2.2.3 直线的一般式方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.3 直线的一般式方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 637.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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2.2.3 直线的一般式方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线和直线平行，则m的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．
4．已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（ ）
A．0 B．或0 C．0或 D．
6．过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
8．数学巨星欧拉（LeonhardEuler，1707~1783）在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知的顶点 ，，且 ，则的欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下关于直线的说法中，不正确的是（ ）
A．直线一定不经过原点
B．直线一定不经过第三象限
C．直线一定经过第二象限
D．直线可表示经过点的所有直线
10．已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则直线l的斜率小于0
B．若，则直线l的倾斜角为
C．直线l可能经过坐标原点
D．若，则直线l的倾斜角为
11．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．直线倾斜角的范围为
C．当时，直线与直线垂直
D．直线过定点
12．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 .
14．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 .
15．若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 .
四、解答题
16．已知直线．
(1)求证：直线过定点；
(2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程．
17．已知方程（）．
(1)求该方程表示直线的条件；
(2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；
(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．
18．已知直线：，.
(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.
19．已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若直线与x y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.
参考答案
1．D
分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案.
由已知，
令得直线在y轴的截距为，
令得直线在x轴的截距为，
由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，
即.
故选：D.
2．A
由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程.
设直线的倾斜角为，则，解得，
因为直线倾斜角为直线倾斜角的一半，
所以直线倾斜角为，从而，
即直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，
即.
故选：A.
3．A
根据直线平行满足的系数关系即可求解.
由于和直线平行，
所以，解得，
故选：A
4．D
通过平行可设直线l的方程为，再把点代入即可解得即可求出结果
设与直线即平行的直线l的方程为，
把点代入可得，解得．
因此直线l的方程为
故选：D
5．C
由直线垂直得到方程，求出实数的值.
由题意得，解得或.
故选：C
6．B
根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，代入，即可求解.
设所求的直线方程为，
代入方程解得，
所求的直线方程为.
故选：B.
7．A
直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解．
解：直线方程转化为：，
令，解得，
所以直线过定点，
故选：A．
8．D
根据题意得出的欧拉线方程为线段的垂直平分线，再根据点和点的坐标求出线段的垂直平分线即可．
由 ，，得线段中点的坐标为，
所以线段的斜率，
所以线段垂直平分线的方程为：，即，
又因为，
所以的外心、中心、垂心都在线段的垂直平分线上，
所以的欧拉线方程为，
故选：D．
9．BD
首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；
对于直线，令，解得，故直线恒过点，
一定不经过原点，故A正确；
当时直线即为，直线过二、三象限，
当时直线即为，
若，则，，直线过一、二、三象限，
若，则，，直线过二、三、四象限，
所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；
因为直线方程为时，过点，但是不能表示为，故D错误.
故选：BD
10．ABD
根据题意，由直线的斜率即可判断A，将代入即可判断B，将原点坐标代入即可判断C，将即可判断D.
对于A选项，若，则直线l的斜率，故A正确；
对于B选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故B正确；
对于C选项，将代入中，显然不成立，故C错误；
对于D选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故D正确.
故选：ABD.
11．BC
选项A，由两直线斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；选项B，由斜率与倾斜角关系，先求斜率范围再得倾斜角范围；选项C，利用斜率关系可得；选项D，令求解可得.
选项A，存在斜率，
直线方程可化为：，
直线也存在斜率，方程可化为，
由，则两直线平行的充要条件为，
即解得或，故A错误；
选项B，由直线的斜率，
则倾斜角的范围为，故B正确；
选项C，当时，直线，斜率为，
又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确；
选项D，，令，得，
故直线过定点，不过，D错误.
故选：BC.
12．BCD
将题目条件等价转化为，然后即可给出选项A的反例，并使用放缩法证明B，C，D选项正确.
设，则对任意都有，这得到.
由恒为常值，知，，所以，，故点的坐标是.
而点在直线上，故条件即为.
对于A，取，则此时，故A错误；
对于B，有，故B正确；
对于C，有，故C正确；
对于D，有，故D正确.
故选：BCD.
13．
分析可知，直线与直线平行，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的一般方程.
因为，所以，点不在直线上，
又因为直线与直线具有相同的法向量，且直线过点，
则直线与直线平行，
设直线的方程为，则，解得，
所以，直线的一般方程为.
故答案为：.
14．/
根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值.
