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第27章 圆 单元综合达标全优卷
一、单选题
1．如图，在矩形中，，．以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形内接于圆O，连接，图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD=OB，连接AD，如果∠DAC=78°，那么∠ADO等于（ ）
A．70° B．64° C．62° D．51°
4．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB=80°，则∠ACB的大小（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
5．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．65° C．50° D．75°
6．如图，在中，半径，，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
8．如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切；
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
10．如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为．
12．已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是结果保留．
13．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
14．已知C是优弧AB的中点，若 ，则AB= .
15．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．
16．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过点B且与AI相切于点I，若tan∠BAC＝，则sin∠ACB的值为 .
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．
（1）直接写出圆心的坐标： ；
（2）求的半径．
18．如图，在中；是直径，是弦，且于点E，，．求的半径．
19．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是 的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
21．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径.
23．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扁形纸板和圆形纸板的面积比．
24．问题发现：（1）如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 ；
问题探究：（2）如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A==30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转，当旋转至CC'=4时，求的长；
问题解决：（3）如图3，点O为等腰RtABC的斜边AB的中点，AC=BC=5，OE=2，连接BE，作RtBEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF=，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
25．【问题提出】
(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____
【问题探究】
(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
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第27章 圆 单元综合达标全优卷
一、单选题
1．如图，在矩形中，，．以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，，，
∴BE=AB=2，BC=AD=4，∠ABC=90°，
∴EC=BE+BC=6，∠ABE=90°，
，
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质得BE=AB=2，BC=AD=4，∠ABC=90°，从而得EC=6，∠ABE=90°，进而将“不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和差”，即，利用扇形、矩形、三角形面积公式代入数据进行计算即可得出答案.
2．如图，四边形内接于圆O，连接，图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD=OB，连接AD，如果∠DAC=78°，那么∠ADO等于（ ）
A．70° B．64° C．62° D．51°
【答案】B
【解析】【解答】∵AB、AC为⊙O的切线
∴∠CAO=∠BAO，∠ABO=90°
∵BD=OB，AB=AB
∴△ABO≌△ABD
∴∠BAO=∠BAD
∵∠DAC=78°
∴∠CAO=∠BAO=∠BAD=26°
∴∠ADO=64°
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得∠CAO=∠BAO，再结合BD=OB可得∠BAO=∠BAD，即可求得∠BAD的度数，进行作答求解即可。
4．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB=80°，则∠ACB的大小（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠AOB=80°，
∴∠ACB= ∠AOB= ×80°=40°．
故选A．
【分析】认真观察图形，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得到答案．
5．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．65° C．50° D．75°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∠COD＝2∠A＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：C．
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A，计算即可．
6．如图，在中，半径，，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7．如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵，，，
∴四边形ODCE为矩形，
∵CD=CE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴△DCE的面积=△OCE的面积，∠COB=45°，
∴图中阴影部分面积=△DCE+半弓形BCE=△OCE+半弓形BCE=扇形BOC=；
故答案为：B.
【分析】先证四边形ODCE为正方形，可得△DCE的面积=△OCE的面积，∠COB=45°，从而得出图中阴影部分面积=△DCE+半弓形BCE=△OCE+半弓形BCE=扇形BOC，利用扇形的面积公式计算即可.
8．如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
9．内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切；
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：甲：是的直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
乙：作直径，连接，如图所示：
即（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
故答案为：C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知，再根据三角形的内角和定理，可得，结合题意进而可得，据此即可判断甲；如图，作直径，连接，根据圆周角定理可推出，进而可求出，据此可判断乙。
10．如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题
11．如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为．
【答案】45
12．已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是结果保留．
【答案】
13．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
【答案】或
14．已知C是优弧AB的中点，若 ，则AB= .
【答案】
【解析】【解答】如图，连接CO，延长CO交AB于H.
∵ ，∴CH⊥AB，AH=BH，∴∠AHO=90°.
∵OA=OB，∴∠A=∠B.
∵∠AOC=90°+∠A=4∠B，∴∠A=30°.
∵OA=OC=4，∴OH OA=2，∴AH= ，∴AB= .
故答案为： .
【分析】如图，连接CO，延长CO交AB于H，根据垂径定理可得CH⊥AB，AH=BH，∠AHO=90°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求出∠A的度数，利用直角三角形的性质求出OH，AH的长，利用垂径定理求出AB的长.
15．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．
【答案】66
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
∵BF是切线，AB是直径，
∴∠ABF=90°.
∴∠AFB=68°，
∴∠BAF=90°-∠AFB=22°，
∴∠BOD=2∠BAF=44°.
∵，
∴∠COA=2∠BOD=88°，
∴∠CDA=∠COA=44°，
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
故答案为：66.
