1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 701.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
3．下列各组向量中不平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
5．已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，且与互相平行，则实数k的值为（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
7．已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，空间向量与垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
11．已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则 ．
12．已知向量，，且与互相垂直，则的值是 .
13．已知向量，若，则 ．
14．若三点共线，则 ．
四、解答题
15．已知空间向量，，．
(1)若，求；
(2)若与相互垂直，求．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||.
17．已知点，，O为坐标原点，向量
(1)求向量的单位向量
(2)求
(3)求
18．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
19．如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值．
参考答案
1．B
根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.
对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，无解, 即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.
故选：B.
2．D
根据空间向量的线性坐标运算及模长公式求解即可得答案.
因为，所以.
故选：D.
3．D
根据向量共线平行的坐标表示判断求解即可；
，所以两向量平行；
，所以两向量平行；
，零向量与任何向量都平行；
，没有实数满足，故两向量不平行；
故选：D.
4．C
利用向量平行和垂直的坐标运算求解.
所以，
，，，所以，
，所以.
故选：C.
5．B
根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答.
向量，则，
由，得，解得，，
因此，，，
所以与的夹角的余弦值.
故选：B
6．D
根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可．
∵向量，，
∴，，
∵与互相平行，
∴，即，解得．
故选：D．
7．C
先求出向量的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可.
因为，，所以，，
所以.
故选：C
8．D
根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示，再利用均值不等式求解作答.
依题意，，
而，，则，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值.
故选：D.
9．BC
求出向量坐标，逐项判断可得答案.
在空间直角坐标系中，，，，
，，
对于A，因为，，所以，故A不正确；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，因为，，所以，故C正确；
对于D，因为，，所以，故D不正确.
故选：BC.
10．4
利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．
是空间相互垂直的单位向量，
设，，设，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
当且仅当时取得等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
11．
根据向量与反向共线，设，利用列方程求得，即得答案.
由，，可得，
由于与反向共线，设，
由可得，解得，（舍去），
故，
故答案为：
12．/
向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
，
，
因为与互相垂直，
所以,
即，
解得：.
故答案为：
13．
设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解.
设向量，
，，设与的夹角为，，
，.
故答案为：.
14．
由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解.
，且三点共线，
存在实数，使得．
即，
解得
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；
（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.
（1），
，，
即，且，，解得；
（2），，
又，解得．
16．
利用空间向量法求向量的模长得到结果.
如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有，，，，，，，，
.
17．(1)
(2)
(3)
（1）计算出模长，进而利用得到答案；
（2）计算出，得到模长；
（3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.
（1）由已知得：，则，
因此；
（2）因为，
所以，
则.
（3）因为，所以，
则
18．(1)
(2)证明见详解
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由条件列式可求得点坐标；
（2）利用空间向量的数量积的坐标运算证明即可．
（1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则．
设，，,
∵，∴，
解得，，，故点的坐标为．
（2）由（1）知，，
∵，∴．
19．
构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并设，得，根据EF的长最小满足，应用向量垂直的坐标表示可得，最后由向量模长的坐标表示和二次函数性质求最值.
依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，，
设，，则，
设，，则．
若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即，
因此，，
当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为．
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1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
3．下列各组向量中不平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
5．已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，且与互相平行，则实数k的值为（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
7．已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，空间向量与垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
11．已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则 ．
12．已知向量，，且与互相垂直，则的值是 .
13．已知向量，若，则 ．
14．若三点共线，则 ．
四、解答题
15．已知空间向量，，．
(1)若，求；
(2)若与相互垂直，求．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||.
17．已知点，，O为坐标原点，向量
(1)求向量的单位向量
(2)求
(3)求
18．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
19．如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值．
参考答案
1．B
根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.
对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，无解, 即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.
故选：B.
2．D
根据空间向量的线性坐标运算及模长公式求解即可得答案.
因为，所以.
故选：D.
3．D
根据向量共线平行的坐标表示判断求解即可；
，所以两向量平行；
，所以两向量平行；
，零向量与任何向量都平行；
，没有实数满足，故两向量不平行；
故选：D.
4．C
利用向量平行和垂直的坐标运算求解.
所以，
，，，所以，
，所以.
故选：C.
5．B
根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答.
向量，则，
由，得，解得，，
因此，，，
所以与的夹角的余弦值.
故选：B
6．D
根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可．
∵向量，，
∴，，
∵与互相平行，
∴，即，解得．
故选：D．
7．C
先求出向量的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可.
因为，，所以，，
所以.
故选：C
8．D
根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示，再利用均值不等式求解作答.
依题意，，
而，，则，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值.
故选：D.
9．BC
求出向量坐标，逐项判断可得答案.
在空间直角坐标系中，，，，
，，
对于A，因为，，所以，故A不正确；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，因为，，所以，故C正确；
对于D，因为，，所以，故D不正确.
故选：BC.
10．4
利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．
是空间相互垂直的单位向量，
设，，设，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
当且仅当时取得等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
11．
根据向量与反向共线，设，利用列方程求得，即得答案.
由，，可得，
由于与反向共线，设，
由可得，解得，（舍去），
故，
故答案为：
12．/
向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
，
，
因为与互相垂直，
所以,
即，
解得：.
故答案为：
13．
设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解.
设向量，
，，设与的夹角为，，
，.
故答案为：.
14．
由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解.
，且三点共线，
存在实数，使得．
即，
解得
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；
（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.
（1），
，，
即，且，，解得；
（2），，
又，解得．
16．
利用空间向量法求向量的模长得到结果.
如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有，，，，，，，，
.
17．(1)
(2)
(3)
（1）计算出模长，进而利用得到答案；
（2）计算出，得到模长；
（3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.
（1）由已知得：，则，
因此；
（2）因为，
所以，
则.
（3）因为，所以，
则
18．(1)
(2)证明见详解
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由条件列式可求得点坐标；
（2）利用空间向量的数量积的坐标运算证明即可．
（1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则．
设，，,
∵，∴，
解得，，，故点的坐标为．
（2）由（1）知，，
∵，∴．
19．
构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并设，得，根据EF的长最小满足，应用向量垂直的坐标表示可得，最后由向量模长的坐标表示和二次函数性质求最值.
依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，，
设，，则，
设，，则．
若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即，
因此，，
当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为．
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