直线即，
由题意，解得，即直线恒过点，
因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以，
则
，当且仅当即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：
15．/
根据直线垂直的充要条件可得a，b关系，然后由基本不等式可解.
因为直线与直线互相垂直，
所以，即，
由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：
16．(1)直线过定点，证明见详解；
(2)
（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明.
（2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程.
（1）证明：方程化为：
，
由直线系方程的性质有：，解得，
故直线恒过点
（2）设直线，
则由题意得：，解得，
所以直线，即，
所以所求直线方程为：.
17．(1)
(2)
(3)不过定点，证明见解析
（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线；
（2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；
（3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点.
（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线，
令，解得或；
令，解得或，
所以，的系数同时为零时，
故若方程表示一条直线，则，
即实数的取值范围为；
（2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在，
由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为；
（3）不过定点，证明如下：
证明：当的系数为，的系数不为时斜率为，
由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为，
此时直线方程为，
由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为，
由得交点为，
若直线过定点，则定点为，
将代入方程，
得，
整理得，解得或，
只有当或时，直线过，
直线不过定点.
18．(1)证明见解析，点的坐标为
(2)或
(3)
（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；
（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；
（3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决.
（1）证明：整理直线的方程，得，
所以直线过直线与的交点，
联立方程组，
解得，
所以直线过定点，点的坐标为.
（2）当截距为0时，直线的方程为，即，
当截距不为0时，设直线的方程为，
则，
解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
（3）当时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线的方程为，不符合题意；
当，且时，，
所以
解得或，
综上所述，当直线不经过第四象限时，
的取值范围是：.
19．(1)证明见解析，定点；
(2)；
(3).
（1）证明：整理直线方程得．
由且可得，，
故直线恒过定点，；
（2）由（1）知，直线恒过定点，
当直线与y轴没有交点时，即，此时直线方程为，符合题意；
当直线与y轴有交点时，，
求出直线的纵截距，其小于等于零即可满足题意，
令，则，，
若直线不经过第二象限，则，∴；
所以m的取值范围为；
（3）设直线方程为，，
则，①
由题意得，，②
由①②整理得，
解得，，或，，
所求直线的方程为或
即或，
又直线的斜率，
所以不合题意，
所以直线的方程为.
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2.2.3 直线的一般式方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线和直线平行，则m的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．
4．已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（ ）
A．0 B．或0 C．0或 D．
6．过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
8．数学巨星欧拉（LeonhardEuler，1707~1783）在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知的顶点 ，，且 ，则的欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下关于直线的说法中，不正确的是（ ）
A．直线一定不经过原点
B．直线一定不经过第三象限
C．直线一定经过第二象限
D．直线可表示经过点的所有直线
10．已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则直线l的斜率小于0
B．若，则直线l的倾斜角为
C．直线l可能经过坐标原点
D．若，则直线l的倾斜角为
11．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．直线倾斜角的范围为
C．当时，直线与直线垂直
D．直线过定点
12．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 .
14．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 .
15．若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 .
四、解答题
16．已知直线．
(1)求证：直线过定点；
(2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程．
17．已知方程（）．
(1)求该方程表示直线的条件；
(2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；
(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．
18．已知直线：，.
(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.
19．已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若直线与x y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.
参考答案
1．D
分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案.
由已知，
令得直线在y轴的截距为，
令得直线在x轴的截距为，
由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，
即.
故选：D.
2．A
由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程.
设直线的倾斜角为，则，解得，
因为直线倾斜角为直线倾斜角的一半，
所以直线倾斜角为，从而，
即直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，
即.
故选：A.
3．A
根据直线平行满足的系数关系即可求解.
由于和直线平行，
所以，解得，
故选：A
4．D
通过平行可设直线l的方程为，再把点代入即可解得即可求出结果
设与直线即平行的直线l的方程为，
把点代入可得，解得．
因此直线l的方程为
故选：D
5．C
由直线垂直得到方程，求出实数的值.
由题意得，解得或.
故选：C
6．B
根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，代入，即可求解.
设所求的直线方程为，
代入方程解得，
所求的直线方程为.
故选：B.