【分析】连接OC、OD，由切线的性质可得∠ABF=90°，则∠BAF=90°-∠AFB=22°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAF=44°，结合可得∠COA=2∠BOD=88°，由圆周角定理可得∠CDA=∠COA=44°，根据外角的性质可得∠DEB=∠BAF+∠CDA，据此计算.
16．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过点B且与AI相切于点I，若tan∠BAC＝，则sin∠ACB的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OI并延长交AC于D，连接BI，
∵AI与⊙O相切，
∴AI⊥OD，
∴∠AIO＝∠AID＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠OAI＝∠DAI，∠ABI＝∠CBI，
∵AI＝AI，
∴△AOI≌△ADI（ASA），
∴AO＝AD，
∵OB＝OI，
∴∠OBI＝∠OIB，
∴∠OIB＝∠CBI，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
作OE⊥AC于E，
∵tan∠BAC＝＝，
∴不妨设OE＝24k，AE＝7k，
∴OA＝AD＝25k，
∴DE＝AD﹣AE＝18k，
∴OD＝＝30k，
∴sin∠ACB＝＝＝ .
故答案为：.
【分析】连接OI并延长交AC于D，连接BI，利用切线的性质可证得AI⊥OD，∠AIO＝∠AID，利用三角形内心的定义可得到∠OAI＝∠DAI，∠ABI＝∠CBI，利用ASA证明△AOI≌△ADI，利用全等三角形的性质可证得AO=AD；再证明OD∥BC，利用平行线的性质可得∠ADO＝∠C；作OE⊥AC于E，利用已知设OE＝24k，AE＝7k，可表示出OA，AD的长，利用勾股定理表示出OD的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠ACB的值.
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．
（1）直接写出圆心的坐标： ；
（2）求的半径．
【答案】（1）
（2）的半径为
18．如图，在中；是直径，是弦，且于点E，，．求的半径．
【答案】的半径为5
19．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是 的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．
【答案】解：AOBC是菱形，理由如下：
连接OC，
∵C是 的中点
∴∠AOC=∠BOC= ×120°=60°，
∵CO=BO（⊙O的半径），
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
同理△OCA是等边三角形，
∴OA=AC，
又∵OA=OB，
∴OA=AC=BC=BO，
∴AOBC是菱形．
【解析】【分析】连接OC，根据等边三角形的判定及圆周角定理进行分析即可．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
【答案】（1）解：直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）解：连接OE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．
【解析】【分析】（1）证明直线与圆相切，根据切线的判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。一般证切线的思路有两种，一是连半径证垂直，一是作垂直证半径；题目中D点是圆上点，所以连接OD，OD即为半径，只要再证出 ∠ODE = 90° 即可， 因为∠C=90° ，所以 ∠A+∠B=90° ，通过分析能得出 ∠A=∠ODA 和 ∠B=∠EDB ，所以∠ODA+∠EDB=90°，∠ODE=180°﹣90°=90°， 即得出直线DE与⊙O相切 ；
（2）通过连接OE，构造出直角三角形，利用勾股定理即可。
21．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【答案】（1）；
（2）该圆锥的底面圆的半径是．
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径.
【答案】解：连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，
∴⊙O的直径=8.
【解析】【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论.
23．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扁形纸板和圆形纸板的面积比．
【答案】解：解：连接OD，
∵正方形ABCD，∠AOB=45°，
∴AB=CD=BC=1，∠ABC=∠ABO=∠DCB=90°，
∴∠AOB=∠OAB=45°，
∴AB=OB=BC=1
∴OC=2
；
∴扇形纸板的面积为；
∵∠BMC=90°，MC=MB
2BM2=BC2=1
解之：
∴圆形纸板的面积为
∴扁形纸板和圆形纸板的面积比.
答：扁形纸板和圆形纸板的面积比为5：4.
【解析】【分析】连接OD，利用正方形的性质可证得AB=CD=BC=1，∠ABC=∠ABO=∠DCB=90°，∠AOB=∠OAB=45°，即可求出OC的长，利用勾股定理求出OD的长，利用扇形的面积公式求出扇形纸板的面积；再利用勾股定理求出BM的长，即可求出圆的面积；然后求出扁形纸板和圆形纸板的面积比.
24．问题发现：（1）如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 ；
问题探究：（2）如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A==30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转，当旋转至CC'=4时，求的长；
问题解决：（3）如图3，点O为等腰RtABC的斜边AB的中点，AC=BC=5，OE=2，连接BE，作RtBEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF=，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
【答案】（1）5；（2）8；（3）2+
25．【问题提出】
(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____
【问题探究】
(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米
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