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第17章 函数及其图像 单元综合提升卷
一、单选题
1．已知一次函数（a是常数），若y随x的增大而增大，则a的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
2．某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示这家公司的日薪计算方式：
一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．
下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
4．如图，矩形 ABCD的顶点A，D在y轴上，顶点在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴.若反比例函数 的图象经过点C，则矩形 ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
5．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
6．公式 表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 表示弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
7．如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中(分钟)表示时间，(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（ ）
A．小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米
B．小红在图书馆看书用了分钟
C．超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米分钟
D．从图书馆到超市用了分钟，图书馆离超市有千米
8．小翊早9点从家骑自行车出发，沿一条直路去邮局办事，小翊出发的同时，他的爸爸从邮局沿同一条道路匀速步行回家；小翊在邮局停留了一会后沿原路以原速返回，小翊比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离s（m）与小翊离开家的时间t（min）之间的函数关系如图所示．下列说法：
①邮局与家的距离为2400米；
②爸爸的速度为96m/min；
③小翊到家的时间为9：22分；
④小翊在返回途中离家480米处与爸爸相遇．
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以 cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．当m 时，函数y＝（x＞0）中的y随x的增大而增大；
12．若直线 与坐标轴所围成的三角形的面积为6，则k的值为 ．
13．已知一个反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式为 ．
14．已知点沿x轴正方向向右上方做跳马运动（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则的值是 ．
15．请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点 的一次函数的解析式 .
16．如图，平面直角坐标系中，直线上双曲线相交于A、B两点，是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交轴于点，连接BP，BC，若的面积是20，则点的坐标为 ．
三、解答题
17．已知平面直角坐标系中一点．
（1）当点P在x轴上时，求出点P的坐标；
（2）当点P在过点、且与x轴平行的直线上时，求出点P的坐标；
（3）当点P到两坐标轴的距离相等时，求出m的值．
18．如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
19．如图，直线与直线交于点．
（1）求点的坐标．
（2）求两直线与轴围成的三角形面积．
20．小明要把一篇社会调查报告录入电脑，当他以100字/分钟的速度录入文字时，经过240分钟能完成录入。设他录入文字的速度为v字/分钟时，完成录入的时间为t分钟。求t与v之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)。
21．在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象交于两点，且，如图所示．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
22．若点( ， )在第二象限内，求m的取值范围
23．如图，平面直角坐标系中，直线经过点和点．
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积．
24．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．
（1）已知点，，，．
①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________；
②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________；
③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．
（2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
25．如图，函数的图象过点和两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线沿x轴向左移动得直线，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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第17章 函数及其图像 单元综合提升卷
一、单选题
1．已知一次函数（a是常数），若y随x的增大而增大，则a的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
2．某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示这家公司的日薪计算方式：
一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．
下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
3．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可得，当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集，从图象来看，就是求一次函数y1＝x＋b得图象在一次函数y2＝kx＋4的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
4．如图，矩形 ABCD的顶点A，D在y轴上，顶点在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴.若反比例函数 的图象经过点C，则矩形 ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：将代入到中，可得，解得m=-2，
∴，
∴矩形 ABCD的面积为.
故答案为：C.
【分析】先将点C代入到反比例函数中求出m，再利用矩形面积公式求解即可.
5．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：直线：与直线：交于点，
当时，，
点的坐标为，
关于、的方程组的解是
故答案为：C.
【分析】将x=-1代入y=x+3中求出b的值，据此可得点A的坐标，然后根据两一次函数图象的交点坐标即为组成的二元一次方程组的解进行解答.
6．公式 表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 表示弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
【答案】A
【解析】【解答】A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬；
故答案为：A
【分析】A和B中，L0＝10，表示弹簧短；A和C中，K＝0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．
7．如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中(分钟)表示时间，(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（ ）
A．小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米
B．小红在图书馆看书用了分钟
C．超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米分钟
D．从图书馆到超市用了分钟，图书馆离超市有千米
【答案】D
8．小翊早9点从家骑自行车出发，沿一条直路去邮局办事，小翊出发的同时，他的爸爸从邮局沿同一条道路匀速步行回家；小翊在邮局停留了一会后沿原路以原速返回，小翊比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离s（m）与小翊离开家的时间t（min）之间的函数关系如图所示．下列说法：
①邮局与家的距离为2400米；
②爸爸的速度为96m/min；
③小翊到家的时间为9：22分；
④小翊在返回途中离家480米处与爸爸相遇．
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：由图象可得，
邮局与家的距离为2400米，故①符合题意；
爸爸的速度为：2400÷（12＋10＋3）＝96（m/min），故②符合题意；
∵10＋12＋10＝22，
∴小翊到家的时间为9：22分，故③符合题意；
小翊的速度为：2400÷10＝240（m/min），
设小翊在返回途中离家a米处与爸爸相遇，
，
解得，a＝480，
即小翊在返回途中离家480米处与爸爸相遇，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
9．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以 cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=4cm，
∴BH=CH，
∵∠B=30°，
∴AH= AB=2，BH= AH=2 ，
∴BC=2BH=4 ，
∵点P运动的速度为 cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP= x，
在Rt△BDQ中，DQ= BQ= x，
∴y= x x= x2，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4
在Rt△BDQ中，DQ= CQ= （8﹣x），
∴y= （8﹣x） 4 =﹣ x+8 ，
综上所述，y= ．
故选D．
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH= AB=2，BH= AH=2 ，则BC=2BH=4 ，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP= x，DQ= BQ= x，利用三角形面积公式得到y= x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4 ，DQ= CQ= （8﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣ x+8 ，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．
二、填空题
11．当m 时，函数y＝（x＞0）中的y随x的增大而增大；
【答案】
12．若直线 与坐标轴所围成的三角形的面积为6，则k的值为 ．
【答案】±
【解析】【解答】当x=0时，可知函数与y轴的交点为(0，3)，
设图象与x轴的交点到原点的距离为a，
则 ×3a=6，
解得：a=4，
则函数与x轴的交点为(4，0)或(-4，0)，
把(4，0)代入y=kx+3得，4k+3=0，k=- ，
把(-4，0)代入y=kx+3得，-4k+3=0，k= ，
故答案为：± .
