2.1.1 倾斜角与斜率 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.1.1 倾斜角与斜率 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 662.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 17:53:09 | ||
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文档简介
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2.1.1 倾斜角与斜率 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
3．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 ( )
A． B． C． D．
4．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（）
A． B． C． D．
8．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
10．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低
三、填空题
11．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ．
12．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ．
13．如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .
14．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 .
15．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 .
16．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为
四、解答题
17．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．
(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
18．已知．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
参考答案
1．C
根据直线所过象限求得直线的倾斜角范围.
直线倾斜角的取值范围是，又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角范围是.
故选：C
2．D
根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.
对于:直线的倾斜角,,所以错误；
对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；
对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；
对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.
故选：.
3．A
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故选A.
4．C
根据正切函数单调性得到斜率的取值范围.
函数在上单调递增，
又，，
故的取值范围是.
故选：C
5．A
设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.
设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
6．D
利用图像结合直线的斜率范围求解即可.
由斜率公式可得，得，
由图像可知，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，
所以直线的斜率的取值范围为，
故选：D．
7．C
利用两角差的正切公式可求得的值.
由题可得，
又，得，，得，
.
故选：C.
8．C
由已知直线斜率可以求得，再根据二倍角公式可以求得.
由直线可知，，，
则.
故选：C
9．BC
根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.
由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
10．AD
根据实验数据图表逐个分析选项即可.
分别将原点与图中各点相连.
设线段的斜率为，根据题意有，
即越小，颗粒物过滤效率越高。
由图可知，；
在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确；
在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误；
由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误；
，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确.
故选：AD.
11．
先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故答案为：
12．/
根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解.
由直线l经过，两点，
则直线的斜率，
所以直线的斜率，
由，所以.
故答案为：
13．
建立平面直角坐标系，得到，，设，根据条件建立关系式，从而得到，即可求解.
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
由条件知，，，
因为直线的斜率为，又，
所以直线的斜率，
设点的坐标为，则，，
联立，解得，故
所以，，
故答案为：.
14．
将函数的值域转化为求直线斜率取值范围，数形结合即可求解.
如图所示：设单位圆O上的一点为，
点，，，
则表示直线PA的斜率，因为，
故当P与B重合时，PA的斜率为，
当P与C重合时，PA的斜率最大值为，
所以的值域为.
故答案为：.
15．
由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值.
因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，
显然直线的斜率存在，故，即，解得，
故答案为：4
16．
由斜率公式建立方程求解即可.
由直线过点，，
得直线的斜率，
又直线过点和，
得直线的斜率，
因为两条直线的斜率相等，
所以，解得.
故答案为：.
17．(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为
(2)
（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．
（1）由斜率公式得：，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；
（2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，
∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．
18．(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为
(2)
（1）根据斜率公式运算求解；
（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.
（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，
所以直线AD的斜率的变化范围是．
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2.1.1 倾斜角与斜率 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
3．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 ( )
A． B． C． D．
4．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（）
A． B． C． D．
8．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
10．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低
三、填空题
11．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ．
12．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ．
13．如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .
14．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 .
15．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 .
16．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为
四、解答题
17．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．
(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
18．已知．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
参考答案
1．C
根据直线所过象限求得直线的倾斜角范围.
直线倾斜角的取值范围是，又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角范围是.
故选：C
2．D
根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.
对于:直线的倾斜角,,所以错误；
对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；
对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；
对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.
故选：.
3．A
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故选A.
4．C
根据正切函数单调性得到斜率的取值范围.
函数在上单调递增，
又，，
故的取值范围是.
故选：C
5．A
设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.
设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
6．D
利用图像结合直线的斜率范围求解即可.
由斜率公式可得，得，
由图像可知，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为，
当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，
所以直线的斜率的取值范围为，
故选：D．
7．C
利用两角差的正切公式可求得的值.
由题可得，
又，得，，得，
.
故选：C.
8．C
由已知直线斜率可以求得，再根据二倍角公式可以求得.
由直线可知，，，
则.
故选：C
9．BC
根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.
由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
10．AD
根据实验数据图表逐个分析选项即可.
分别将原点与图中各点相连.
设线段的斜率为，根据题意有，
即越小，颗粒物过滤效率越高。
由图可知，；
在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确；
在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误；
由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误；
，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确.
故选：AD.
11．
先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故答案为：
12．/
根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解.
由直线l经过，两点，
则直线的斜率，
所以直线的斜率，
由，所以.
故答案为：
13．
建立平面直角坐标系，得到，，设，根据条件建立关系式，从而得到，即可求解.
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
由条件知，，，
因为直线的斜率为，又，
所以直线的斜率，
设点的坐标为，则，，
联立，解得，故
所以，，
故答案为：.
14．
将函数的值域转化为求直线斜率取值范围，数形结合即可求解.
如图所示：设单位圆O上的一点为，
点，，，
则表示直线PA的斜率，因为，
故当P与B重合时，PA的斜率为，
当P与C重合时，PA的斜率最大值为，
所以的值域为.
故答案为：.
15．
由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值.
因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，
显然直线的斜率存在，故，即，解得，
故答案为：4
16．
由斜率公式建立方程求解即可.
由直线过点，，
得直线的斜率，
又直线过点和，
得直线的斜率，
因为两条直线的斜率相等，
所以，解得.
故答案为：.
17．(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为
(2)
（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．
（1）由斜率公式得：，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；
（2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，
∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．
18．(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为
(2)
（1）根据斜率公式运算求解；
（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.
（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，
所以直线AD的斜率的变化范围是．
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