1.2空间向量基本定理 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

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1.2空间向量基本定理 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（ ）

A． B．
C． D．
5．给出下列四个命题：
①若存在实数，使，则 与共面；
②若 与共面， 则存在实数， 使
③若存在实数，使 ，则点共面；
④若点共面， 则存在实数， 使
其中（ ）是真命题．
A．②④ B．①③ C．①② D．③④
二、多选题
6．在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）.
A．若点P在直线上，则
B．若点P在直线上，则
C．若点P在平面内，则
D．若点P在平面内，则
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则在上的投影向量为
B．若是四面体的底面的重心，则
C．若，则四点共面
D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
8．下面四个结论正确的是（ ），
A．空间向量，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．任意向量满足
三、填空题
9．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 .
10．如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为 .
11．设,且是空间向量的一组基底.给出下列向量组：①,②,③,④.其中可以作为空间向量的一组基的有 个.

12．如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）

13．如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ．
14．已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是 ．
四、解答题
15．在平行六面体中，设，，，分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
16．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.

(1)求证：共面；
(2)当为何值时，；
(3)若，且，求的长.
17．如图，和是不在同一平面上的两个矩形，，，记，，.请用基底，表示下列向量：

(1)；
(2)；
18．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，，，，为中点．
(1)用空间的一组基表示，；
(2)求，的值．
19．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长.
参考答案
1．B
借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得.
由是空间中的一组基底，故两两不共线，
对A：有，故A错误；
对B：设，则有，
该方程无解，故可与构成基底，故B正确；
对C：有，故C错误；
对D：有，故D错误.
故选：B.
2．C
根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可.
记，则，
，
则，
，
，
设直线与所成的角为则
，
所以
故选：C.
3．C
根据空间向量的线性运算即可得到答案.
因为为与的交点，
则
故选：C.
4．A
取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得.
取的中点，连接，，

因为是的中点，，
所以.
故选：A
5．B
利用空间向量共面定理依次判断即可.
①：由共面向量定理知，故①正确；
②：共线，则不与共线，
则不存在实数x，y，使，故②错误；
③：共面向量定理知，故③正确；
④：共线，不与共线，
则不存在实数x，y，使，故④错误．
故选：B
6．BCD
根据空间向量的基本定理可判断A，B；结合四点共面的结论可判断C，D.
对于A，若点P在直线上，则，则，
由于三点共线，故，A错误；
对于B，若点P在直线上，则，而，
结合，得，B正确；
对于C，若点P在平面内，即四点共面，
则由，可知，C正确，
对于D，若点P在平面内，则，
则，
又，则，D正确，
故选：BCD
7．BC
根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解可判断A；根据空间向量基本定理可判断B；根据四点共面的结论可判断C；根据空间向量基本定理分析可判断D.
对于A，在上的投影向量为
，故A错误；
对于B，如图，是四面体的底面的重心，延长交与点，
则点是的中点，所以
，故B正确；

对于C，若，则，
所以四点共面，故C正确；
对于D，设在基底下的坐标为，
则，
因为在单位正交基底下的坐标为，所以，解得，
则在基底下的坐标为，故D错误.
故选：BC.
8．ABC
根据空间向量的概念及其向量共面定理，基底，数量积等的概念，即可判断得出答案.
对于A：若，则，故A正确；
对于B：若对空间中任意一点O，有，则，
即得，
所以，，共面，则P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C：假设不是空间的一个基底，则共面，
设，
因为，所以有，
整理可得，
因为是空间的一个基底，
所以有，显然该方程组不成立，故假设错误．
所以，也是空间的一个基底，故C正确；
对于D：由于是一个实数，也是一个实数，
则由可得和共线，与已知的任意性不符，故D错误．
故选：ABC.
9．.
根据题意得到，即可求得向量在基底下的坐标，得到答案.
因为向量在基底下的坐标是，
可得，
所以向量在基底下的坐标是.
故答案为：.
10．4
求出，平方后得到，从而求出.
由题意得⊥，又，故⊥，
故，，
，
故
，
故.
故答案为：4
11．3
三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，分析各向量组是否共面即可.
如图，设，则，
由四点不共面可知向量也不共面.
同理可知和也不共面，可以作为空间向量的一组基，
因，故共面，故不能作为空间向量的一组基底.
故答案为：3.
12．
根据向量线性运算直接求解即可.
为中点，；
，；
.
故答案为：.
13．
由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.
因为，所以，同理，
所以四边形为平行四边形，
所以
.
故答案为： .
14．
利用共面向量的基本定理结合空间向量的基本定理可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
因为点是所在平面内的任意一点，则存在、，使得，
即，
所以，，
又因为是平面外的一点，则、、不共面，
因为，则，，，
所以，，所以，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
15．(1)，；
(2).
（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得.
（1）在平行六面体中，
，
由分别是的中点，
得.
.
（2），
而，且不共面，
所以.
16．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
（1）利用向量证明，然后可证；
（2）以为基底表示出，然后根据求解可得；
（3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可.
（1）在平行六面体中，连接，
因为，
所以，
，
所以，即且，
所以四边形为平行四边形，即共面.
（2）当时，，理由如下，
设，且与、与、与的夹角均为，
因为底面为菱形，所以，
， ，
若，则，
即，
即，
解得或舍去，
所以时，

（3），
，
，
所以 ，所以的长为
17．(1)
(2)
利用空间向量的运算求解即可.
（1）.
（2）
.
18．(1)，
(2),
（1）根据题意空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理分析运算；
（2）根据向量的数量积的运算律可得，的值.
（1）由题意可得：，
.
（2）由题意可得：，
因为，
.
19．，
根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果.
因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形，
所以
，
由题意，可得|，，，
因此
所以，即的长为.
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