1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1上靠近点B1的四等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
三、填空题
11．如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 .
12．在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ．
13．三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值 ，若记直线与直线的所成角为，则的取值范围为 .
14．如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．
四、解答题
15．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到面的距离．
16．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线到直线的距离；
(3)求点到平面的距离．
17．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，线段AC上有两个动点E，F（顺序如图），且.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与所成角的余弦值的取值范围；
18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.
19．在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰为的中点，又已知.
(1)证明：平面．
(2)求平面和平面的夹角的余弦值
参考答案
1．D
以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答.
在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则有，则，
设点，
则点到直线的距离
，
当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为.
故选：D.
2．D
将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解
由正方体的性质：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，所以，，，
，，
所以，，
，．
连接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离：
．
故选：D.
3．C
建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为．
故选：C
4．D
建立空间直角坐标系，利用向量法求得与所成角的正弦值.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则E（1，2，0），，D1（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），
∴.
设平面的法向量，
则，即，
取，得，
设直线与平面所成角为θ，
则.
故选：D
5．A
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，
所以平面平面，
因为是菱形，是的中点，
所以，，
而平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以，
以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
易得平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
故选：A
6．B
建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到点P到平面的距离.
因为平面，平面，
所以，
四边形为矩形，故两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，Q为的中点，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
故点P到平面的距离为.
故选：B
7．B
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
因为，为的中点，则，
由圆锥的几何性质可知平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又因为，所以，点到平面的距离为.
故选：B.
8．B
建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，换元后求出的最大值.
以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，
设，则，
所以．
令，则，因为，所以．
当时，；
当时，，
因为，所以当，即时，取得最大值，最大值为．
故选：B
9．B
建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.
如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量，
∵，则，
令，则，
∴，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值.
故选：B.
10．BCD
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B.
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
对于A，，故，
故，即直线和所成的角为，故A错误；
对于B，易得四面体为正四面体，
则，故B正确；
对于C，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故点到平面的距离，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确．
故选：BCD
11．/
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
因为，所以，
所以，，
令，，
所以，，则点到直线的距离为.
故答案为：
12．
以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B到平面的距离，然后求其最值即可.
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，
则，故，
则，，
设平面的法向量，
则，取可得，
则点B到平面的距离为，
当时，点B到平面的距离为，
当时，.
当且仅当时，等号成立，
所以点B到平面的最大距离为.
故答案为：.
13． /
由题意先确定出点在平面内的轨迹，从而可求出三棱锥体积的最大值，根据题意建立空间直角坐标系，利用两直线方向向量夹角的余弦值，结合三角函数的性质可求得其范围.
因为两两垂直，且，
所以由三角形全等可得，
所以三棱锥为正三棱锥，设在底面内的投影为，为的中点，
因为，两两垂直，
所以，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以点点在平面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
所以的最大值为，
因为，
所以三棱锥体积的最大值为，
如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
所以,
所以，
因为，
所以，即，
即的取值范围为，
故答案为：；.
14．2
根据题意求出，建立空间直角坐标系，利用线面角公式求解即可.
设AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为正三角形，
又AB=2，易得，
如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．
则，
所以，
设平面BED的法向量为，
则，令z=1则，，
因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°，
所以，
由，解得，所以AE＝2．
故答案为：2.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
（1）∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面.
又平面，所以平面平面.
（2）
以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
∵为的中点，∴，
则，，，，
∵，∴，
又，∴，
又，，平面，
∴平面.
所以为平面的法向量，
则点到面的距离.
16．(1)
(2)
(3)
（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离公式进行计算；
（2）在第一问的基础上，得到，从而利用空间点到直线距离公式求出直线到直线的距离；
（3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案.
（1）建立如图所示以为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
则，
，
，
设点到直线的距离为，
∴
则点到直线的距离为．
（2），故
，
设直线到直线的距离为，则即为F到直线的距离；
∴
则直线到直线的距离为．
（3）设平面的法向量为，
由，
令，则，所以
设点到平面的距离为，
∴，
则点到平面的距离为．
17．(1)1
(2)
（1）作出辅助线，由比例关系和等体积法求出三棱锥的体积；
（2）建立空间直角坐标系，设出，，利用向量夹角公式求出答案.
（1）连接，由勾股定理得，
所以，故，，
因为⊥平面，所以，
故，
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为底面是正方形，，，
所以，，，
，
故，
设直线与所成角大小为，
故
，
因为，所以.
18．(1)证明见解析；
(2)不存在，答案见解析.
（1）利用面面垂直的性质定理证明平面PAD，即可证明结论；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设，利用向量的线性运算求出的坐标，然后利用向量的夹角公式列出方程，求解即可得到答案．
（1）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，
所以平面PAD，
又E、F分别是PA、PB的中点，
则，
故平面PAD；
（2）取AD的中点O，连接OG，由题意，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面EFG的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
设，
因为，
故，
所以，
因为直线GM与平面EFG所成角为，
故，
化简可得，故方程无解，
所以在线段PD上不存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为．
19．(1)证明见解析
(2)．
由已知可得平面，进一步得，再由，得，然后利用线面垂直的判定得答案；
利用线面垂直的性质可得，以为原点，、所在直线分别为、轴，过与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，设，得，，， 的坐标，然后求出平面与平面的一个法向量，再求出两个法向量所成角的余弦值，进一步得到二面角的余弦值．
（1）证明：由已知得，平面，又平面，
，
，，
，又，平面，平面，
平面；
（2）解：由及平面，得，
以为原点，、所在直线分别为、轴，过与平面垂直的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
又由已知得，
，得，
，，
设平面的法向量，
则，，令，则，，
又平面，平面，，，
平面的一个法向量可以是，
，
易知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1上靠近点B1的四等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
三、填空题
11．如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 .
