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第8章 整式乘法 单元巩固知识卷
一、单选题
1．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为
，下列说法中正确的是( )
长方形的较长边为；
阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；
当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A． B． C． D．
5．当多项式x2+2x+1取得最小值时，x的值是( )
A．-1 B．0 C．1 D．2
6．如图中，利用面积的等量关系验证的公式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 D．（a+b）2=a2+2ab+b2
7．下列各式中计算错误的是（ ）
A．2x（2x3+3x﹣1）=4x4+6x2﹣2x B．b（b2﹣b+1）=b3﹣b2+b
C．﹣ ﹣x D． x
8．计算2x(3x2+1)，正确结果是( )
A．5x3+2x B．6x3+1 C．6x3+2x D．6x2+2x
9． 7 张如图 1 所示的长为 、宽为 的小长方形纸片， 按图 2 的方式不重叠地放在长方形 内， 未被覆盖的部分 (两个长方形) 用阴影表示． 设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 ， 当 的长度变化时， 按照同样的放置方式， 始终保持不变， 则 满足（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
11．已知，，则 ．
12．已知x+y=6，xy=8，则x2+y2=
13．计算：（x﹣1）（2x+1）= ．
14． ； .
15． 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为，．
①比较大小： （填“”“ ”或“”）
②若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为
16．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
三、解答题
17．聪聪和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为b的正方形．
（1）请用含a、b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；
（2）如果，，请求出他们拼成的这个长方形的面积．
18．已知m﹣n=﹣3，mn=4．
（1）求（3﹣m）（3+n）的值；
（2）求m4+n4的值．
19．有一个长方体模型，它的长为2×103cm，宽为1.5×102cm，高为1.2×102cm，它的体积是多少cm3？
20．设是一个三位数，若可以被3整除，则这个三位数可以被3整除．
证明：
．
能被3整除，是整数，
可以被3整除．
又可以被3整除（已知），
这个三位数可以被3整除．
（1）请仿照上面的过程，证明：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个四位数可以被3整除．
（2）已知一个两位数的十位上的数字比个位上的数字的2倍大3，这个两位数能否被3整除？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
21．计算：
（1）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（﹣3）0；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．
22． 把一个长为2a，宽为 2b的长方形沿虚线剪开，平均分成四个小长方形(图①)，然后如图②围成一个大的正方形.
（1）用两种不同的方法求图②中阴影正方形的面积.
（2）观察图②，写出这三个代数式之间的等量关系.
（3） 若求x+y 的值.
23．有总长为l米的篱笆，利用它和一面足够长的墙围成长方形园子，园子的宽为a米．
（1）如图1，①用关于l，a的代数式表示园子的面积．
②当，时，求园子的面积．
（2）如图2，若在园子的长边上开了1米的门，请判断园子的面积是增大还是减小？若增加了，请求出增加了多少，若减少了，请求出减少了多少．（用关于l，a的代数式表示）
24．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个）
．；．；．
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
①已知，则 ▲；
②计算：．
③计算：．
25．如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分、、、的周长分别为，，，，面积分别为，，，．
（1）若，，，求长方形的面积；
（2）若长方形的周长为，长方形的周长为，能求出，，，中的哪些值？
（3）若，，，求结果用含，，的代数式表示．
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第8章 整式乘法 单元巩固知识卷
一、单选题
1．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为
，下列说法中正确的是( )
长方形的较长边为；
阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；
当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵大长方形的长为y cm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为x cm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故答案为：C．
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；
②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；
③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；
④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误。
5．当多项式x2+2x+1取得最小值时，x的值是( )
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解： x2+2x+1 =（x+1）2，
（x+1）2，具有非负性，
当x=-1时， 多项式x2+2x+1取得最小值.
故答案为：A.
【分析】先利用完全平方公式将原式变形为（x+1）2，再利用平方的非负性求解即可.
