1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
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| 名称 | 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在平面与直线垂直
B．四边形可能是正方形
C．不存在平面与直线平行
D．任意平面与平面垂直
二、多选题
5．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
6．已知直线过点，平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量可能是（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C． 是平面 的一个法向量
D．
三、填空题
8．棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线的一个方向向量为 ．
9．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 .
10．如图，在直四棱柱中，∠ADC＝90°，且，平面ABCD，当平面时，DM＝ ．
11．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 .
四、解答题
12．如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.
(1)求证：平面；
(2)若，求四棱锥的体积.
13．如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
14．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.
(1)求证：；
(2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
15．如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．
(1)若，求该几何体的体积；
(2)若AE垂直PD于E，证明：；
(3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在长方体中，，，.
(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解.
因为，
所以，
则，
所以，整理得：.
故选：A.
2．D
建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得.
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则有,
依题意，，
,
于是，.
又因平面，平面,则,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取为，
因平面，故，即.
则
，
因，故当时，.
故选：D.
3．C
建系，求平面的法向量，利用空间向量求点M的位置，进而可得结果.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为∥平面，可知平面的法向量为，
设，可得，
可得，解得，
则，可得，
所以.
故选：C.
4．D
根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.
对于A：在正方体中平面，
显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误；
对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点，
由平面平面， 并且四点共面，
平面平面，平面平面，
∴， 同理可证，故四边形是平行四边形，
在正方体中，由几何知识得，平面，
∵平面，∴，
若是正方形，有，
此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误；
对于C：当为的中点时，为的中点，所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，故C错误；
对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，
由几何知识得，,
∴,
∵，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴任意平面与平面垂直，故D正确.
故选：D
5．ABC
根据面面垂直的性质定理可得平面，建系，利用空间向量的坐标运算逐项分析判断.
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
建立以D为坐标原点，以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴的空间直角坐标系，
设斜边，则，
可得，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，则，故B正确；
对于选项C：，则，故C正确；
对于选项D：因为平面ADC的一个法向量为向量，
设平面ABC的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不是互相垂直，故D错误．
故选：ABC.
6．ABC
由题可知所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，所以利用向量垂直的判定验证即可
解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，
而，
选项A，满足垂直，故正确；
选项B，满足垂直，故正确；
选项C，满足垂直，故正确；
选项D，，但，故错误．
故选：ABC
7．ABC
运用数量积逐项分析.
由题意可知 都是非零向量，
对于A， ，正确；
对于B， ，正确；
对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，正确；
对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误；
故选：ABC.
8．（答案不唯一）
根据点的坐标求出向量即可得出答案.
由题意知所以，
即直线的一个方向向量是．
故答案为：
9．
建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解.
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，
，设，
所以设平面的法向量为，
所以，取，则，
，
由于∥平面，所以，即，
故，所以
所以，
故答案为：
10．
建系，根据题意利用空间向量的坐标运算可求点M的坐标，即可得结果.
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
由题意可设，则，
若平面，则，解得，即，
故.
故答案为：.
11．
利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解.
因为，
所以，
所以，即，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
12．(1)证明见解析
(2)9．
（1）建立空间直角坐标系证明线面平行即可；
（2）根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可.
（1）如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系．
设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心,
因为，所以,
设平面法向量为,
,
,
则,
可得,
所以,,不在平面内，所以平面
（2）因为，所以,
因为平面,所以，
因为,平面,平面,所以平面,
13．(1)证明见解析；
(2)在上存在点使得平面，且为的中点．
（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得；
（2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论.
（1）因为，，，所以，
如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，，即.
（2）若存在点使平面，则，，
，，，，
因为平面，所以存在实数、，使成立，
则，解得，
故在上存在点使平面，此时点为中点.
14．(1)证明见解析
(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上
（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论.
（2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论.
（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点，
且.
又平面平面，平面平面平面，
平面.
又平面.
（2）由（1）知，.
以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则.
，
设为平面的一个法向量，
则，取，则.
假设在平面内存在点，使得平面平面.连接.
若，则设.设平面的一个法向量为.
由，取，则.
平面的法向量.由知，此情况不成立.
若与不共线，设，连接.
设，则.
当，即时，.
又平面，即平面平面，也即平面平面.
所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时，
平面平面.
15．(1)
(2)证明见解析
(3)存在．
建立空间直角坐标系，
（1）求出，利用可得，再求体积即可；
（2）求出坐标，可得答案；
（3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案．
（1）如图，建立空间直角坐标系，则，，
，
，
此时；
（2），
，
；
（3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为，
设，由，得，存在．
16．(1)证明见解析
(2)存在，P为线段的中点
（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行；
（2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解.
（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
因为，即，所以平面平面.
（2）设线段上存在点P使得平面，.
由（1）得，，平面的一个法向量为，
所以.
所以，解得.
所以当P为线段的中点时，平面.