12．在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ．
13．三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值 ，若记直线与直线的所成角为，则的取值范围为 .
14．如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．
四、解答题
15．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到面的距离．
16．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线到直线的距离；
(3)求点到平面的距离．
17．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，线段AC上有两个动点E，F（顺序如图），且.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与所成角的余弦值的取值范围；
18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.
19．在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰为的中点，又已知.
(1)证明：平面．
(2)求平面和平面的夹角的余弦值
参考答案
1．D
以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答.
在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则有，则，
设点，
则点到直线的距离
，
当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为.
故选：D.
2．D
将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解
由正方体的性质：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，所以，，，
，，
所以，，
，．
连接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离：
．
故选：D.
3．C
建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为．
故选：C
4．D
建立空间直角坐标系，利用向量法求得与所成角的正弦值.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则E（1，2，0），，D1（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），
∴.
设平面的法向量，
则，即，
取，得，
设直线与平面所成角为θ，
则.
故选：D
5．A
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，
所以平面平面，
因为是菱形，是的中点，
所以，，
而平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以，
以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
易得平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
故选：A
6．B
建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到点P到平面的距离.
因为平面，平面，
所以，
四边形为矩形，故两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，Q为的中点，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
故点P到平面的距离为.
故选：B
7．B
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
因为，为的中点，则，
由圆锥的几何性质可知平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又因为，所以，点到平面的距离为.
故选：B.
8．B
建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，换元后求出的最大值.
以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，
设，则，
所以．
令，则，因为，所以．
当时，；
当时，，
因为，所以当，即时，取得最大值，最大值为．
故选：B
9．B
建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.
如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量，
∵，则，
令，则，
∴，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值.
故选：B.
10．BCD
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B.
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
对于A，，故，
故，即直线和所成的角为，故A错误；
对于B，易得四面体为正四面体，
则，故B正确；
对于C，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故点到平面的距离，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确．
故选：BCD
11．/
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
因为，所以，
所以，，
令，，
所以，，则点到直线的距离为.
故答案为：
12．
以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B到平面的距离，然后求其最值即可.
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，
则，故，
则，，
设平面的法向量，
则，取可得，
则点B到平面的距离为，
当时，点B到平面的距离为，
当时，.
当且仅当时，等号成立，
所以点B到平面的最大距离为.
故答案为：.
13． /
由题意先确定出点在平面内的轨迹，从而可求出三棱锥体积的最大值，根据题意建立空间直角坐标系，利用两直线方向向量夹角的余弦值，结合三角函数的性质可求得其范围.
因为两两垂直，且，
所以由三角形全等可得，
所以三棱锥为正三棱锥，设在底面内的投影为，为的中点，
因为，两两垂直，
所以，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以点点在平面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
所以的最大值为，
因为，
所以三棱锥体积的最大值为，
如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
所以,
所以，
因为，
所以，即，
即的取值范围为，
故答案为：；.
14．2
根据题意求出，建立空间直角坐标系，利用线面角公式求解即可.
设AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为正三角形，
又AB=2，易得，
如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．
则，
所以，
设平面BED的法向量为，
则，令z=1则，，
因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°，
所以，
由，解得，所以AE＝2．
故答案为：2.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
（1）∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面.
又平面，所以平面平面.
（2）
以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
∵为的中点，∴，
则，，，，
∵，∴，
又，∴，
又，，平面，
∴平面.
所以为平面的法向量，
则点到面的距离.
16．(1)
(2)
(3)
（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离公式进行计算；
（2）在第一问的基础上，得到，从而利用空间点到直线距离公式求出直线到直线的距离；
（3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案.
（1）建立如图所示以为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
则，
，
，
设点到直线的距离为，
∴
则点到直线的距离为．
（2），故
，
设直线到直线的距离为，则即为F到直线的距离；
∴
则直线到直线的距离为．
（3）设平面的法向量为，
由，
令，则，所以
设点到平面的距离为，
∴，
则点到平面的距离为．
17．(1)1
(2)
（1）作出辅助线，由比例关系和等体积法求出三棱锥的体积；
（2）建立空间直角坐标系，设出，，利用向量夹角公式求出答案.
（1）连接，由勾股定理得，
所以，故，，
因为⊥平面，所以，
故，
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为底面是正方形，，，
所以，，，
，
故，
设直线与所成角大小为，
故
，
因为，所以.
18．(1)证明见解析；
(2)不存在，答案见解析.
（1）利用面面垂直的性质定理证明平面PAD，即可证明结论；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设，利用向量的线性运算求出的坐标，然后利用向量的夹角公式列出方程，求解即可得到答案．
（1）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，
所以平面PAD，
又E、F分别是PA、PB的中点，
则，
故平面PAD；
（2）取AD的中点O，连接OG，由题意，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面EFG的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
设，
因为，
故，
所以，
因为直线GM与平面EFG所成角为，
故，
化简可得，故方程无解，
所以在线段PD上不存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为．
19．(1)证明见解析
(2)．
由已知可得平面，进一步得，再由，得，然后利用线面垂直的判定得答案；
利用线面垂直的性质可得，以为原点，、所在直线分别为、轴，过与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，设，得，，， 的坐标，然后求出平面与平面的一个法向量，再求出两个法向量所成角的余弦值，进一步得到二面角的余弦值．
（1）证明：由已知得，平面，又平面，
，
，，
，又，平面，平面，
平面；
（2）解：由及平面，得，
以为原点，、所在直线分别为、轴，过与平面垂直的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
又由已知得，
，得，
，，
设平面的法向量，
则，，令，则，，
又平面，平面，，，
平面的一个法向量可以是，
，
易知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
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