6．如图中，利用面积的等量关系验证的公式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 D．（a+b）2=a2+2ab+b2
【答案】D
【解析】【解答】图中正方形的面积可表示为：a2+2ab+b2，也可表示为：（a+b）2，故a2+2ab+b2=（a+b）2．故选D．
【分析】根据图中图形的面积计算方法可得答案．
7．下列各式中计算错误的是（ ）
A．2x（2x3+3x﹣1）=4x4+6x2﹣2x B．b（b2﹣b+1）=b3﹣b2+b
C．﹣ ﹣x D． x
【答案】C
【解析】【解答】解：A、2x（2x3+3x﹣1）=4x4+6x2﹣2x，故A正确；
B、单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算，故B正确；
C、﹣ x（2x2﹣2）=﹣x3+x，故C错误；
D、单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算，故D正确；
故选：C．
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
8．计算2x(3x2+1)，正确结果是( )
A．5x3+2x B．6x3+1 C．6x3+2x D．6x2+2x
【答案】C
【解析】【解答】解：原式=6x3+2x，
故答案为：C．
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
9． 7 张如图 1 所示的长为 、宽为 的小长方形纸片， 按图 2 的方式不重叠地放在长方形 内， 未被覆盖的部分 (两个长方形) 用阴影表示． 设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 ， 当 的长度变化时， 按照同样的放置方式， 始终保持不变， 则 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据图片，设HQ=x.
∵，，
∴.
∵当BC长度变化时，S保持不变，即不论x如何变化，S不变，
∴3bx-ax=0，即3b-a=0，即a=3b.
故答案为：B.
【分析】解题关键在于设未知量HQ，通过面积差S不变，得出关于合并后x项的系数为0，从而算出a、b的等量关系.
10．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
二、填空题
11．已知，，则 ．
【答案】
12．已知x+y=6，xy=8，则x2+y2=
【答案】20
【解析】【解答】解：∵x+y=6，xy=8，
∴原式=（x+y）2﹣2xy=36﹣16=20，
故答案为：20
【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
13．计算：（x﹣1）（2x+1）= ．
【答案】2x2﹣x﹣1
【解析】【解答】解：（x﹣1）（2x+1）
=2x2+x﹣2x﹣1
=2x2﹣x﹣1．
故答案为2x2﹣x﹣1．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
14． ； .
【答案】；ab
【解析】【解答】∵ ， = ab，
故答案为： ；ab.
【分析】根据平方差公式与完全平方公式即可求解.
15． 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为，．
①比较大小： （填“”“ ”或“”）
②若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为
【答案】；7
【解析】【解答】解：①S1=(m+3)(m+7)=m2+10m+21，
S2=(m+4)(m+5)=m2+9m+20，
S1-S2=m+1，
∵ m为正整数，
∴ m+1＞0，
即S1-S2＞0，即S1＞S2；
②，
即3＜n＜m+1，
∵ 整数n有且只有4个，
∴ n=4， 5，6， 7.
∴ m+1=8，
即m=7.
故答案为：①＞；②7.
【分析】①先分别计算长方形的面积，再作差判断正负即可；
②先计算，再确定n的值，即可求得m.
16．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2 12，
图2的面积为：（x＋1）（x 1），
所以x2 1＝（x＋1）（x 1）．
故答案为：x2 1＝（x＋1）（x 1）．
【分析】利用两种方法表示出图中空白部分的面积即可得到等式。
三、解答题
17．聪聪和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为b的正方形．
（1）请用含a、b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；
（2）如果，，请求出他们拼成的这个长方形的面积．
【答案】（1）长为，宽为
（2）91
18．已知m﹣n=﹣3，mn=4．
（1）求（3﹣m）（3+n）的值；
（2）求m4+n4的值．
【答案】解：（1）∵m﹣n=﹣3，mn=4，
∴原式=9﹣3（m﹣n）﹣mn=9+9﹣4=14；
（2）∵m﹣n=﹣3，mn=4，
∴原式=（m2+n2）2﹣2m2n2=[（m﹣n）2+2mn]2﹣2m2n2=257．
【解析】【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算，把已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
19．有一个长方体模型，它的长为2×103cm，宽为1.5×102cm，高为1.2×102cm，它的体积是多少cm3？
【答案】解：由题意可得，
长方体的体积是：2×103×1.5×102×1.2×102=3.6×107cm3
【解析】【分析】根据长方体的体积等于长乘宽乘高，可以解答本题．
20．设是一个三位数，若可以被3整除，则这个三位数可以被3整除．
证明：
．
能被3整除，是整数，
可以被3整除．
又可以被3整除（已知），
这个三位数可以被3整除．
（1）请仿照上面的过程，证明：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个四位数可以被3整除．
（2）已知一个两位数的十位上的数字比个位上的数字的2倍大3，这个两位数能否被3整除？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
【答案】（1）证明：
．
能被3整除，是整数，
可以被3整除．
又可以被3整除（已知），
这个四位数可以被3整除．
（2）解：这个两位数能被3整除．
理由：设这个两位数的个位上的数字为，则十位上的数字为，
这个两位数是．
都是整数，
为整数，
能被3整除，
这个两位数能被3整除．
【解析】【分析】（1）仿照题目阅读材料，首先把四位数abcd改写成9（111a+11b+c）+（a+b+c+d），由9（111a+11b+c）能被3整除，（a+b+c+d）能被3整除可得出结论.