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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在平面与直线垂直
B．四边形可能是正方形
C．不存在平面与直线平行
D．任意平面与平面垂直
二、多选题
5．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
6．已知直线过点，平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量可能是（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C． 是平面 的一个法向量
D．
三、填空题
8．棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线的一个方向向量为 ．
9．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 .
10．如图，在直四棱柱中，∠ADC＝90°，且，平面ABCD，当平面时，DM＝ ．
11．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 .
四、解答题
12．如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.
(1)求证：平面；
(2)若，求四棱锥的体积.
13．如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
14．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.
(1)求证：；
(2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
15．如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．
(1)若，求该几何体的体积；
(2)若AE垂直PD于E，证明：；
(3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在长方体中，，，.
(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解.
因为，
所以，
则，
所以，整理得：.
故选：A.
2．D
建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得.
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则有,
依题意，，
,
于是，.
又因平面，平面,则,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取为，
因平面，故，即.
则
，
因，故当时，.
故选：D.
3．C
建系，求平面的法向量，利用空间向量求点M的位置，进而可得结果.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为∥平面，可知平面的法向量为，
设，可得，
可得，解得，
则，可得，
所以.
故选：C.
4．D
根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.
对于A：在正方体中平面，
显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误；
对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点，
由平面平面， 并且四点共面，
平面平面，平面平面，
∴， 同理可证，故四边形是平行四边形，
在正方体中，由几何知识得，平面，
∵平面，∴，
若是正方形，有，
此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误；
对于C：当为的中点时，为的中点，所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，故C错误；
对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，
由几何知识得，,
∴,
∵，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴任意平面与平面垂直，故D正确.
故选：D
5．ABC
根据面面垂直的性质定理可得平面，建系，利用空间向量的坐标运算逐项分析判断.
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
建立以D为坐标原点，以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴的空间直角坐标系，
设斜边，则，
可得，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，则，故B正确；
对于选项C：，则，故C正确；
对于选项D：因为平面ADC的一个法向量为向量，
设平面ABC的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不是互相垂直，故D错误．
故选：ABC.
6．ABC
由题可知所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，所以利用向量垂直的判定验证即可
解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，
而，
选项A，满足垂直，故正确；
选项B，满足垂直，故正确；
选项C，满足垂直，故正确；
选项D，，但，故错误．
故选：ABC
7．ABC
运用数量积逐项分析.
由题意可知 都是非零向量，
对于A， ，正确；
对于B， ，正确；
对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，正确；
对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误；
故选：ABC.
8．（答案不唯一）
根据点的坐标求出向量即可得出答案.
由题意知所以，
即直线的一个方向向量是．
故答案为：
9．
建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解.
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，
，设，
所以设平面的法向量为，
所以，取，则，
，
由于∥平面，所以，即，
故，所以
所以，
故答案为：
10．
建系，根据题意利用空间向量的坐标运算可求点M的坐标，即可得结果.
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
由题意可设，则，
若平面，则，解得，即，
故.
故答案为：.
11．
利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解.
因为，
所以，
所以，即，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
12．(1)证明见解析
(2)9．
（1）建立空间直角坐标系证明线面平行即可；
（2）根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可.
（1）如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系．
设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心,
因为，所以,
设平面法向量为,
,
,
则,
可得,
所以,,不在平面内，所以平面
（2）因为，所以,
因为平面,所以，
因为,平面,平面,所以平面,
13．(1)证明见解析；
(2)在上存在点使得平面，且为的中点．
（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得；
（2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论.
（1）因为，，，所以，
如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，，即.
（2）若存在点使平面，则，，
，，，，
因为平面，所以存在实数、，使成立，
则，解得，
故在上存在点使平面，此时点为中点.
14．(1)证明见解析
(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上
（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论.
（2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论.
（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点，
且.
又平面平面，平面平面平面，
平面.
又平面.
（2）由（1）知，.
以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则.
，
设为平面的一个法向量，
则，取，则.
假设在平面内存在点，使得平面平面.连接.
若，则设.设平面的一个法向量为.
由，取，则.
平面的法向量.由知，此情况不成立.
若与不共线，设，连接.
设，则.
当，即时，.
又平面，即平面平面，也即平面平面.
所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时，
平面平面.
15．(1)
(2)证明见解析
(3)存在．
建立空间直角坐标系，
（1）求出，利用可得，再求体积即可；
（2）求出坐标，可得答案；
（3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案．
（1）如图，建立空间直角坐标系，则，，
，
，
此时；
（2），
，
；
（3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为，
设，由，得，存在．
16．(1)证明见解析
(2)存在，P为线段的中点
（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行；
（2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解.
（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
因为，即，所以平面平面.
（2）设线段上存在点P使得平面，.
由（1）得，，平面的一个法向量为，
所以.
所以，解得.
所以当P为线段的中点时，平面.
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