【分析】由直线的性质可知，当x=0时，可知函数与y轴的交点为(0，3)，设图象与x轴的交点到原点的距离为a，根据三角形的面积为6，求出a的值，从而求出k的值．
13．已知一个反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设该反比例函数为，
∵该反比例函数的图象经过点，
，
∴，
∴该反比例函数的解析式为：．
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式即可。
14．已知点沿x轴正方向向右上方做跳马运动（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则的值是 ．
【答案】
15．请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点 的一次函数的解析式 .
【答案】y=-x+2（答案不唯一，只要k<0即可）
【解析】【解答】∵直线与y轴交于点
∴解析式应为
∵直线经过第二、四象限
∴k<0
∴取k=-1，则y=-x+2.
故答案为：y=-x+2（答案不唯一，只要k<0即可）.
【分析】根据直线与y轴交于点 ，则函数解析式应为 ，由直线经过第二、四象限，则k<0，可取k=-1，由此即可得答案.
16．如图，平面直角坐标系中，直线上双曲线相交于A、B两点，是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交轴于点，连接BP，BC，若的面积是20，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，直线BC与y轴交于点M
∵ 直线上双曲线相交于A、B两点
联立解得：，
∴ A（2，3），B（-2，-3）
∵ 点C在反比例函数上
设点C（m，）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）
代入点B（-2，-3）和点C（m，），
得：
∴ k=，b=
∴ 直线BC解析式为：y=
∴ 点D（0，）
同理得：直线AC解析式为
∴ 点P（0，）
∴ PM=-=6
∵的面积是20，
∴20
即：
解得m=
∴ 点C（，）
故答案为：（，）.
【分析】本题考查求反比例函数与一次函数交点坐标，求一次函数解析式，一次函数与y轴交点坐标，三角形形面积等知识，正确设点坐标，求出解析式是解题关键。由直线BC与y轴交于点M，联立得A（2，3），B（-2，-3）；设点C（m，）得直线BC解析式为：y=，点D（0，）；直线AC解析式为，得 点P（0，），PM=6，根据的面积是20，得m=，则点C（，）.
三、解答题
17．已知平面直角坐标系中一点．
（1）当点P在x轴上时，求出点P的坐标；
（2）当点P在过点、且与x轴平行的直线上时，求出点P的坐标；
（3）当点P到两坐标轴的距离相等时，求出m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
18．如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）直线的解析式是
（2）
19．如图，直线与直线交于点．
（1）求点的坐标．
（2）求两直线与轴围成的三角形面积．
【答案】（1）；
（2）．
20．小明要把一篇社会调查报告录入电脑，当他以100字/分钟的速度录入文字时，经过240分钟能完成录入。设他录入文字的速度为v字/分钟时，完成录入的时间为t分钟。求t与v之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)。
【答案】解：由题意，得vt=240×100，
故t=
【解析】【分析】根据题意，计算得到社会调查的总字数，根据t与v之间的关系列出关系式即可。
21．在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象交于两点，且，如图所示．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）
（3）或
22．若点( ， )在第二象限内，求m的取值范围
【答案】解：∵点( ， )在第二象限，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴m的取值范围是： ．
【解析】【分析】根据点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，得出不等式组，即可解答．
23．如图，平面直角坐标系中，直线经过点和点．
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
24．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．
（1）已知点，，，．
①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________；
②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________；
③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．
（2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）①A，C；②或；③
（2）
25．如图，函数的图象过点和两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线沿x轴向左移动得直线，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：函数的图像过点和两点，
，
解得，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：，
，直线OA的解析式为：，
过点C作轴于点G，交直线于点H，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去）
，
，
设直线的解析式为：，
点C在直线上，
，即，
直线的解析式为：；
（3）或
【解析】【解答】（3）解：由（2）得， 直线的解析式为：，
令y=0得，，
解得，，
∴D（-6，0），
∴OD=6，
令x=0得，，
∴E（0，3），
∴OE=3，
①如图，当∠DEF=90°，EF=ED时，
过点F作FG⊥y轴于点G，
∵∠FEG+∠DEO=∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠FEG=∠EDO，
在△FEG和△EDO中，
∴△FEG≌△EDO（AAS），
∴FG=EO=3，EG=DO=6，
∴F（-3，9）；
②如图，当∠EDF=90°，FD=ED时，
过点F作FG⊥x轴于点G，
∵∠GFD+∠FDG=∠ODE+∠FDG=90°，
∴∠GFD=∠ODE，
在△GFD和△ODE中，
∴△GFD≌△ODE（AAS），
∴FG=DO=6，DG=EO=3，
∴F（-9，6），
综上所述， 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式得到关于n、k的方程组，解方程组即可求得n、k的值；
（2）由（1）问得A、B的坐标及反比例函数的解析， 过点C作轴于点G，交直线于点H，设， 由△ACO的面积求出m的值，由平移设直线的解析式为：，代入C的坐标，即可求解；
（3）先求出D、E的坐标，再分两种情况：①当∠DEF=90°，EF=ED时，②当∠EDF=90°，FD=ED时，然后分别构造“K字型"全等三角形，求得F点坐标即可.
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