( 2)首先设这个两位数的个位上的数字为，则十位上的数字为，再根据两位数的表示方法得出这个两位数是，进而得出这个两位数能被3整除.
21．计算：
（1）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（﹣3）0；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．
【答案】解：（1）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（﹣3）0
=4﹣﹣9÷1
=4﹣
=；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．
=b2﹣4a2﹣a2+6ab﹣9b2
=﹣5a2+6ab﹣8b2
【解析】【分析】（1）根据0次幂、乘方、负整数指数幂，即可解答；
（2）根据平方差公式，即可解答．
22． 把一个长为2a，宽为 2b的长方形沿虚线剪开，平均分成四个小长方形(图①)，然后如图②围成一个大的正方形.
（1）用两种不同的方法求图②中阴影正方形的面积.
（2）观察图②，写出这三个代数式之间的等量关系.
（3） 若求x+y 的值.
【答案】（1）解：方法1：
∵阴影部分面积等于边长为（a+b）的大正方形面积减去四个长方形面积（长为a，宽为b），
∴S阴影=（a+b）2-4ab；
方法2：
∵阴影部分面积等于边长为（a-b）的小正方形面积，
∴S阴影=（a-b）2.
（2）解：∵（1）中两种方法表示的阴影部分面积相等，
∴（a+b）2-4ab=（a-b）2.
（3）解：∵x-y=3，
∴(x-y)2=9，
∵（x+y）2-4xy=(x-y)2，xy=，
∴（x+y）2=(x-y)2+4xy=9+4×=9+7=16，
∴x+y=±4.
【解析】【分析】（1）方法1：阴影部分面积等于边长为（a+b）的大正方形面积减去四个长方形面积（长为a，宽为b）；方法2：阴影部分面积等于边长为（a-b）的小正方形面积；
（2）根据（1）中的两种方法计算的阴影部分的面积相等可求解；
（3）根据（2）中的相等关系计算即可求解.
23．有总长为l米的篱笆，利用它和一面足够长的墙围成长方形园子，园子的宽为a米．
（1）如图1，①用关于l，a的代数式表示园子的面积．
②当，时，求园子的面积．
（2）如图2，若在园子的长边上开了1米的门，请判断园子的面积是增大还是减小？若增加了，请求出增加了多少，若减少了，请求出减少了多少．（用关于l，a的代数式表示）
【答案】（1）①；②；
（2）园子的面积增加了，增加了．
24．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个）
．；．；．
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
①已知，则 ▲；
②计算：．
③计算：．
【答案】（1）A
（2）解：①．
②，
，
，
原式．
③
．
【解析】【解答】（1）解：图①中的阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，
图②中的阴影部分是长为，宽为的长方形，则面积为，
，
故答案为：．
（2）①，
，
又，
，
即，
故答案为：；
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式分别表示出图①和图②中阴影部分的面积，然后可得验证的等式；
（2）①利用平方差公式进行计算即可．
②利用平方差公式变形，可得原式，然后计算即可．
③利用平方差公式变形，然后根据有理数的乘法法则计算即可．
25．如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分、、、的周长分别为，，，，面积分别为，，，．
（1）若，，，求长方形的面积；
（2）若长方形的周长为，长方形的周长为，能求出，，，中的哪些值？
（3）若，，，求结果用含，，的代数式表示．
【答案】（1）解：长方形的长为：，
长方形的宽为：，
故长方形的面积为：，
，，代入得，
面积为：，
长方形的面积为；
（2）解：长方形的周长为，
即，
，
同理，长方形的周长为，
即，
，
得，
如图，，
，
，
，
能求出，，的值；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用长方形面积公式：长方形的面积=长宽，然后分别找出长方形的长、宽，再把a、b、c的数值代入即可.
（2）由长方形ABCD和长方形EFGH的周长分别为18、15，分别求出a+b和b+c的值，再把a+b和b+c的值代入分别求出、、、的值.
（3）先把、、、分别用含a、b、c的式子表示出来。在把，，分别用含a、b的式子表示出来，与=m， =n，=p 相联系分别求出a、b、c与m、n、p的关系。最后把用含a、b、c的式子表示出来，展开、合并、分解。再用含m、n、p的式子替换掉即可.
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