示
C．过任意两个点，的直线都可用方程
表示
D．不过原点的直线都可用方程表示
7．已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线的倾斜角为锐角
C．边的中点坐标为
D．边上的中线所在的直线方程为
8．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程
B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b
D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为
10．直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，，O为坐标原点，那么的最小值为 ．
12．已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 .
13．已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为
四、解答题
14．已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
15．已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
16．已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程．
17．过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程.
18．已知直线过点．
(1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程．
19．已知的三个顶点分别为，，.
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.
参考答案
1．D
求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.
点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即.
故选：D
2．B
利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可.
设直线：，，
因为直线过点，所以，即，
所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，
则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.
故选：B.
3．D
直线过原点求出直线方程，直线不过原点设出直线方程，利用待定系数法求解.
当此直线过原点时，直线方程为，化为；
当此直线不过原点时，设直线的方程为，或，
把点分别代入可得，或，解得，．
直线的方程为或．
综上可知：直线的方程为或，．
故选：D．
4．B
由题意设直线的方程为，然后求出直线与坐标轴的交点坐标，再由直线与两坐标轴相交所得三角形面积为1，列方程可求出的值，从而可得直线的条数
由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，
令，解得；令，解得.
，
化为，即①，②，
由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.
因此直线共有2条.
5．D
根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果.
因为直线经过点，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为，
此时，则.
故选：D
6．ABD
因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；
C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确；
故选：ABD.
7．CD
利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项．
对于A，直线AC的斜率为，故A错误；
对于B，直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为钝角，故B错误；
对于C，设BC边的中点为，则，即点，故C正确；
对于D，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得，故D正确．
故选： CD．
8．AB
因为直线经过第一、二、三象限，可得，，
由直线的斜率小于1，可得，结合，可得，
由绝对值的性质，可得，所以A正确；
由幂函数的单调性，，所以B正确；
由，所以，所以C错误；
由，所以，所以D错误.
故选：AB.
9．AD
由直线方程的意义判断A．由直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D．
＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确；
在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误；
直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误；
过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线
当时，直线方程为，变形为，
当时，直线方程为，也适合方程，
所以D正确．
故选：AD．
10．AC
由题意可得该三角形的面积为，得，结合选项即可求解.
因为，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，
则，得，
结合选项可知，满足题意.
故选：AC.
11．
先表示出直线的截距式，利用直线l过点，得到，借助基本不等式,即可求得最小值.
直线l与x轴、y轴分别交于，,
可设直线的截距式：，
直线l过点，，且，
，
当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：.
12．
求得点关于轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程．
由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得.
故答案为：．
13．20
设出直线在两坐标轴上的截距,再设,把三角形的三边用表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值.
设三角形三个顶点坐标分别为，其中，
设，
则，，
的周长
，
令，则，
当且仅当，即时，周长取最小值20.
故答案为：20
14．(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：直线的方程为：
提参整理可得：．
令，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令 则，
令．则，
直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
16．x＋2y－4＝0
方法一：设直线的方程为，则，然后表示出的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线的方程，方法二：设直线：，则，然后利用基本不等式可得，从而可求出其最小值，进而可求出直线的方程.
方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
故直线的方程为，
即.
方法二：设直线：，
因为直线l过点，
所以，
则，所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
此时，故直线的方程为，
即.
17．（1）；（2）
由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
18．(1)或
(2)
（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；
（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.
（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，
当直线不过原点时，设直线为，
将代入可得，
所以直线的方程为；
当直线过原点时，直线的斜率为，
所以直线的方程为即．
综上，直线的方程为或；
（2）设直线的方程为，
所以，，
所以，
当且仅当时，，（舍），
所以直线的方程为即．
19．(1)，
(2)25
（1）由截距式直线方程与两点式直线方程即可写出直线方程；
（2）先将直线方程求出，再写出截距式直线方程即可求三角形面积.
（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即.
由两点式，得边所在直线的方程为，即.
（2）由题意，得点的坐标为，
由两点式，得边所在直线的方程为，
即，所以.
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积.
