1.1空间向量及其运算 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 1.1空间向量及其运算 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 950.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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1.1空间向量及其运算 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．在正四棱锥中，为正方形的中心，，且平面与直线交于，，则
A． B．
C． D．
7．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
9．已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．在四面体 中，分别为的中点，则
12．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
13．已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 .
14．平面内有A、B、C、D、E五点，其中任意三点不共线，O为空间中一点，若满足，，则 ．
15．如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．
三、解答题
16．在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点
(1)用向量，，表示向量；
(2)求；
(3)求.
17．如图，在四面体中，，，.
(1)求的值；
(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.
18．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
19．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
参考答案
1．C
根据已知可得，代入即可得出答案.
因为点G是CD的中点，
所以，
所以.
故选:C.
2．A
根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
四点共面的充要条件是，，整理可得，
由，则，解得，
故选：A.
3．B
根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
解：若，则，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；
反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，
，可取任意值，不一定有，
所以是，，，四点共面的充分不必要条件．
故选：B．
4．A
以为基底表示后可求的值.
由正三棱柱可得，，
而，
故
.
故选：A.
5．C
由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小.
由题设，则，
所以，又，可得，即.
故选：C
6．A
在平面延长与直线交于，过作垂直于交于，根据相识三角形成比例关系可求解．
解：由题意：是正四棱锥，为正方形的中心，
则平面，，
即是上的点，在平面延长与直线交于，过作垂直于交于，
可得，
所以．
故选：A．
7．C
利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.
由题意可知：在平行六面体中，M为与的交点，
所以为的中点，则，
所以
，
故选：.
8．C
由，得到关于x，y的方程，即可求得结果
，，
因为，所以，解得，
所以.
故选：C
9．B
利用空间向量共面的基本定理化简可得出的值.
因为点为所在平面内一点，设，其中、，
即，
所以，，
所以，，所以，.
故选：B.
10．A
把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可.
因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在唯一的，使得,
即，
即，解得：.
故选：A.
11．
根据空间向量的运算，将用来表示，即可求得答案.
由题意得
，
故答案为：
12．/
由列方程，化简求得的值.
∵，，，
∴，
又∵A，C，D三点共线，∴，
∵，不共线，∴，
∴，∴.
故答案为：
13．
利用空间向量共面定理可得，再由向量相等即可求解.
若向量，，共面，则存在x，y∈R，使得，
∴2-+3=x(-+4-2)+y(7+5+λ)，
∴
解得λ=.
故答案为：
14．/
根据空间内四点共面满足的关系式列式，求出即可.
因为四点共面，且，故，同理，两式相减可得，故，故.
故答案为：
15．
确定，根据共面得到，解得答案.
；
四点共面，故，即.
故答案为：
16．(1)
(2)
(3)
（1）根据向量的线性运算即可求解；
（2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可；
（3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解.
（1）如图，
.
（2）
,
.
（3）
.
17．(1)
(2)
（1）根据题意得到，再求解即可.
（2）根据，再平方求解即可.
（1）在四面体中，，，
.
（2）如图所示：
因为，则，
因为F是CD中点，则，
于是.
，
所以.
18．(1)；
(2)
（1）根据向量的线性运算求出即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
（1），
，
故
∵点E为AD的中点，
故.
（2）由题意得，
故，
故
.
19．为定值4；证明见解析；
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出.
然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
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1.1空间向量及其运算 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．在正四棱锥中，为正方形的中心，，且平面与直线交于，，则
A． B．
C． D．
7．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
9．已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．在四面体 中，分别为的中点，则
12．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
13．已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 .
14．平面内有A、B、C、D、E五点，其中任意三点不共线，O为空间中一点，若满足，，则 ．
15．如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．
三、解答题
16．在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点
(1)用向量，，表示向量；
(2)求；
(3)求.
17．如图，在四面体中，，，.
(1)求的值；
(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.
18．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
19．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
参考答案
1．C
根据已知可得，代入即可得出答案.
因为点G是CD的中点，
所以，
所以.
故选:C.
2．A
根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
四点共面的充要条件是，，整理可得，
由，则，解得，
故选：A.
3．B
根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
解：若，则，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；
反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，
，可取任意值，不一定有，
所以是，，，四点共面的充分不必要条件．
故选：B．
4．A
以为基底表示后可求的值.
由正三棱柱可得，，
而，
故
.
故选：A.
5．C
由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小.
由题设，则，
所以，又，可得，即.
故选：C
6．A
在平面延长与直线交于，过作垂直于交于，根据相识三角形成比例关系可求解．
解：由题意：是正四棱锥，为正方形的中心，
则平面，，
即是上的点，在平面延长与直线交于，过作垂直于交于，
可得，
所以．
故选：A．
7．C
利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.
由题意可知：在平行六面体中，M为与的交点，
所以为的中点，则，
所以
，
故选：.
8．C
由，得到关于x，y的方程，即可求得结果
，，
因为，所以，解得，
所以.
故选：C
9．B
利用空间向量共面的基本定理化简可得出的值.
因为点为所在平面内一点，设，其中、，
即，
所以，，
所以，，所以，.
故选：B.
10．A
把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可.
因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在唯一的，使得,
即，
即，解得：.
故选：A.
11．
根据空间向量的运算，将用来表示，即可求得答案.
由题意得
，
故答案为：
12．/
由列方程，化简求得的值.
∵，，，
∴，
又∵A，C，D三点共线，∴，
∵，不共线，∴，
∴，∴.
故答案为：
13．
利用空间向量共面定理可得，再由向量相等即可求解.
若向量，，共面，则存在x，y∈R，使得，
∴2-+3=x(-+4-2)+y(7+5+λ)，
∴
解得λ=.
故答案为：
14．/
根据空间内四点共面满足的关系式列式，求出即可.
因为四点共面，且，故，同理，两式相减可得，故，故.
故答案为：
15．
确定，根据共面得到，解得答案.
；
四点共面，故，即.
故答案为：
16．(1)
(2)
(3)
（1）根据向量的线性运算即可求解；
（2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可；
（3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解.
（1）如图，
.
（2）
,
.
（3）
.
17．(1)
(2)
（1）根据题意得到，再求解即可.
（2）根据，再平方求解即可.
（1）在四面体中，，，
.
（2）如图所示：
因为，则，
因为F是CD中点，则，
于是.
，
所以.
18．(1)；
(2)
（1）根据向量的线性运算求出即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
（1），
，
故
∵点E为AD的中点，
故.
（2）由题意得，
故，
故
.
19．为定值4；证明见解析；
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出.
然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
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