7．A
直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解．
解：直线方程转化为：，
令，解得，
所以直线过定点，
故选：A．
8．D
根据题意得出的欧拉线方程为线段的垂直平分线，再根据点和点的坐标求出线段的垂直平分线即可．
由 ，，得线段中点的坐标为，
所以线段的斜率，
所以线段垂直平分线的方程为：，即，
又因为，
所以的外心、中心、垂心都在线段的垂直平分线上，
所以的欧拉线方程为，
故选：D．
9．BD
首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；
对于直线，令，解得，故直线恒过点，
一定不经过原点，故A正确；
当时直线即为，直线过二、三象限，
当时直线即为，
若，则，，直线过一、二、三象限，
若，则，，直线过二、三、四象限，
所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；
因为直线方程为时，过点，但是不能表示为，故D错误.
故选：BD
10．ABD
根据题意，由直线的斜率即可判断A，将代入即可判断B，将原点坐标代入即可判断C，将即可判断D.
对于A选项，若，则直线l的斜率，故A正确；
对于B选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故B正确；
对于C选项，将代入中，显然不成立，故C错误；
对于D选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故D正确.
故选：ABD.
11．BC
选项A，由两直线斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；选项B，由斜率与倾斜角关系，先求斜率范围再得倾斜角范围；选项C，利用斜率关系可得；选项D，令求解可得.
选项A，存在斜率，
直线方程可化为：，
直线也存在斜率，方程可化为，
由，则两直线平行的充要条件为，
即解得或，故A错误；
选项B，由直线的斜率，
则倾斜角的范围为，故B正确；
选项C，当时，直线，斜率为，
又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确；
选项D，，令，得，
故直线过定点，不过，D错误.
故选：BC.
12．BCD
将题目条件等价转化为，然后即可给出选项A的反例，并使用放缩法证明B，C，D选项正确.
设，则对任意都有，这得到.
由恒为常值，知，，所以，，故点的坐标是.
而点在直线上，故条件即为.
对于A，取，则此时，故A错误；
对于B，有，故B正确；
对于C，有，故C正确；
对于D，有，故D正确.
故选：BCD.
13．
分析可知，直线与直线平行，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的一般方程.
因为，所以，点不在直线上，
又因为直线与直线具有相同的法向量，且直线过点，
则直线与直线平行，
设直线的方程为，则，解得，
所以，直线的一般方程为.
故答案为：.
14．/
根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值.
直线即，
由题意，解得，即直线恒过点，
因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以，
则
，当且仅当即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：
15．/
根据直线垂直的充要条件可得a，b关系，然后由基本不等式可解.
因为直线与直线互相垂直，
所以，即，
由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：
16．(1)直线过定点，证明见详解；
(2)
（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明.
（2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程.
（1）证明：方程化为：
，
由直线系方程的性质有：，解得，
故直线恒过点
（2）设直线，
则由题意得：，解得，
所以直线，即，
所以所求直线方程为：.
17．(1)
(2)
(3)不过定点，证明见解析
（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线；
（2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；
（3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点.
（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线，
令，解得或；
令，解得或，
所以，的系数同时为零时，
故若方程表示一条直线，则，
即实数的取值范围为；
（2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在，
由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为；
（3）不过定点，证明如下：
证明：当的系数为，的系数不为时斜率为，
由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为，
此时直线方程为，
由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为，
由得交点为，
若直线过定点，则定点为，
将代入方程，
得，
整理得，解得或，
只有当或时，直线过，
直线不过定点.
18．(1)证明见解析，点的坐标为
(2)或
(3)
（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；
（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；
（3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决.
（1）证明：整理直线的方程，得，
所以直线过直线与的交点，
联立方程组，
解得，
所以直线过定点，点的坐标为.
（2）当截距为0时，直线的方程为，即，
当截距不为0时，设直线的方程为，
则，
解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
（3）当时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线的方程为，不符合题意；
当，且时，，
所以
解得或，
综上所述，当直线不经过第四象限时，
的取值范围是：.
19．(1)证明见解析，定点；
(2)；
(3).
（1）证明：整理直线方程得．
由且可得，，
故直线恒过定点，；
（2）由（1）知，直线恒过定点，
当直线与y轴没有交点时，即，此时直线方程为，符合题意；
当直线与y轴有交点时，，
求出直线的纵截距，其小于等于零即可满足题意，
令，则，，
若直线不经过第二象限，则，∴；
所以m的取值范围为；
（3）设直线方程为，，
则，①
由题意得，，②
由①②整理得，
解得，，或，，
所求直线的方程为或
即或，
又直线的斜率，
所以不合题意，
所以直线的方程为.
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