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2.2.2 直线的两点式方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A． B．
C． D．
2．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
3．过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或或
4．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
6．下列说法错误的是（ ）
A．过定点的直线都可用方程表示
B．过定点的直线都可用方程表示
C．过任意两个点，的直线都可用方程
表示
D．不过原点的直线都可用方程表示
7．已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线的倾斜角为锐角
C．边的中点坐标为
D．边上的中线所在的直线方程为
8．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程
B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b
D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为
10．直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，，O为坐标原点，那么的最小值为 ．
12．已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 .
13．已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为
四、解答题
14．已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
15．已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
16．已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程．
17．过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程.
18．已知直线过点．
(1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程．
19．已知的三个顶点分别为，，.
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.
参考答案
1．D
求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.
点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即.
故选：D
2．B
利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可.
设直线：，，
因为直线过点，所以，即，
所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，
则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.
故选：B.
3．D
直线过原点求出直线方程，直线不过原点设出直线方程，利用待定系数法求解.
当此直线过原点时，直线方程为，化为；
当此直线不过原点时，设直线的方程为，或，
把点分别代入可得，或，解得，．
直线的方程为或．
综上可知：直线的方程为或，．
故选：D．
4．B
由题意设直线的方程为，然后求出直线与坐标轴的交点坐标，再由直线与两坐标轴相交所得三角形面积为1，列方程可求出的值，从而可得直线的条数
由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，
令，解得；令，解得.
，
化为，即①，②，
由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.
因此直线共有2条.
5．D
根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果.
因为直线经过点，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为，
此时，则.
故选：D
6．ABD
因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；
C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确；
故选：ABD.
7．CD
利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项．
对于A，直线AC的斜率为，故A错误；
对于B，直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为钝角，故B错误；
对于C，设BC边的中点为，则，即点，故C正确；
对于D，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得，故D正确．
故选： CD．
8．AB
因为直线经过第一、二、三象限，可得，，
由直线的斜率小于1，可得，结合，可得，
由绝对值的性质，可得，所以A正确；
由幂函数的单调性，，所以B正确；
由，所以，所以C错误；
由，所以，所以D错误.
故选：AB.
9．AD
由直线方程的意义判断A．由直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D．
＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确；
在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误；
直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误；
过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线
当时，直线方程为，变形为，
当时，直线方程为，也适合方程，
所以D正确．
故选：AD．
10．AC
由题意可得该三角形的面积为，得，结合选项即可求解.
因为，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，
则，得，
结合选项可知，满足题意.
故选：AC.
11．
先表示出直线的截距式，利用直线l过点，得到，借助基本不等式,即可求得最小值.
直线l与x轴、y轴分别交于，,
可设直线的截距式：，
直线l过点，，且，
，
当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：.
12．
求得点关于轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程．
由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得.
故答案为：．
13．20
设出直线在两坐标轴上的截距,再设,把三角形的三边用表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值.
设三角形三个顶点坐标分别为，其中，
设，
则，，
的周长
，
令，则，
当且仅当，即时，周长取最小值20.
故答案为：20
14．(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：直线的方程为：
提参整理可得：．
令，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令 则，
令．则，
直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
16．x＋2y－4＝0
方法一：设直线的方程为，则，然后表示出的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线的方程，方法二：设直线：，则，然后利用基本不等式可得，从而可求出其最小值，进而可求出直线的方程.
方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
故直线的方程为，
即.
方法二：设直线：，
因为直线l过点，
所以，
则，所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
此时，故直线的方程为，
即.
17．（1）；（2）
由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
18．(1)或
(2)
（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；
（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.
（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，
当直线不过原点时，设直线为，
将代入可得，
所以直线的方程为；
当直线过原点时，直线的斜率为，
所以直线的方程为即．
综上，直线的方程为或；
（2）设直线的方程为，
所以，，
所以，
当且仅当时，，（舍），
所以直线的方程为即．
19．(1)，
(2)25
（1）由截距式直线方程与两点式直线方程即可写出直线方程；
（2）先将直线方程求出，再写出截距式直线方程即可求三角形面积.
（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即.
由两点式，得边所在直线的方程为，即.
（2）由题意，得点的坐标为，
由两点式，得边所在直线的方程为，
即，所以.
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积.
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